Обобщённо булевы решетки

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Обобщенно булевы решетки

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Онучин Андрей Владимирович

Научный руководитель:

к.ф.-м.н., доцент кафедры алгебры и геометрии ВятГГУ
Чермных Василий Владимирович

Рецензент:

д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии ВятГГУ

Вечтомов Евгений Михайлович

Работа допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е.М. Вечтомов

«___»__________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина

Киров

2005

Содержание

Введение 3

Глава 1 4

1.1. Упорядоченные множества 4

1.2. Решётки 5

1.3. Дистрибутивные решётки 7

1.4. Обобщённые булевы решётки, булевы решётки 8

1.5. Идеалы 9

Глава 2 11

2.1. Конгруэнции 11

2.2. Основная теорема 16

Библиографический список 22

Введение

Булева решётка представляет собой классический математический объект, который начал интенсивно изучаться в работах М. Стоуна 30-е годы 20-го века, расширением этого понятия до обобщённо булевых решёток занимались Г. Гретцер и Е. Шмидт в своих трудах конца 50-х годов.

Цель данной работы: установление взаимно однозначного соответствия между конгруэнциями и идеалами в обобщённо булевых решётках. (Для булевых решёток это положение доказано в книге [2], кроме того, сформулировано в книге [3] в качестве упражнений). А также – установление связи между обобщённо булевыми решётками и булевыми кольцами.

Данная дипломная работа состоит из двух глав: в первой главе даны основные понятия, а так же содержатся базовые сведения из теории решёток. Кроме того, в первой главе рассмотрено несколько простейших теорем.

Вторая глава представляет собой основную часть данной дипломной работы. Опираясь на работы Гретцера Г., но более подробно, рассмотрены свойства конгруэнций и связь конгруэнций и идеалов в обобщённо булевых решётках (Теоремы 2.1, 2.2, 2.3.). Кроме того реализована основная цель данной дипломной работы: установлена связь между булевыми кольцами и обобщённо булевыми решётками (Основная теорема).

Глава 1

1.1. Упорядоченные множества

Упорядоченным множеством P называется непустое множество, на котором определено бинарное отношение , удовлетворяющее для всех следующим условиям:

1. Рефлексивность: .

2. Антисимметричность. Если и , то .

3. Транзитивность. Если и , то .

Если и , то говорят, что меньше или больше , и пишут или .

Примеры упорядоченных множеств:

Множество целых положительных чисел, а означает, что делит .

Множество всех действительных функций на отрезке и означает, что для .

Цепью называется упорядоченное множество, на котором для любых имеет место или .

Используя отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного упорядоченного множества P. Изобразим каждый элемент множества P в виде небольшого кружка, располагая x выше y, если . Соединим x и y отрезком. Полученная фигура называется диаграммой упорядоченного множества P.

П
римеры диаграмм упорядоченного множества:

1.2. Решётки

Верхней гранью подмножества Х в упорядоченном множестве Р называется элемент a из Р, больший или равный всех x из X.

Точная верхняя грань подмножества X упорядоченного множества P – это такая его верхняя грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом sup X и читается «супремум X».

Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна.

Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается inf X и читается «инфинум») определяются двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная нижняя грань X существует, то она единственна.

Р
ешёткой называется упорядоченное множество L, в котором любые два элемента x и y имеют точную нижнюю грань, обозначаемую , и точную верхнюю грань, обозначаемую .

Примеры решёток:

Примечание. Любая цепь является решёткой, т.к. совпадает с меньшим, а с большим из элементов .

Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают 1, а наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают 0.

На решётке можно рассматривать две бинарные операции:

- сложение и

- произведение

Эти операции обладают следующими свойствами:

1. , идемпотентность;

2. , коммутативность;

3. , ассоциативность;

4. , законы поглощения.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть L - множество с двумя бинарными операциями , обладающими свойствами (1) – (4). Тогда отношение (или ) является порядком на L, а возникающее упорядоченное множество оказывается решёткой, причём: и .

Доказательство. Рефлексивность отношения вытекает из свойства (1). Заметим, что оно является следствием свойства (4):

Если и , то есть и , то в силу свойства (2), получим . Это означает, что отношение антисимметрично.

Если и , то применяя свойство (3), получим: , что доказывает транзитивность отношения .

Применяя свойства (3), (1), (2), получим:

,

.

Следовательно, и .

Если и , то используя свойства (1) – (3), имеем:

, т.е. .

По определению точней верхней грани убедимся, что .

Из свойств (2), (4) вытекает, что и .

Если и , то по свойствам (3), (4) получим:

.

Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что

.

Таким образом, .

Пусть L решётка, тогда её наибольший элемент 1 характеризуется одним из свойств:

1. .

2. .

Аналогично характеризуется наименьший элемент :

1.

2. .

1.3. Дистрибутивные решётки

Решётка L называется дистрибутивной, если для любых выполняется:

D1. .

D2. .

В любой решётке тождества D1 и D2 равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [2], стр. 24.

Примеры дистрибутивных решёток:

Множество целых положительных чисел, означает, что делит . Это решётка с операциями НОД и НОК.

Любая цепь является дистрибутивной решёткой.

Т
ЕОРЕМА 1.2. Решётка L с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида

Доказательство этой теоремы можно найти в книге [1].

1.4. Обобщённо булевы решётки, булевы решётки

Всюду далее под словом «решётка» понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0.

Решётка L называется обобщённой булевой, если для любых элементов и d из L, таких что существует относительное дополнение на интервале , т.е. такой элемент из L, что и .

(Для , , интервал |; для , можно так же определить полуоткрытый интервал |).

ТЕОРЕМА 1.3. (О единственности относительного дополнения в обобщённо булевой решётке). Каждый элемент обобщённо булевой решётки L имеет только одно относительное дополнение на промежутке.

Доказательство. Пусть для элемента существует два относительных дополнения и на интервале . Покажем, что . Так как относительное дополнение элемента на промежутке , то и , так же относительное дополнение элемента на промежутке , то и .

Отсюда

,

таким образом , т.е. любой элемент обобщённой булевой решётки имеет на промежутке только одно относительное дополнение.

Решётка L называется булевой, если для любого элемента из L существует дополнение, т.е. такой элемент из L, что и

ТЕОРЕМА 1.4. (О единственности дополнения в булевой решётке). Каждый элемент булевой решётки L имеет только одно дополнение.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.3.

ТЕОРЕМА 1.5. (О связи обобщённо булевых и булевых решёток).

Любая булева решётка является обобщённо булевой, обратное утверждение не верно.

Доказательство. Действительно, рассмотрим произвольную булеву решётку L. Возьмём элементы a и d из L, такие что . Заметим, что относительным дополнением элемента a до элемента d является элемент , где a’ – дополнение элемента a в булевой решётке L. Действительно, , кроме того . Отсюда следует, что решётка L является обобщённо булевой.

1.5. Идеалы

Подрешётка I решётки L называется идеалом, если для любых элементов и элемент лежит в I. Идеал I называется собственным, если . Собственный идеал решётки L называется простым, если из того, что и следует или .

Так как непустое пересечение любого числа идеалов снова будет идеалом, то мы можем определить идеал, порождённый множеством H в решётке L, предполагая, что H не совпадает с пустым множеством. Идеал, порождённый множеством H будет обозначаться через (H]. Если , то вместо будем писать и называть главным идеалом.

ТЕОРЕМА 1.5. Пусть L – решётка, а H и I – непустые подмножества в L, тогда I является идеалом тогда и только тогда, когда если , то , и если , то .

Доказательство. Пусть I – идеал, тогда влечёт за собой , так как I – подрешётка. Если , то и условия теоремы проверены.

Обратно, пусть I удовлетворяет этим условиям и . Тогда и так как , то , следовательно, I – подрешётка. Наконец, если и , то , значит, и I является идеалом.

Глава 2

2.1. Конгруэнции

Отношение эквивалентности (т.е. рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение) на решётке L называется конгруэнцией на L, если и совместно влекут за собой и (свойство стабильности). Простейшими примерами являются ω, ι, определённые так:

(ω); (ι) для всех .

Для обозначим через смежный класс, содержащий элемент , т.е. ‌|

Пусть L – произвольная решётка и . Наименьшую конгруэнцию, такую, что для всех , обозначим через и назовём конгруэнцией, порождённой множеством .

ЛЕММА 2.1. Конгруэнция существует для любого .

Доказательство. Действительно, пусть Ф = | для всех . Так как пересечение в решётке совпадает с теоретико-множественным пересечением, то для всех . Следовательно, Ф=.

В двух случаях мы будем использовать специальные обозначения: если или и - идеал, то вместо мы пишем или соответственно. Конгруэнция вида называется главной; её значение объясняется следующей леммой:

ЛЕММА 2.2. =|.

Доказательство. Пусть , тогда , отсюда . С другой стороны рассмотрим , но тогда . Поэтому и .

Заметим, что - наименьшая конгруэнция, относительно которой , тогда как - наименьшая конгруэнция, такая, чтосодержится в одном смежном классе. Для произвольных решёток о конгруэнции почти ничего не известно. Для дистрибутивных решёток важным является следующее описание конгруэнции :

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть - дистрибутивная решётка, и . Тогда и .

Доказательство. Обозначим через Ф бинарное отношение, определённое следующим образом: и .

Покажем, что Ф – отношение эквивалентности:

1) Ф – отношение рефлексивности: x·a = x·a ; x+b = x+b;

2) Ф – отношение симметричности:

x·a = y·a и x+b = y+b y·a = x·a и y+b = x+b ;

3) Ф – отношение транзитивности.

Пусть x·a = y·a и x+b = y+b и пусть y·с = z·с и y+d = z+d. Умножим обе части x·a = y·a на элемент с, получим x·a·c = y·a·c. А обе части y·с = z·с умножим на элемент a, получим y·c·a = z·c·a. В силу симметричности x·a·c = y·a·c = z·a·c. Аналогично получаем x+b+d = y+b+d = z+b+d. Таким образом .

Из всего выше обозначенного следует, что Ф – отношение эквивалентности.

Покажем, что Ф сохраняет операции. Если и zL, то (x+z) ·a = (x·a) + (z·a) = (y·a) + (z·a) = (y+z) ·a и (x+z)+b = z+(x+b) = z+(y+b); следовательно, . Аналогично доказывается, что и, таким образом, Ф – конгруэнция.

Наконец, пусть - произвольная конгруэнция, такая, что , и пусть . Тогда x·a = y·a, x+b = y+b , и . Поэтому вычисляя по модулю , получим

, т.е. , и таким образом, .

СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ 2.1. Пусть I – произвольный идеал дистрибутивной решётки L. Тогда в том и только том случае, когда для некоторого . В частности, идеал I является смежным классом по модулю .

Доказательство. Если , то и элементы x·y·i, i принадлежат идеалу I.

Действительно .

Покажем, что .

Воспользуемся тем, что (*), заметим, что и , поэтому мы можем прибавить к тождеству (*) или , и тождество при этом будет выполняться.

Прибавим : , получим .

Прибавим : , получим .

Отсюда . Таким образом,.

Обратно согласно лемме 2, ‌‌‌‌‍|

Однако и поэтому ‌‌‌‌‍|

Если , то откуда

.

Действительно, (**).

Рассмотрим правую часть этого тождества:

Объединим первое и второе слагаемые –

.

Объединим первое и третье слагаемые –

,

таким образом (***)

Заметим, что , поэтому прибавим к обеим частям выражения (***) y:

Но , отсюда .

Следовательно, условие следствия из теоремы 2.1. выполнено для элемента . Наконец, если и , то , откуда и , т.е. является смежным классом.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть L – булева решётка. Тогда отображение является взаимно однозначным соответствием между конгруэнциями и идеалами решётки L. (Под понимаем класс нуля по конгруэнции , под понимаем решётку конгруэнций.)

Доказательство. В силу следствия из теоремы 2.1. это отображение на множество идеалов; таким образом мы должны только доказать, что оно взаимно однозначно, т.е. что смежный класс определяет конгруэнцию . Это утверждение, однако, очевидно. Действительно тогда и только тогда, когда (*), последнее сравнение в свою очередь равносильно сравнению , где с – относительное дополнение элемента в интервале .

Действительно, помножим выражение (*) на с:

, но, а , отсюда .

Таким образом, в том и только том случае, когда .

Примечание. Приведённое доказательство не полностью использует условие, что L – дистрибутивная решётка с дополнениями. Фактически, мы пользовались только тем, что L имеет нуль и является решёткой с относительными дополнениями. Такая решётка называется обобщённой булевой решёткой.

ТЕОРЕМА 2.3 (Хасимото [1952]). Пусть L – произвольная решётка. Для того, чтобы существовало взаимно однозначное соответствие между идеалами и конгруэнциями решётки L, при котором идеал, соответствующий конгруэнции , являлся бы смежным классом по , необходимо и достаточно, чтобы решётка L была обобщённой булевой.

Доказательство. Достаточность следует из доказательства теоремы 2.2. Перейдём к доказательству необходимости.

Идеалом, соответствующим конгруэнции , должен быть (0]; следовательно, L имеет нуль 0.

Если L содержит диамант , то идеал (a] не может быть смежным классом, потому что из следует и . Но , значит, любой смежный класс, содержащий , содержит и , и .

Аналогично, если L содержит пентагон и смежный класс содержит идеал , то и , откуда . Следовательно, этот смежный класс должен содержать и .

Итак, решётка L не содержит подрешёток, изоморфных ни диаманту, ни пентагону. Поэтому, по теореме 1.2., она дистрибутивна.

Пусть и . Согласно следствию из теоремы 2.1., для конгруэнции идеал так же является смежным классом, следовательно, , откуда . Опять применяя следствие из теоремы 2.1. получим, для некоторого . Так как , то и . Следовательно, о полу орого ледствие 4 получим, цииодержать , соответствующим конгруэнции образом мы должны только доказать, ______________ и , т.е. элемент является относительным дополнением элемента в интервале .

2.2. Основная теорема

Пусть - обобщённая булева решётка. Определим бинарные операции на B, полагая и обозначая через относительное дополнение элемента в интервале . Тогда - булево кольцо, т.е. (ассоциативное) кольцо, удовлетворяющее тождеству (а следовательно и тождествам , ).

Пусть - булево кольцо. Определим бинарные операции и на , полагая, что и . Тогда - обобщённая булева решётка.

Доказательство.

Покажем, что - кольцо.

Напомним определение. Кольцо - это непустое множество с заданными на нём двумя бинарными операциями , которые удовлетворяют следующим аксиомам:

Коммутативность сложения: выполняется ;

Ассоциативность сложения: выполняется ;

Существование нуля, т.е. , ;

Существование противоположного элемента, т.е. , , ;

Ассоциативность умножения: , ;

Закон дистрибутивности.

Проверим, выполняются ли аксиомы кольца:

1. Относительным дополнением до элемента будет элемент , а относительным дополнением элемент . В силу того, что , а так же единственности дополнения имеем .

2. Покажем, что .

Рассмотрим все возможные группы вариантов:

1) Пусть , тогда (Далее везде под элементом x будем понимать сумму ).

Аналогично получаем в случаях , , , и . Заметим, что когда один из элементов равен нулю (например, c), то получаем тривиальные варианты (a+b=a+b).

2) Пусть , а элемент c не сравним с ними. Возможны следующие варианты:

Нетрудно заметить, что во всех этих случаях , кроме того:

если c=a+b, то (a+b)+c=0=a+(b+c);

если c=0, то получаем тривиальный вариант.

Вариант, когда c равен наибольшему элементу решётки d, мы уже рассматривали.

Если c=b, то (a+b)+c=(a+b)+b=a и a+(b+c)=a+(b+b)=a.

Если c=a, то (a+b)+c=(a+b)+a=b и a+(b+c)=a+(b+a)=b.

Аналогично для случаев , , , и .

3) Под элементами нижнего уровня будем понимать элементы , , , , , , , , т.е. те элементы 4-х мерного куба, которые образуют нижний трёхмерный куб.

Под элементами верхнего уровня будем понимать элементы , , , , , , , , т.е. те элементы 4-х мерного куба, которые образуют верхний трёхмерный куб.

Под фразой «элемент верхнего уровня, полученный из элемента нижнего уровня сдвигом по соответствующему ребру» будем понимать элемент верхнего уровня.

Пусть a, b, c несравнимы. Рассмотрим следующие варианты: и .

Пусть . Заметим, что это возможно только в случаях, когда принадлежат нижнему уровню, причём лежат на позициях элементов (рис. 1). Либо a, b остаются на своих позициях, элемент c сдвигается на верхний уровень по соответствующему ребру (рис. 2). Либо элемент a остаётся на своей позиции, элементы b, c сдвигаются на верхний уровень по соответствующему ребру (рис 3).

Нетрудно заметить, что во всех этих случаях .

Пусть , здесь так же .

Таким образом мы рассмотрели все основные группы вариантов расположения элементов a, b, c и во всех этих случаях ассоциативность сложения выполняется.

3. Рассмотрим в решётке элемент , к нему существует относительное дополнение до элемента , т.е. и . Учитывая, что в решётке и , имеем следующее: и . Отсюда .

4. Рассмотрим относительное дополнение элемента до , это элемент . Таким образом: и . Учитывая, что в решётке выполняются тождества и имеем следующее: и . Отсюда .

5. Так как в решётке выполняется ассоциативность , а так же имея , то .

6. Докажем дистрибутивность или что то же самое

(*).

Докажем, что дополнения левой и правой частей выражения (*) до верхней грани совпадают.

Нетрудно заметить, что дополнением правой части выражения (*) до элемента будет являться элемент .

Покажем это:

, по определению относительного дополнения элемента (), где за приняли элемент , а элемент за .

, по определению относительного дополнения элемента () , где за приняли элемент , а элемент за .

Покажем, что и для левой части (*) элемент будет являться относительным дополнением до верхней грани :

, т.к. .

Мы показали, что дополнения элементов и до верхней грани совпадают, следовательно, в силу единственности дополнения . А значит и , т.е. дистрибутивность доказана.

Таким образом, для все аксиомы кольца выполняются.

Заметим, что выполняется в силу того, что , а в решётке .

Также выполняется , потому что .

Таким образом, - булево кольцо.

Доказательство (2). Частичную упорядоченность имеем исходя из того, что исходное булево кольцо - частично упорядоченное множество. Кроме того - решётка, т.к. существуют sup(x,y) и inf(x,y), заданные соответствующими правилами: и .

Покажем, что решётка дистрибутивна, т.е. что выполняется тождество (*)

Рассмотрим левую часть выражения (*):

.

Рассмотрим правую часть выражения (*):

,

т.о. тождество верно, т.е. решётка является дистрибутивной.

Покажем, что у каждого элемента в дистрибутивной решётке есть относительное дополнение. Для этого рассмотрим произвольные элементы , но они так же должны являться элементами решётки , следовательно, в ней должны лежать и , которым в кольце соответствуют .

Рассмотрим элемент булева кольца (в решётке лежит соответствующий ему элемент), заметим, что

и .

Поэтому элемент будет являться в дистрибутивной решётке относительным дополнением до верхней грани .

Таким образом, будет являться дистрибутивной решёткой с относительными дополнениями (обобщённой булевой).

Библиографический список

Гретцер, Г. Общая теория решёток [Текст] / Г. Гретцер. – М.: Мир, 1982.

Биркгоф, Г. Теория решёток [Текст] / Г. Биркгоф. – М.: Наука, 1984.

Скорняков, Л.А. Элементы алгебры [Текст] / Л.А. Скорняков. – М.: Наука, 1989.