Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули

1. Скалярне поле

Нехай – область у тривимірному просторі (або на площині). Кажуть, що в області задано скалярне поле, якщо кожній точці поставлено у відповідність деяке число .

Прикладами скалярних полів є поле температури даного тіла, поле густини даного неоднорідного середовища, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску, поле потенціалів заданого електростатичного поля тощо.

Поверхня (лінія), на якій функція набуває одне й те саме значення, називається поверхнею (лінією) рівня скалярного поля (наприклад, поверхні або лінії постійної температури). Надаючи різних постійних значень: , отримаємо сім’ю поверхонь (ліній) рівня даного скалярного поля.

Фізичні скалярні поля не залежать від вибору системи координат: величина є функцією лише точки і, можливо, часу (нестаціонарні поля).

Якщо в просторі ввести прямокутну систему координат , то точка у цій системі координат матиме певні координати і скалярне поле стане функцією цих координат: .

2. Векторне поле

Кажуть, що в області задано векторне поле, якщо кожній точці поставлено у відповідність деякий вектор .

Фізичні приклади векторних полів: електричне поле системи електричних зарядів, яке характеризується в кожній точці вектором напруженості ; магнітне поле, утворене електричним струмом і яке характеризується в кожній точці вектором магнітної індукції ; поле тяжіння, утворене системою мас і яке характеризується в кожній точці вектором сили тяжіння , що діє в цій точці на одиничну масу; поле швидкостей потоку рідини, яке описується в кожній точці вектором швидкості .

Зручною геометричною характеристикою векторного поля є векторні лінії – криві, в кожній точці яких вектор напрямлений по дотичній до кривої. Векторні лінії поля тяжіння, електричного і магнітного полів називається силовими лініями, а поля швидкостей – лініями струму.

Нехай векторна лінія, яка проходить через точку , описується рівнянням , де – параметр. Умова колінеарності вектора поля і дотичного вектора в довільній точці цієї лінії має вигляд

,(1)

де – деяке число. Умову (1) можна записати також у вигляді

(2)

або, помноживши на , у вигляді

.(3)

Кожне із рівнянь (1) – (3) є диференціальним рівнянням векторних ліній у векторній формі і визначає множину векторних ліній. Конкретна векторна лінія, яка проходить через задану точку , визначається додатковою умовою

,(4)

де – радіус-вектор точки .

Фізичні векторні поля не залежать від системи координат: в кожній точці вектор повністю визначається своїм модулем і напрямом. Якщо в просторі введена прямокутна система координат , то векторне поле описується вектор-функцією трьох змінних або трьома скалярними функціями – її координатами:

Оскільки в прямокутних координатах , то векторне рівняння (3) для векторних ліній еквівалентне системі диференціальних рівнянь

,(5)

а додаткове векторне рівняння (4) еквівалентне таким умовам:

,(6)

де – координати точки .

3. Похідна за напрямом

Скалярне і векторне поля

Називаються диференційованими разів, якщо функції

диференційовані разів. Надалі розглядатимемо поля, диференційовані потрібне нам число разів.

Нехай – скалярне поле, задане в області , – одиничний фіксований вектор; – фіксована точка; – довільна точка із , відмінна від і така, що вектор колінеарний . Нехай, далі, – величина напрямленого відрізка (вона дорівнює його довжині , якщо напрям вектора збігається з напрямом вектора , і дорівнює – , якщо вектори і є протилежними).

Означення. Число називається похідною скалярного поля (функції ) в точці за напрямом і позначається символом .

Похідна за напрямом є швидкістю зміни функції за напрямом в точці .

Якщо в прямокутній системі координат , то

.(7)

Зокрема, якщо вектор збігається з одним із ортів або , то похідна за напрямком збігається з відповідною частинною похідною. Наприклад, якщо , то

Аналогічно визначається похідна за напрямом векторного поля.

Означення. Вектор називається похідною векторного поля (вектор-функції ) в точці за напрямом і позначається символом .

Якщо в прямокутній системі координат , то

4. Градієнт скалярного поля

скалярне векторне поле дивергенція

Означення. Градієнтом скалярного поля називається вектор-функція

Із рівності (7) випливає, що

,(8)

Звідси , оскільки .

Тут – кут між векторами і в точці . Очевидно, що має найбільше значення при , тобто у напрямі в даній точці. Інакше кажучи, вектор в даній точці вказує напрям найбільшого зростання поля (функції ) у цій точці, а є швидкість зростання функції в цьому напрямі. Таким чином, вектор не залежить від вибору системи координат, а його модуль і напрям у кожній точці визначається самою функцією .

5. Потенціальне поле

Означення. Векторне поле називається потенціальним в області , якщо воно збігається в області з полем градієнта деякого скалярного поля :

.(9)

Функція називається скалярним потенціалом векторного поля . Якщо , то із рівності (9) випливає, що

Інколи потенціалом векторного поля називають таку функцію , що .

Розглянемо, наприклад, поле тяжіння точкової маси , розміщеної на початку координат. Воно описується вектор-функцією ( – гравітаційна стала, ). З такою силою діє це поле на одиничну масу, розміщену в точці . Поле тяжіння є потенціальним. Його можна подати у вигляді градієнта скалярної функції , яка називається ньютонівським потенціалом поля тяжіння точкової маси . Дійсно

Аналогічно , звідси

Далі, розглянемо ще один приклад. Нехай задано електричне поле точкового заряду , розміщеного на початку координат. Воно описується в точці вектором напруженості

Це поле також є потенціальним полем. Його можна подати у вигляді . Функція називається потенціалом електричного поля точкового заряду .

Поверхні рівня потенціала називаються еквіпотенціальними поверхнями.

6. Дивергенція

Означення. Дивергенцією векторного поля називається скалярна функція

Слово «дивергенція» означає «розбіжність».

Дивергенція характеризує густину джерел даного векторного поля в розглянутій точці.

Розглянемо, наприклад, електричне поле точкового заряду , розміщеного в початку координат:

Оскільки , і аналогічно , то

(при ). Цей результат означає відсутність поля у довільній точці, крім початку координат. В початку координат .

7. Ротор

Означення. Ротором (або вихором) векторного поля

називається вектор-функція

Зокрема, для плоского поля маємо

Розглянемо тверде тіло, яке обертається навколо осі із сталою кутовою швидкістю (рис. 1).

Рисунок 1 – Тверде тіло, яке обертається навколо осі

Векторне поле швидкостей точок цього тіла можна подати у вигляді

Знайдемо ротор поля швидкостей :

Таким чином, є сталим вектором, напрямленим уздовж осі обертання , а його модуль дорівнює подвоєній кутовій швидкості обертання тіла:

Розглянемо потенціальне поле . Його потенціал . Обчислимо ротор цього поля:

Взагалі, ротор довільного потенціального поля дорівнює нулю (див. підрозділ 2). Тому кажуть, що потенціальне поле є безвихровим.

8. Соленоїдальне поле

Векторне поле називається соленоїдальним в області , якщо в цій області . Оскільки характеризує густину джерел поля , то в тій області, де поле соленоїдальне, немає джерел цього поля.

Наприклад, електричне поле точкового заряду соленоїдальне (задовольняє умову ) всюди поза точкою, де знаходиться заряд (в цій точці ). Векторні лінії соленоїдального поля не можуть починатися або закінчуватися на межі області, або бути замкненими кривими. Прикладом соленоїдального поля з замкненими векторними лініями є магнітне поле, яке створюється струмом у провіднику.

Якщо векторне поле можна подати як ротор деякого векторного поля , тобто , то вектор – функція називається векторним потенціалом поля .

Можна перевірити (див. докладніше п. 2), що , тобто поле є соленоїдальним.

Довільне векторне поле можна подати у вигляді суми потенціального і соленоїдального полів.

9. Оператор Гамільтона

Згадаємо, що символ називається оператором частинної похідної по . Під добутком цього оператора на функцію розумітимемо частинну похідну , тобто . Аналогічно, і – оператори частинних похідних по і по .

Введемо векторний оператор «набла» або оператор Гамільтона:

За допомогою цього символічного (операторного) «вектора» зручно записувати і виконувати операції векторного аналізу.

У результаті множення вектора на скалярну функцію отримуємо :

Скалярний добуток вектора на вектор – функцію дає :

Векторний добуток вектора на вектор – функцію дає :

10. Нестаціонарні поля

Нехай в області визначено нестаціонарне скалярне поле : величина є функцією точки і часу . Приклад такого поля – змінний з часом розподіл температури в будь-якому середовищі (наприклад, в потоці рідини). Розглянемо точку , яка рухається в області (частинку рідини). Координати точки (частинки) змінюються з часом за відомим законом . Величина в рухомій точці є складеною функцією :

Обчислимо похідну по цієї функції (вона називається повною похідною). За правилом диференціювання складеної функції знаходимо

Вводячи в точці вектор швидкості , отримуємо

Або

.(11)

Аналогічно, якщо в області задано нестаціонарне векторне поле , то для рухомої точки векторна величина є складеною функцією : . Повну похідну по для кожної координати вектор – функції можна обчислити за формулою (11). Помноживши результати на базисні вектори і складаючи, отримуємо

.(12)

У формулах (11) і (12) доданки і виражають швидкості зміни величин та з часом при фіксованих координатах, тобто характеризують локальні зміни цих величин, і тому називаються локальними похідними. Доданки і утворюються за рахунок зміни координат точки, її руху (конвекції). Тому ці доданки у виразах повних похідних називаються конвективними похідними.

Локальні похідні характеризують нестаціонарність розглянутого поля у даній точці простору. Конвективні похідні характеризують неоднорідність поля у даний момент часу.