Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Министерство образования Российской Федерации

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Обратимые матрицы над кольцом Z_>n>

Выполнила:

Студентка V курса

Математического факультета

Сычева О. Г.

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор

Вечтомов Е. М.

Рецензент:

к.ф.-м.н., доцент

Чермных В. В.

Допущена к защите в ГАК

З
ав.кафедрой Вечтомов Е М.

«
»

Д
екан факультета Варанкина В. И.

«
»

Киров 2003

Содержание:

Введение………………………………………….…………………….2 стр.

§1 Основные понятия………………………………………………….3 стр.

§2 Обратимые матрицы над полем Z_>p>

п.1 формула для подсчета обратимых матриц порядка 2 ……….10 стр.

п.2 формула для подсчета обратимых матриц порядка 3 ……….11 стр.

п.3 общая формула подсчета обратимых матриц над полем Z_>p> ..16 стр.

§3 Обратимые матрицы над Z_>n> ………………………………………17 стр.

Литература …………………………………………………………….27 стр.

Введение

Теория матриц является одним из основных вопросов линейной алгебры.

Цель данной работы: подсчитать количество обратимых матриц над кольцом вычетов и по возможности получить формулу для их вычисления. Для вычисления количества обратимых матриц воспользовались теорией определителей и полным перебором всех возможных вариантов получения элементов в кольцах вычетов.

Вся работа разбита на два этапа:

В §2 показан метод построения обратимых матриц второго и третьего порядков над полем Z_>p> . В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц n–го порядка над полем Z_>p> .

В §3 приведен алгоритм построения обратимых матриц второго порядка над некоторыми кольцами вычетов (приведены конкретные примеры). В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц второго порядка над кольцом классов вычетов Z_>n>_> >._> >

§1. Основные определения.

Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. Чаще всего рассматриваются матрицы, заполненные элементами из некоторого поля P.

Элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими "адрес" элемента - первый индекс дает номер строки, содержащий элемент, второй - номер столбца. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность (или - размеров ). Мы будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, а ее элементы - такими же буквами, но строчными. Таким образом, матрица (размеров ) записывается в форме:

.

Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой.
Будем обозначать ее 0.

Матрица, имеющая одно и то же число n строк и столбцов, называется квадратной. Число n называется порядком квадратной матрицы.

Элементы матрицы, у которых оба индекса равны (i=j) называются диагональными, а воображаемая прямая, соединяющая все диагональные элементы матрицы называется главной диагональю.

Квадратная матрица, у которой все элементы, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается Е.:

Две матрицы считаются равными, если они одного размера и у них совпадают соответствующие элементы.

Две матрицы A=(a_>ij>) и B=(b_>ij>) одного и того же размера можно складывать, их суммой будет матрица того же размера C=(c_>i>_> >_>j>), , т.е. чтобы получить сумму двух матрицы достаточно сложить соответственные элементы этих матриц.

Произведение элемента c из поля на матрицу A=(a_>ij>) определяется следующим образом: cA=(ca_>ij>).

Для любой матрицы A существует противоположная -A такая, что
A+(-A)=0.

Все перечисленные свойства непосредственно следуют из определений и свойств операций в поле.

Рассмотрим матрицу A=(a_>ij>) размером и матрицу B=(b_>ij>) размером (т.к. произведение матриц определено лишь в том случае, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй). Для таких матриц введем действие умножения матрицы на матрицу, в результате чего получается матрица C=(c_>ij>) размером , где .

Итак, матрицы можно складывать, умножать их на скаляр, а также умножать матрицу на матрицу. Эти действия обладают свойствами:

По сложению:

(A+B)+C=A+(B+C) – ассоциативность;

A+B=B+A – коммутативность;

Существует нейтральный элемент – матрица 0: A + 0 = 0 + A = A;

Для матрицы A существует обратный элемент -A: A + (-A)=0;

По умножению матриц на скаляр:

;

;

;

;

По умножению матриц:

Произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. ABВА;

(AB)C=A(BC) – ассоциативность;

(cA)B=A(cB)=cAB;

Дистрибутивность умножения относительно сложения (правая и левая) (A_>1>+A_>2>)B=A_>1>B+A_>2>B, A(B_>1>+B_>2>)=AB_>1>+AB_>2>;

Существует единственный нейтральный элемент E
(если A – квадратная): EA = AE = A. Если же A размером , то
E_>m>A = AE_>n> = A.

Произведение матрицы А на нулевую матрицу дает в результате так же нулевую матрицу (существуют случаи, когда нулевая матрица получается в результате перемножения ненулевых матриц).

Для квадратных матриц фиксированного порядка n действия сложения и умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Таким образом, квадратные матрицы фиксированного порядка образуют кольцо.

Определителем n-го порядка квадратной матрицы А, называется алгебраическая сумма n! членов, которыми являются всевозможные произведения по n элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную перестановку, и со знаком минус – если нечетную перестановку.

,

где (_>1>, _>2>, ..., _>n>) пробегает все перестановки чисел 1, 2, ..., n; множитель равен +1, если (_>1>, _>2>, ..., _>n>) - четная перестановка, и равен –1, если нечетная.

Минором элемента a_>ij>_> >называется определитель (n-1) – порядка, полученный из данного определителя n-го порядка, путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Минор a_>ij>_> >элемента обозначается М_>ij>.

Алгебраическим дополнением элемента a_>ij> называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)^i+j.

Алгебраическое дополнение элемента обозначается А_>ij>=(-1)^i+j М_>ij>.

Матрица B называется обратной для матрицы A, если AB=BA=E,
где E - единичная матрица. Равенство AB=BA показывает (нетрудно видеть, используя правило умножения матриц), что число строк и столбцов матрицы A должно быть одинаково.

Таким образом, обратная матрица имеет смысл только для квадратных матриц. Далее мы будем рассматривать только квадратные матрицы.

Если матрица А имеет обратную, то она единственна.

Покажем это. Пусть АВ=СА=Е и СВ, тогда заметим: С=СЕ=С(АВ)=(СА)В=ЕВ=В. Что противоречить условию.

Определитель произведения любых двух матриц n-го порядка равен произведению их определителей.

Докажем. Рассмотрим единичные столбцы n-го порядка:

, , …,

Возьмем произведение матрицы АВ на столбец единичных столбцов (т.е. столбец из n n-мерных столбцов)

Тогда =1===

====.
Что требовалось доказать.

Заключение данной теоремы также выполняется и для случая, когда элементы матриц взяты из кольца вычетов Z_>n>.

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и не вырожденной в противном случае.

Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица.

Покажем это. Пусть A=(a_>ij>) –невырожденная квадратная матрица (). Рассмотрим матрицу А^*=, где А_>ij> – алгебраическое дополнение элементов определителя , причем алгебраические дополнения i-й сроки стоят в i-ом столбце.

Найдем произведение С=АА^*, где С=(с_>ij>)

и т.д.

Найдя все элементы матрицы С по описанному выше алгоритму,
в итоге, получим следующее:, т.е. . Значит матрица А^* - обратная к невырожденной матрице А.

Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует. Иначе если вырожденная матрица А () имеет обратную А^*, тогда верными будут следующие равенства: А·А^*=Е,, , .
Что в принципе не верно.

Нужно отметить, что невырожденной матрицей над Z_>n> называется матрица, определитель которой является обратимым элементом в Z_>n> .

§2. Обратимые матрицы над полем Z_>p>

В данном параграфе попытаемся вывести формулу для подсчета количества обратимых матриц в поле Z_>p>, где p – простое.

1. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2.

Будем рассматривать матрицы .

Алгебраическое дополнение к элементу есть определитель матрицы порядка 1, т.е. . Алгебраическое дополнение к элементу есть определитель матрицы порядка 1, т.е. .

Нужно найти количество всех невырожденных матриц
(когда ). При этом

(1.1)

Формулу выведем в 2 этапа.

Пусть (р-1 штук), (р-1 штук),

(по р штук) (1.2).

Тогда количество матриц, удовлетворяющих данным условиям, вычисляется по формуле

(р-1)²р² (1.3)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , .

В условии (1.2) не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить.
Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково.

а) (р-1 штук), и . Из (1.1) получаем равенство . Значит . При заданном (где =1,2…р-1) элемент однозначно выражается через и (количество невырожденных матриц – р-1). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)³ штук.

б) , и . Значит . Отсюда . Элемент однозначно выражается через , , , которые принимаю не нулевые значения. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)³ штук

Значит формула (1.3) при условии (1.2) верна.

Пусть . Тогда , а из (1.1) получаем что и (как в первом этапе, случае а). Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)²р (1.4)

Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц.

Складывая формулы (1.3) и (1.4) полученные в этапах 1) и 2) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 2 над полем Z_>p>

(р-1)²р(р+1) (1.5)

2. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 3.

Будем рассматривать матрицы .

Алгебраические дополнения к элементам , и есть определители матриц , и соответственно, порядка 2, при чем , и .

Нужно найти количество всех невырожденных матриц ().
При этом

(2.1)

Формулу выведем в 3 этапа.

Пусть (р-1 штук), (их количество по формуле (1.5)), (по р штук) (2.2).

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)³р⁵(р+1) (2.3)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , .

При условии (2.2) не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:

а) (р-1 штук), и . Из (2.1) получаем равенство .

а1) Пусть =0. Тогда и . Значит элементов всего р-1 штук, количество невырожденных матриц - (р-1)²р(р+1). Т.к то из выражения получаем равенство , т.е. хотя бы один из этих элементов не равен нулю. Пусть . Из того, что получаем . Элементом , принимающим любое значение, можем однозначно задать элемент . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)⁴р²(р+1) штук.

а2) Если 0, .Тогда и . Значит элементов всего р-1 штук, количество невырожденных матриц - (р-1)²р(р+1). Т.к , то, из выражения получаем . Пусть . Домножим равенство () на . Заменим на (из того, что ). Получим равенство . Вынесем за скобки и т.к. делаем вывод, что . Значит и (). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)⁵р(р+1) штук.

а3) Если 0, и получаем (р-1)⁴р²(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а1)

а4) Если 0, , и получаем
(р-1)⁵р(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а2)

а5) Если 0, , и . Из того, что получаем . Пусть . Равенство () умножим на и заменим на (). Получим равенство . Вынося за скобки (), замечаем, что элемент однозначно выражается через ( - р-1 штук). Но тогда тоже выражается через эти элементы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)⁶р(р+1)штук.

Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта а) подсчитывается по формуле
(р-1)⁴р(р+1)(р²+2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах а1-а5).

б) (р-1 штук), ((р-1)²р(р+1)) штук). Т.к. , значит (2.4)

б1) Пусть =0. Тогда из (2.4) выводится равенство

(2.5)

а из (2.5) получим . Распишем (2.5): . Т.е. однозначно выражается через элемент , которых может быть р штук, и через элементы , , , , . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)⁴р²(р+1).

б2) Если 0, .Тогда получим опять равенство (2.5) и из него . Элементов всего р-1 штук. Т.к , то получаем что . Пусть . Умножив равенство (2.5) на , выражая и произведя замену на получим равенство . А т.к. и делаем вывод, что и выражаются через все остальные элементы матрицы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям
(р-1)⁵р(р+1) штук.

б3) Если 0, и получаем (р-1)⁴р²(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в
пункте б1)

б4) Если 0, , и получаем
(р-1)⁵р(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в пункте б2)

б5) Пусть 0, , и . Из того, что , получаем . Пусть . Тогда преобразовывая (2.4) получаем, что однозначно выражается через и все остальные элементы.

Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)⁶р(р+1) штук.

Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта б) подсчитывается по формуле
(р-1)⁴р(р+1)(р²+2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах б1-б5).

Значит формула (р-1)³р⁵(р+1) для случая 1) при условии (2.2) верна.

2) Пусть , (количество их р-1), (количество высчитывается по формуле (1.5)) и (по р штук). Тогда из (2.1) получаем

.

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)³р⁴(р+1) (2.6)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , и .

Но при этих условиях не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:

а) , и . Из (2.1) получаем равенство , , а из того что получаем что, например, элемент однозначно выражается через элемент (р штук) и все остальные элементы. А значит количество матриц с данными условиями (р-1)⁴р²(р+1).

б) , и . Из (2.1) получаем равенство , . А из можем однозначно выразить, например, элемент через элемент (р штук) и все остальные элементы. А значит количество матриц с данными условиями (р-1)⁴р²(р+1).

3) Пусть , , (количество их p-1), (количество высчитывается по формуле (1.5)) и (по р штук).

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)[(р-1)²р(р+1)]ррр (2.7)

Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц порядка 3. складывая формулы (2.3), (2.6) и (2.7), полученные в этапах 1), 2) и 3) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 3 матриц над полем Z_>p>

(р-1)³р³(р+1)(р²+р+1) (2.8)

3. Общая формула для подсчета обратимых матриц над полем Z_>p>.

Используя алгоритм, описанный в предыдущих пунктах, для выведения формулы подсчета количества обратимых матриц, можем получить частные формулы для матриц произвольных порядков.

Например:

Для матриц порядка 4:

(р-1)⁴р⁶(р+1)(р²+р+1)(р³+р²+р+1).

Для матриц порядка 5:

(р-1)⁵р¹⁰(р+1)(р²+р+1)(р³+р²+р+1)( р⁴+р³+р²+р+1), и т.д.

Анализируя полученные результаты, можем сделать выводы, что общая формула для получения количества обратимых матриц порядка n над полем Z_>p> выглядит так:

Данную формулу тождественными преобразованиями можно привести к виду:

§3. Обратимые матрицы над кольцом Z_>n>_> >

Из теоремы доказанной в § 1 следует, что для определителей матриц A и B выполняется равенство |A·B|=|A|·|B|.

Для обратимых матриц A и B следует A·B=E.Следовательно |A·B|=|A|·|B|=|E|=1.

Таким образом, получаем: определитель обратимой матрицы является обратимым элементом.

Попытаемся сосчитать количество обратимых матриц над некоторыми кольцами вычетов по составному модулю.

Обратимые матрицы над Z_>4>.

*	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	0	2
3	0	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z_>4>: 4⁴=256.

В Z_>4> обратимыми элементами являются 1и3. Рассмотрим сколько обратимых матриц с определителем равным 1: |A|=ad-bc=1.

Разобьем на следующие варианты:

1. ad=3. Возможные случаи:

a=1  d=3,

a=3  d=1,

bc=2. Возможные случаи:

b=1  c=2,

b=2  c=1,

b=2  c=3,

b=3  c=2.

Получили с данным условием 8 обратимых матриц.

2. ad=2. Возможно 4 случая (см. предыдущий пункт).

bc=1. Возможные случаи:

b=c=1,

b=c=3.

Получили с данным условием 8 обратимых матриц.

3. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).

bc=0. Возможные случаи:

b=0  c=1,

b=0  c=2,

b=0  c=3,

b=1  c=0,

b=2  c=0,

b=3  c=0,

b=c=0,

b=c=2.

Получили сданным условием 16 обратимых матриц.

4. ad=0. Возможно 8 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=3. Возможно 2 случая (см. первый пункт).

Получили с данным условием 16 обратимых матриц.

Таким образом, по данной классификации получаем 8+8+16+16+16=48 обратимых матриц, определитель которых равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 3, и число таких матриц будет также равно 48.

Следовательно, из 256 квадратных матриц второго порядка над Z_>4> обратимыми являются 96.

Обратимые матрицы над Z_>6>.

*	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z_>6>: 6⁴=1296.

В Z_>6> обратимыми элементами являются 1 и 5. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1:
|A|=ad-bc=1.

Разобьем на следующие варианты:

1. ad=5. Возможные случаи:

a=1  d=5,

a=5  d=1,

bc=4. Возможные случаи:

b=1  c=4,

b=4  c=1,

b=2  c=5,

b=5  c=2,

b=c=2,

b=c=4.

Получили с данным условием 12 обратимых матриц.

2. ad=4. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=3. Возможные случаи:

b=3  c=1,

b=1  c=3,

b=3  c=5,

b=5  c=3,

b=c=3.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

3. ad=3. Возможно 5 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=2. Возможные случаи:

b=2  c=1,

b=1  c=2,

b=2  c=4,

b=4  c=2,

b=4  c=5,

b=5  c=4.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

4. ad=2. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=1. Возможные случаи:

b=c=1,

b=c=5.

Получили с данным условием 12 обратимых матриц.

5. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).

bc=0. Возможные случаи:

b=0  c=1,

b=0  c=2,

b=0  c=3,

b=0  c=4,

b=0  c=5,

b=1  c=0,

b=2  c=0,

b=3  c=0,

b=4  c=0,

b=5  c=0,

b=2  c=3,

b=3  c=2,

b=3  c=4,

b=4  c=3,

b=c=0.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

6. ad=0. Возможно 15 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=5. Возможно 2 случая (см. первый пункт).

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

Таким образом по данной классификации получаем 12+30+30+12+30+30=144 обратимых матриц, определитель которых
равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 5, и число таких матриц будет также равно 144.

Следовательно, из 1296 квадратных матриц второго порядка над Z_>6> обратимыми являются 288.

Обратимые матрицы над Z_>8>

*	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	0	2	4	6
3	0	3	6	3	4	7	2	5
4	0	4	0	4	0	4	0	4
5	0	5	2	7	4	1	6	3
6	0	6	4	2	0	6	4	2
7	0	7	6	5	4	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z_>8>: 8⁴=4096.

В Z_>8> обратимыми элементами являются 1, 3, 5 и 7. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1
|A|=ad-bc=1.

Аналогично предыдущим пунктам будем придерживаться той же классификации:

1. ad=7. Возможно 4 случая.

bc=6. Возможно 8 случаев.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

2. ad=6. Возможно 8 случаев.

bc=5. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

3. ad=5. Возможно 4 случая.

bc=4. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

4. ad=4. Возможно 12 случаев.

bc=3. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

5. ad=3. Возможно 4 случая.

bc=2. Возможно 8 случаев.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

6. ad=2. Возможно 8 случаев.

bc=1. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

7. ad=1. Возможны 4 случая .

bc=0. Возможно 20 случаев.

Получили с данным условием 80 обратимых матриц.

8. ad=0. Возможно 20 случаев.

bc=7. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 80 обратимых матриц.

Таким образом, обратимых матриц, определитель которых
равен 1 —384.

Следовательно, из 4096 квадратных матриц второго порядка над Z_>8> обратимыми являются 1536.

Обратимые матрицы над Z_>9>

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
2	0	2	4	6	8	1	3	5	7
3	0	3	6	0	3	6	0	3	6
4	0	4	8	3	7	2	6	1	5
5	0	5	1	6	2	7	3	8	4
6	0	6	3	0	6	3	0	6	3
7	0	7	5	3	1	8	6	4	2
8	0	8	7	6	5	4	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z_>9>: 9⁴=6561.

В Z_>9> обратимыми элементами являются 1, 2, 4, 5, 7 и 8.

1. ad=8. Возможно 6 случаев.

bc=7. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 36 обратимых матриц.

2. ad=7. Возможно 6 случаев.

bc=6. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 72 обратимых матриц.

3. ad=6. Возможно 12 случаев.

bc=5. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 72 обратимых матриц.

4. ad=5. Возможно 6 случаев.

bc=4. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 36 обратимых матриц.

5. ad=4. Возможно 6 случаев.

bc=3. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 72 обратимых матриц.

6. ad=3. Возможно 12 случаев.

bc=2. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 72 обратимых матриц.

7. ad=2. Возможно 6 случаев.

bc=1. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 36 обратимых матриц.

8. ad=1. Возможно 6 случаев.

bc=0. Возможно 21 случай.

Получили с данным условием 126 обратимых матриц.

9. ad=0. Возможно 21 случай.

bc=8. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 126 обратимых матриц.

Таким образом, обратимых матриц, определитель которых равен 1 -648.

Следовательно, из 6561 квадратных матриц второго порядка над Z_>9> обратимыми являются 3888.

Обратимые матрицы над Z_>10>

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	0	2	4	6	8
3	0	3	6	9	2	5	8	1	4	7
4	0	4	8	2	6	0	4	8	2	6
5	0	5	0	5	0	5	0	5	0	5
6	0	6	2	8	4	0	6	2	8	4
7	0	7	4	1	8	5	2	9	6	3
8	0	8	6	4	2	0	8	6	4	2
9	0	9	8	7	6	5	4	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z_>10>: 10⁴=1000.

В Z_>10> обратимыми элементами являются 1, 3, 7 и 9.

1. ad=9. Возможно 4 случая.

bc=8. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

2. ad=8. Возможно 12 случаев.

bc=7. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

3. ad=7. Возможно 4 случая.

bc=6. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

4. ad=6. Возможно 12 случаев.

bc=5. Возможно 9 случаев.

Получили с данным условием 108 обратимых матриц.

5. ad=5. Возможно 9 случаев.

bc=4. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 108 обратимых матриц.

6. ad=4. Возможно 12 случаев.

bc=3. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

7. ad=3. Возможно 4 случая.

bc=2. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

8. ad=2. Возможно 12 случаев.

bc=1. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

9. ad=1. Возможно 4 случая.

bc=0. Возможно 27 случаев.

Получили с данным условием 108 обратимых матриц.

10. ad=0. Возможно 27 случаев.

bc=9. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 108 обратимых матриц.

Таким образом, обратимых матриц, определитель которых
равен 1 —720.

Следовательно, из 10000 квадратных матриц второго порядка над Z_>10> обратимыми являются 2880.

Используя выше изложенный метод, было также вычислено количество обратимых матриц для колец вычетов по модулям:10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21. В результате всех вычислений были получены следующие данные (ниже также использованы формулы полученные в §2):

Z>n>	формула	количество
2	(p-1)2p(p+1)	6
3	(p-1)2p(p+1)	48
4	-	96
5	(p-1)2p(p+1)	480
6	-	288
7	(p-1)2p(p+1)	2016
8	-	1536
9	-	3888
10	-	2880
11	(p-1)2p(p+1)	13200
12	-	4608
13	(p-1)2p(p+1)	26208
14	-	12096
15	-	23040
16	-	24576
17	(p-1)2p(p+1)	78336
18	-	23328
19	(p-1)2p(p+1)	123120
20	-	43520
21	-	96768

В итоге анализа полученных результатов эмпирическим путем была получена следующая формула для вычисления количества обратимых матриц второго порядка над кольцом вычетов по произвольному модулю.

Пусть Z_>n> -кольцо вычетов по модулю n, причем n=p_>1>^k1p_>2>^k2…p_>m>^km ,

Тогда количество обратимых матриц второго порядка равно:

(p_>1>-1)²(p_>2>-1)²…(p_>m>-1)²p_>1>p_>2>…p_>m>(p_>1>+1)(p_>2>+1)…(p_>m>+1)(p_>1>⁴)^k1-1(p_>2>⁴)^k2-1…(p_>m>⁴)^km-1

Литература

Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.

Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.

Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.