Уравнения, содержащие параметр
Размещено на http://www./
Городская конференция учащихся муниципальных образовательных учреждений, занимающихся учебно-воспитательной деятельностью
«Шаги в науку»
Научное общество учащихся «Поиск»
Муниципального образовательного учреждения
«Средняя общеобразовательная школа №86 г.Омска»
Научное направление: «Математика»
Уравнения, содержащие параметр
Соколова Александра Михайловна
ученица 10 класса МОУ
«СОШ №86 г.Омска»
Руководитель: Дощанова Тиштых Мухановна,
учитель математики
Омск 2011
Содержание
Введение
1. Знакомство с параметрами
1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным
1.2 Решение линейных уравнений с модулем
1.3 Решение квадратных уравнений
2. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С
Заключение
Введение
В настоящее время различные задачи с параметрами – это одни из самых сложных заданий на экзаменах. А ведь в экзаменационных заданиях они есть как за 9 класс, так и за 11, но многие ученики даже не берутся решать эти задания, так как заведомо считают, что не смогут их решить, даже не попробовав. А на деле, чтобы справиться с ними, нужно всего лишь проявить логику, включить смекалку и ничего сложного не окажется.
Свою работу я захотела посвятить заданиям с параметрами, так как именно они вызывают у большинства учеников наибольшие затруднения. Мне самой нужно будет сдавать ЕГЭ, и поэтому, обращаясь к этой теме, я хотела бы облегчить и себе, и своим слушателям, тяжесть решения задач с параметрами.
Цель моей работы - научиться решать уравнения с параметрами и познакомить учеников с методами решения подобных заданий.
Я поставила перед собой следующие задачи:
1. Самой научиться решать уравнения с параметрами различных видов.
2. Познакомить учащихся с разными методами решения подобных уравнений.
3. Вызвать интерес учеников к дальнейшему изучению задач с параметрами.
В моей работе я рассмотрю следующие виды заданий с параметрами:
1) решение уравнений первой степени с одним неизвестным;
2) решение линейных уравнений с модулем;
3) решение квадратных уравнений.
уравнение параметр неизвестное модуль
1. Знакомство с параметрами
Для начала, стоило бы пояснить, что собой представляют уравнения с параметрами, которым посвящена моя работа. Итак, если уравнение (или неравенство), кроме неизвестных, содержит числа, обозначенные буквами, то оно называется параметрическим, а эти буквы – параметрами.
Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое значение, то возможен один из двух следующих случаев:
получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные (т.е. без параметров);
получится условие, лишенное смысла.
В первом случае значение параметра
считается допустимым, во втором –
недопустимым.
Решить уравнение (неравенство), содержащее параметр, - это значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения (неравенства).
К сожалению, не редко при решении
примеров с параметрами многие
ограничиваются тем, что составляют
формулы, выражающие значения неизвестных
через параметры. Например, при решении
уравнения
переходят к у равнению
;
при m=
записывают
единственное решение
.
Но ведь при m=
-1 – бесчисленное множество решений, а
при m=1,
решений нет.
Пример 1. Решить уравнение
.
Сразу видно, что при решении этого уравнения стоит рассмотреть следующие случаи:
a=1,
тогда уравнение принимает вид
и не имеет решений;
при а=-1 получаем
и,
очевидно, х любое;
при
.
Ответ: при a=1
решений нет, при а=-1 х любое, при
.
Пример 2. Решить уравнение
Очевидно, что
,
а
,
то есть х=b/2,
но
,
то есть 2
b/2,
b4.
Ответ: при b4
х=b/2;
при b=4
нет решений.
Пример 3. При каких а уравнение
имеет единственное решение?
Сразу хочу обратить внимание на
распространенную ошибку – считать
данное уравнение квадратным. На самом
деле это уравнение степени не выше
второй! При а – 2=0, а = 2, уравнение
вырождается в линейное имеет единственный
корень х=1/4. Если же а2,
то мы действительно имеем дело с
квадратным уравнением, которое даёт
единственное решение при D=0
,
,
а=1, а=6.
Ответ: при а=2, а=1, а=6.
1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным
Решить такое уравнение – это значит:
1) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.
Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-b=0.
П
ри
уравнение имеет единственное решение
,
которое будет: положительным, если
или
;
нулевым, если
;
отрицательным, если
или
.
Если а=0, то при b=0
бесчисленное множество решений, а при
b0
решений нет.
Пример 1. Для каждого значения а
решить уравнение
;
найти при каких а корни больше нуля.
Это уравнение не является линейным
уравнением (т.е. представляет собой
дробь), но при х-1
и х0
сводится к таковому:
или а-1-х=0.
Мы уже выявили допустимые значения
икс (х-1
и х0),
выявим теперь допустимые значения
параметра а:
а-1-х=0
а=х+1
Из этого видно, что при х0
а1,
а при х-1
а0.
Таким образом, при а1
и а0
х=а-1 и это корень больше нуля при а>1.
Ответ: при а<0 х=а-1; при
решений нет, а при a>1
корни положительны.
Пример 2. Решить уравнение
(1).
Допустимыми значениями k
и x
будут значения, при которых
.
Приведём уравнение к простейшему виду:
9х-3k=kx-12
(9 – k)x =3k-12 (2)
Найдём k, при которых изначальное уравнение не имеет смысла:
Подставив в (2)
,
получим:
.
Если подставим
,
то получим так же
.
Таким образом, при
уравнение (1) не имеет числового смысла,
т.е.
- это недопустимые значения параметра
k
для (1). При
мы можем решать только уравнение (2).
Если
,
то уравнение (2) и вместе с ним уравнение
(1) имеют единственное решение
,
которое будет:
а) положительным, если
,
при 4<k<9,
с учётом
:
;
б) нулевым, если
;
в) отрицательным, если
и k>9
с учётом
,
получаем
.
Если
,
то уравнение (2) решений не имеет.
Ответ: а)
при
и
,
причём х>0 для
;
x=0
при k=4;
x<0
при
;
б) при
уравнение
не имеет решений.
1.2 Решение линейных уравнений с модулем
Для начала, стоит вспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числа называется само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен, или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным.
Чтобы понять решение параметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всего продемонстрировать решение наглядно, т.е. привести примеры:
Пример 1. Решить уравнение |x-2|=b.
Так как, по определению модуля,
|x-2|
,
то при b<0
данное уравнение решений не имеет. Если
b=0,
то уравнение имеет решение х=2.
Если b>0, то решениями уравнения являются числа x=2+b и x=2-b.
Ответ: при b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 х=2+b и x=2-b.
Пример 2. Решить уравнение |x-a|=|x-4|. Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев:
a
;
4
.
1. Первый интервал:
;
Второй интервал:
,
т.е. если а<4, то
.
Третий интервал:
а=4, т.е. если а=4, то
.
2. Первый интервал:
а=4,
.
В
торой
интервал:
a>4,т.е.
если 4<а, то
Третий интервал:
Ответ: при а=4 х-любое;, при а<4
.
Пример 3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|– a| x – 1| =4.
Рассмотрим 3 промежутка: 1)
,
2)
,
3)
и решим исходное уравнение на каждом
промежутке.
1.
,
.
При а=1 уравнение не имеет решений,
но при а1
уравнение имеет корень
.
Теперь надо выяснить, при каких а х
попадает на промежуток x<
– 3, т.е.
,
,
,
.
Следовательно, исходное уравнение на
x<
– 3 имеет один корень
при
,
а на остальных а корней не имеет.
2.
.
.
При а= – 1 решением уравнения
является любое х; но мы решаем на
промежутке
.
Если а1,
то уравнение имеет один корень х=1.
3.
.
.
При а=1 решением является любое
число, но мы решаем на
.
Если а1,
то х=1.
Ответ: при
;
при а= – 1
и при а1
х=1; при а=1
и при а1
х=1.
1.3 Решение квадратных уравнений с параметром
Для начала напомню, что квадратное
уравнение – это уравнение вида
,
где а, b
и с – числа, причем, а0.
Условия параметрических квадратных
уравнений могут быть различны, но для
решений всех их нужно применять свойства
обыкновенного квадратного уравнения
:
а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b.
б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b.
в) Если D<0, а>0, то уравнение не имеет действительных корней.
Аналогично можно представить свойства корней при а<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения:
Если поменять местами коэффициенты а и с, то корни полученного квадратного уравнения будут обратны корням данного.
Если поменять знак коэффициента b, корни полученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного.
Если коэффициенты а и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни.
Пример1. Найти все значения
параметра а, для которых квадратное
уравнение
:
а) имеет два различных корня; б) не имеет
корней; в) имеет два равных корня.
Данное уравнение по условию
является квадратным, поэтому а-1.
Рассмотрим дискриминант данного
уравнения:
При а>-1 уравнение имеет два различных корня, т.к. D>0, при a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи.
Пример2. Решить уравнение
При а=0 уравнение является линейным
2х+1=0, которое имеет единственное решение
х=-0.5. А при а0,
уравнение является квадратным и его
дискриминант D=4-4a.
При а>1 D<0
поэтому уравнение корней не имеет. При
а=1 D=0,
поэтому уравнение имеет два совпадающих
корня
=-1.
При a<1,
но а0,
D>0
и данное уравнение имеет два различных
корня
;
.
Ответ:
и
при a<1,
но а0;
х=-0.5 при а=0;
=-1
при а=1.
Пример3. Корни уравнения
таковы, что
.
Найдите а.
По теореме Виета
и
.
Возведём обе части первого равенства
в квадрат:
.
Учитывая, что
,
а
,
получаем:
или
,
.
Проверка показывает, что все значения
удовлетворяют условию.
Ответ:
2. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С
Узнав всю теоретическую основу и методы решений различных уравнений, содержащих параметр, я решила применить свои знания на практике. Мы выбрали несколько вариантов заданий ГИА и ЕГЭ из части С, представляющих собой именно те виды уравнений, которые были представлены в моей работе, а именно: уравнение первой степени с одним неизвестным, уравнение с модулем и квадратное уравнение. Ниже будут предложены решения этих уравнений.
Определить значения k,
при которых корни уравнения
положительны.
Сразу можно выделить, что
,
,
из этого следует, что при
уравнение не имеет смысла.
В уравнение х(3k-8)=6-k подставим недопустимые значения х, чтобы узнать, при каких k уравнение не имеет смысла:
Итак, мы выяснили, что
.
Выразим х:
.
Х будет больше нуля, если
.
Учитывая, что
,
,
.
Ответ:
,
.
2. При каких значениях а уравнение
имеет равные корни?
Уравнение имеет равные корни в том случае, если дискриминант равен нулю. Найдем дискриминант данного уравнения и приравняем его к нулю:
Ответ: при а=2 и а=2/35.
3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению a|x+3|+2|x+4|=2.
х+3=0 2) х+4=0
х= – 3 х= – 4 .
х+3 – – +
х+4 – -4 + -3 +
Рассмотрим 3 промежутка.
1.
а(-(х+3)+2(-(х+4)=2
-ах – 3а –2х – 8=2
х(- а – 2)=10+3а (при а-
2)
.
Теперь надо выяснить, при каких
а х попадает на промежуток
.
Следовательно, на промежутке
уравнение имеет единственный корень
при
.
2.
.
=> При а2
х= -3
При а=2
.
3.
=> При а
-2 х= -3
При а= -2
.
Ответ: 1. при
2. при а2
х= -3
при а=2
.
3. при а
-2 х= -3
при а= -2
.
Заключение
Итак, проделав эту работу, я действительно поняла, как решаются уравнения с параметрами, приобрела навык решения и, надеюсь, теперь не столкнусь с трудностями при решении подобных заданий на экзамене. Я надеюсь, что моя работа поможет ученикам успешнее и смелее решать различные задачи с параметрами.
Конечно, не все далось сразу и легко – чтобы научиться решать уравнения с параметрами, нужно выйти за рамки представлений об уравнении, при этом не забывая о свойствах того или иного типа уравнения. Удаётся это не сразу. К тому же, в школьной программе задачам с параметрами не уделяется должного внимания, поэтому, увидев такое на экзамене, конечно, можно растеряться. Но я надеюсь, что вызвала интерес учащихся к изучению таких интересных и нестандартных заданий, как уравнения, содержащие параметр.