О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Курсовая работа
О МИНИМАЛЬНЫХ
-ЗАМКНУТЫХ
ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ НЕ
-ФОРМАЦИЯХ
КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Исполнитель:
Студентка группы М-32 Макаренко Л.А.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Сафонов В.Г.
Гомель 2006
Содержание
Введение
1. Определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Основные результаты
Заключение
Литература
Введение
Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Используемую терминологию можно найти в [1, 2].
При изучении внутреннего
строения, а также классификации насыщенных
формаций важную роль играют так называемые
минимальные насыщенные не
-формации
[3] или
-критические
формации [4]. Напомним, что насыщенная
формация
,
называется минимальной насыщенной не
-формацией,
если все собственные насыщенные
подформации
содержатся в классе групп
.
Задача изучения формаций такого рода
впервые была поставлена Л.А. Шеметковым
на VI
симпозиуме по теории групп [3]. Ее решение,
в классе насыщенных формаций, получено
А.Н. Скибой [5].
В теории тотально
насыщенных формаций изучение минимальных
тотально насыщенных не
-формаций
было начато А.Н.Скибой в книге [2], где
было дано описание разрешимых минимальных
тотально насыщенных не
-формаций
(
– формация всех разрешимых групп
нильпотентной длины
).
В работах автора [6-10] теория минимальных
-замкнутых
тотально насыщенных не
-формаций
получила свое дальнейшее развитие.
Основными результатами в этом направлении
являются следующие теоремы.
Теорема 1 [10].
Пусть
и
–
-замкнутые
тотально насыщенные формации,
.
Тогда и только тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-формация,
когда
,
где
– такая монолитическая
-минимальная
не
-группа
с монолитом
,
что выполняется одно из следующих
условий:
1)
– группа простого порядка
;
2)
– неабелева группа и
,
где
– совокупность всех собственных
-подгрупп
группы
;
3)
,
где
– самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в
при всех
,
а
либо группа простого порядка
,
либо такая монолитическая
-минимальная
не
-группа
с неабелевым монолитом
,
что
,
совпадает с
-корадикалом
группы
и
где
– совокупность всех собственных
-подгрупп
группы
.
Теорема 2 [10].
Пусть
и
–
-замкнутые
тотально насыщенные формации,
.
Тогда и только тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-формация
когда
удовлетворяет одному из следующих
условий:
1)
,
где
– такая монолитическая
-минимальная
не
-группа
с неабелевой минимальной нормальной
подгруппой
,
что справедливо включение
,
где
– совокупность всех собственных
-подгрупп
группы
;
2)
,
где
и
;
3)
,
где
,
а
– такая монолитическая группа с
неабелевой минимальной нормальной
подгруппой
,
что
совпадает с
-корадикалом
группы
,
и
.
В настоящей работе,
основываясь на результатах работы [10],
мы даем описание
-критических
формаций для некоторых наиболее известных
формаций
.
1. Определения и обозначения
Напомним, что всякую
формацию групп называют 0-кратно
насыщенной.
При
формацию
называют
-кратно
насыщенной,
если она имеет такой локальный экран,
все непустые значения которого –
-кратно
насыщенные формации. Формацию
-кратно
насыщенную для любого целого
неотрицательного
называют тотально
насыщенной.
Подгрупповым
функтором
[2] называют отображение
сопоставляющее каждой группе
такую систему ее подгрупп
,
что: 1)
;
2) для любых групп
и
и любого эпиморфизма
имеет место
и
Тотально насыщенную
формацию
называют
-замкнутой,
если
для любой группы
.
-Замкнутую
тотально насыщенную формацию
называют минимальной
-замкнутой
тотально насыщенной не
-формацией
(или, иначе,
-критической),
если
,
но все собственные
-замкнутые
тотально насыщенные подформации из
содержатся в классе групп
.
Пусть
–
-замкнутая
формация. Группа
называется
-минимальной
не
-группой,
если
,
но
для любой собственной подгруппы
из
.
Для всякой совокупности
групп
через
обозначают
-замкнутую
тотально насыщенную формацию, порожденную
классом групп
,
т.е. пересечение всех
-замкнутых
тотально насыщенных формаций, содержащих
.
Если
,
то
называют однопорожденной
-замкнутой
тотально насыщенной формацией. Для
любых
-замкнутых
тотально насыщенных формаций
и
полагают
.
Частично упорядоченное по включению
множество всех
-замкнутых
тотально насыщенных формаций
с операциями
и
образует полную решетку. Формации из
называют
-формациями.
Экран, все непустые значения которого
-формации,
называют
-значным.
Если
–
-формация,
то через
обозначают её минимальный
-значный
локальный экран.
Для произвольной
последовательности простых чисел
и всякой совокупности групп
класс групп
определяют следующим образом:
1)
;
2)
.
Последовательность
простых чисел
называют подходящей
для
,
если
и для любого
число
.
Множество всех подходящих для
последовательностей обозначают через
.
Символом
обозначают совокупность всех таких
последовательностей
из
,
у которых
при всех
.
Пусть
– некоторая подходящая для
последовательность. Тогда
-значный
локальный экран
определяют следующим образом:
1)
;
2)
.
В дальнейшем через
будем обозначать некоторое непустое
множество простых чисел.
2. Используемые результаты
Лемма 2.1 [9].
Пусть
– монолитическая группа,
– неабелева
группа. Тогда
имеет единственную максимальную
-подформацию
,
где
– совокупность
всех собственных
-подгрупп
группы
.
В частности,
.
Лемма 2.2 [2, c.
33]. Пусть
,
где
– непустой класс групп. Тогда если
– минимальный
-значный
экран формации
,
то справедливы следующие утверждения:
1)
;
2)
при всех простых
числах
;
3) если
– произвольный
-значный
экран формации
,
то при любом
имеет место
Следующая лемма является частным случаем теоремы 2.5.5 [2, c. 94].
Лемма 2.3.
Пусть
,
–
-замкнутые
тотально насыщенные формации,
,
– канонический экран формации
.
Тогда
является
-критической
формацией в том и только в том случае,
когда
,
где
– такая монолитическая
-минимальная
не
-группа
с монолитом
,
что для всех
формация
-критична.
3. Основные результаты
Теоремы 1 и 2 могут быть использованы
для нахождения описания минимальных
-замкнутых
тотально насыщенных не
-формаций
для большинства «классических», наиболее
часто используемых в приложениях классов
групп
,
поскольку большинство из них являются
наследственными тотально насыщенными
формациями. Приведем описание
-критических
формаций для некоторых конкретных
классов групп
.
Минимальные
-замкнутые
тотально насыщенные не
-разрешимые
формации.
Напомним, что группу
называют
-разрешимой,
если
для каждого ее главного
-фактора
.
Пусть
– формация всех
-разрешимых
групп. Тогда, очевидно,
.
Класс всех
-разрешимых
групп является наследственной тотально
насыщенной формацией.
Теорема 3.1.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-разрешимая
формация, когда
,
где
– монолитическая
-минимальная
не
-разрешимая
группа с таким неабелевым монолитом
,
что
и группа
>
>
-разрешима.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-разрешимая
формация. По теореме 1 имеем
,
где
– такая монолитическая
-минимальная
не
-разрешимая
группа с монолитом
,
что выполняется одно из следующих
условий:
1)
– группа простого порядка
;
2)
– неабелева группа и
,
где
– совокупность всех собственных
-подгрупп
группы
;
3)
,
где
– самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в
при всех
,
а
либо группа простого порядка
,
либо такая монолитическая
-минимальная
не
-группа
с неабелевым монолитом
,
что
,
совпадает с
-корадикалом
группы
и
где
– совокупность всех собственных
-подгрупп
группы
.
Поскольку
,
то
– неабелева группа и
.
Таким образом, группа
удовлетворяет условию теоремы.
Достаточность.
Пусть
,
где
– группа из условия теоремы. Ввиду леммы
2.1 формация
имеет единственную максимальную
-замкнутая
тотально насыщенную подформацию
,
где
– совокупность всех собственных
-подгрупп
группы
.
Поскольку
и
,
то
.
Следовательно,
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-разрешимая
формация. Теорема доказана.
Следствие 3.1.1.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-разрешимая
формация, когда
,
где
– монолитическая
-минимальная
не
-разрешимая
группа с таким неабелевым монолитом
,
что
и группа
-разрешима.
Следствие 3.1.2 [9].
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная неразрешимая
формация, когда
,
где
– монолитическая
-минимальная
неразрешимая группа с таким неабелевым
монолитом
,
что группа
разрешима.
Если
– тривиальный подгрупповой функтор,
т.е.
из теоремы 3.1 вытекает
Следствие 3.1.3.
Тогда и только
тогда
– минимальная тотально насыщенная не
-разрешимая
формация, когда
,
где
– монолитическая группа с таким
неабелевым монолитом
,
что
и группа
-разрешима.
Следствие 3.1.4 [7].
Тогда и только
тогда
– минимальная тотально насыщенная
неразрешимая формация, когда
,
где
– монолитическая группа с таким
неабелевым монолитом
,
что группа
разрешима.
В случае, когда
–
совокупность всех подгрупп группы
из теоремы 3.1 получаем
Следствие 3.1.5.
Тогда и только
тогда
– минимальная наследственная тотально
насыщенная не
-разрешимая
формация, когда
,
где
– простая неабелева минимальная не
-разрешимая
группа.
Следствие 3.1.6.
Тогда и только
тогда
– минимальная наследственная тотально
насыщенная не
-разрешимая
формация, когда
,
где
– простая неабелева минимальная не
-разрешимая
группа.
Следствие 3.1.7.
Тогда и только
тогда
– минимальная наследственная тотально
насыщенная неразрешимая формация, когда
,
где
– простая неабелева минимальная
неразрешимая группа.
Если
– совокупность всех нормальных подгрупп
группы
имеем
Следствие 3.1.8.
Тогда и только
тогда
– минимальная нормально наследственная
тотально насыщенная не
-разрешимая
формация, когда
,
где
– простая неабелева
-группа.
Следствие 3.1.9.
Тогда и только
тогда
– минимальная нормально наследственная
тотально насыщенная не
-разрешимая
формация, когда
,
где
– простая неабелева
-группа.
Следствие 3.1.10.
Тогда и только
тогда
– минимальная нормально наследственная
тотально насыщенная неразрешимая
формация, когда
,
где
– простая неабелева группа.
Минимальные
-замкнутые
тотально насыщенные не
-нильпотентные
формации.
Группа
называется
-нильпотентной,
если она имеет нормальную
-холловскую
подгруппу для каждого
.
Класс всех
-нильпотентных
групп совпадает с произведением
и является наследственной тотально
насыщенной формацией.
Теорема 3.2.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-нильпотентная
формация, когда
,
где
– не
-нильпотентная
группа Шмидта.
Доказательство.
Пусть
формацию всех
-нильпотентных
групп.
Необходимость.
Пусть
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-нильпотентная
формация. В силу теоремы 1 имеет место
,
где
– такая монолитическая
-минимальная
не
-нильпотентная
группа с монолитом
,
что выполняется одно из следующих
условий:
1)
– группа простого порядка
;
2)
– неабелева группа и
,
где
– совокупность всех собственных
-подгрупп
группы
;
3)
,
где
– самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в
при всех
,
а
либо группа простого порядка
,
либо такая монолитическая
-минимальная
не
-группа
с неабелевым монолитом
,
что
,
совпадает с
-корадикалом
группы
и
где
– совокупность всех собственных
-подгрупп
группы
.
Поскольку
,
то первые два случая невозможны. Поэтому
– абелева
-группа,
где
.
По лемме 2.2 имеем
.
Поэтому
,
где
– группа простого порядка. Таким образом,
– не
-нильпотентная
группа Шмидта.
Достаточность.
Пусть
,
где
– не
-нильпотентная
группа Шмидта. Поскольку
насыщенная формация, то без ограничения
общности можно считать, что
.
Поэтому
,
где
– минимальная нормальная
-подгруппа
группы
,
а
–
группа простого порядка
.
Так как группа
и все собственные подгруппы из
нильпотентны, а следовательно, и
-нильпотентны,
то
–
-минимальная
не
-нильпотентная
группа и
–
-нильпотентный
корадикал группы
.
Используя теперь теорему 1 заключаем,
что
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-нильпотентная
формация. Теорема доказана.
Используя теорему 2, получим
Следствие 3.2.1.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-нильпотентная
формация, когда
,
где
и
– различные простые числа,
.
В случае, когда
из теорем 3.2 и 2 вытекают
Следствие 3.2.2.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-нильпотентная
формация, когда
,
где
– не
-нильпотентная
группа Шмидта.
Следствие 3.2.3.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-нильпотентная
формация, когда
,
где
– отличное
простое число.
Если теперь
– множество всех простых чисел из
теоремы 3.2 получаем
Следствие 3.2.4.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная ненильпотентная
формация, когда
,
где
– некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.2.5.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная ненильпотентная
формация, когда
,
где
и
– различные простые числа.
Следствие 3.2.6 [7].
Тогда и только
тогда
– минимальная тотально насыщенная
ненильпотентная формация, когда
,
где
и
– различные простые числа.
Минимальные
-замкнутые
тотально насыщенные не
-замкнутые
формации.
Напомним, что группа
называется
-замкнутой,
если она имеет нормальную
-холловскую
подгруппу. Формация всех
-замкнутых
групп, очевидно, совпадает с произведением
и является наследственной тотально
насыщенной формацией.
Теорема 3.3.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-замкнутая
формация, когда
,
где
– не
-замкнутая
группа Шмидта.
Доказательство.
Обозначим через
формацию всех
-замкнутых
групп.
Необходимость.
Пусть
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-замкнутая
формация. По теореме 1 имеем
,
где
– такая монолитическая
-минимальная
не
-замкнутая
группа с монолитом
,
что выполняется одно из следующих
условий:
1)
– группа простого порядка
;
2)
– неабелева группа и
,
где
– совокупность всех собственных
-подгрупп
группы
;
3)
,
где
– самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в
при всех
,
а
либо группа простого порядка
,
либо такая монолитическая
-минимальная
не
-группа
с неабелевым монолитом
,
что
,
совпадает с
-корадикалом
группы
и
где
– совокупность всех собственных
-подгрупп
группы
.
Так как
,
то
.
Если
– неабелева группа, то по лемме 2.2 имеем
.
Значит,
Противоречие. Поэтому
– абелева
-группа,
где
.
Значит,
для некоторой максимальной подгруппы
группы
.
В силу леммы 2.3 получаем, что
–
-критическая
формация. Согласно лемме 2.2 имеем
.
Так как
,
то
– группа простого порядка
.
Таким образом,
– не
-замкнутая
группа Шмидта.
Достаточность.
Пусть
,
где
– не
-замкнутая
группа Шмидта. Так как
– насыщенная формация, то не ограничивая
общности можно считать, что
.
Поэтому
,
где
– минимальная нормальная
-подгруппа
,
,
– группа простого порядка
.
Так как группа
и любая собственная подгруппа из
нильпотентны, а значит, и
-замкнуты,
то
–
-минимальная
не
-замкнутая
группа и
её
-замкнутый
корадикал. Теперь, в силу теоремы 1, мы
можем заключить, что
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-замкнутая
формация. Теорема доказана.
Следствие 3.3.1.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-замкнутая
формация, когда
,
где
и
.
В случае, когда
из теоремы 3.3 вытекает
Следствие 3.3.2.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-замкнутая
формация, когда
,
где
– не
-замкнутая
группа Шмидта.
Следствие 3.3.3.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-замкнутая
формация, когда
,
где
– отличное от
простое число.
Минимальные
-замкнутые
тотально насыщенные не
-специальные
формации.
Группа называется
-специальной,
если она обладает нильпотентной
нормальной
-холловской
подгруппой. Понятно, что совокупность
всех
-специальных
групп совпадает с классом
и является наследственной тотально
насыщенной формацией.
Теорема 3.4.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-специальная
формация, когда
,
где
– не
-специальная
группа Шмидта.
Доказательство.
Пусть
обозначает формацию всех
-специальных
групп.
Необходимость. Если
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-специальная
формация, то по теореме 1 имеет место
,
где
– такая монолитическая
-минимальная
не
-специальная
группа с монолитом
,
что выполняется одно из следующих
условий:
1)
– группа простого порядка
;
2)
– неабелева группа и
,
где
– совокупность всех собственных
-подгрупп
группы
;
3)
,
где
– самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в
при всех
,
а
либо группа простого порядка
,
либо такая монолитическая
-минимальная
не
-группа
с неабелевым монолитом
,
что
,
совпадает с
-корадикалом
группы
и
где
– совокупность всех собственных
-подгрупп
группы
.
Поскольку
,
то случай 1) не имеет место и
.
Если
– неабелева группа, то в силу леммы 2.1
имеем
.
Поэтому
и
.
Пусть
и
.
Тогда в силу леммы 2.1 имеет место
включение
.
Противоречие. Поэтому невозможен и
случай 2). Следовательно,
– абелева
-группа.
Так как имеют место равенства>
>
,
то
,
где
– группа порядка
.
Таким образом,
– не
-специальная
группа Шмидта.
Достаточность.
Пусть
,
где
– не
-специальная
группа Шмидта. Тогда
.
Поскольку
– насыщенная формация, то без ограничения
общности можно считать, что
.
Поэтому
,
где
– минимальная нормальная
-подгруппа
,
а
– группа простого порядка
.
Ввиду того, что группа
и любая собственная подгруппа из
нильпотентны, а следовательно, и
-специальны,
то
–
-минимальная
не
-специальная
группа и
её
-специальный
корадикал. Привлекая теперь теорему 1
заключаем, что
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-специальная
формация. Теорема доказана.
Следствие 3.4.1.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-специальная
формация, когда
,
где
и
– различные простые числа,
.
В случае, когда
из теоремы 3.4 вытекает
Следствие 3.4.2.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-специальная
формация, когда
,
где
– не
-специальная
группа Шмидта.
Следствие 3.4.3.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-специальная
формация, когда
,
где
– отличное от
простое число.
Минимальные
-замкнутые
тотально насыщенные не
-разложимые
формации.
Группа называется
-разложимой,
если она одновременно
-специальна
и
-замкнута.
Класс всех
-разложимых
групп совпадает с пересечением
и является наследственной тотально
насыщенной формацией.
Теорема 3.5.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-разложимая
формация, когда
,
где
– не
-разложимая
группа Шмидта.
Доказательство.
Обозначим через
формацию всех
-разложимых
групп.
Необходимость.
Пусть
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-
разложимая
формация. В силу теорем 3.3 и 3.4 имеем
,
где
– такая группа Шмидта, что
.
Таким образом,
– не
-
разложимая группа Шмидта.
Достаточность.
Пусть
,
где
– не
-разложимая
группа Шмидта. Поэтому
.
Ввиду насыщенности формации
можно считать, что
.
Значит,
,
где
– минимальная нормальная
-подгруппа
,
а
– группа простого порядка. Поскольку
группа
и любая собственная подгруппа из
нильпотентны, а значит, и
-разложимы,
то
–
-минимальная
не
-разложимая
группа и
её
-разложимый
корадикал. В силу теоремы 1 имеем
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-разложимая
формация. Теорема доказана.
Следствие 3.5.1.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-разложимая
формация, когда
,
где
.
В случае, когда
из теоремы 3.24 вытекает
Следствие 3.5.2.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-разложимая
формация, когда
,
где
– не
-разложимая
группа Шмидта.
Следствие 3.5.3.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-разложимая
формация, когда
,
где
– отличное от
простое число.
Минимальные
-замкнутые
тотально насыщенные не
-формации.
Класс всех разрешимых
групп с нильпотентной длиной не
превосходящей
совпадает с произведением
(число сомножителей равно
)
и является наследственной тотально
насыщенной формацией.
Теорема 3.6.
Тогда и только
тогда
– минимальная тотально насыщенная не
-формация,
когда
,
где
– минимальная не
-группа,
– самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в
при всех
и
– группа простого порядка.
Доказательство.
Обозначим через
формацию
.
Необходимость. Пусть
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-формация.
По теореме 1
,
где
– такая монолитическая
-минимальная
не
-группа
с монолитом
,
что выполняется одно из следующих
условий:
1)
– группа простого порядка
;
2)
– неабелева группа и
,
где
– совокупность всех собственных
-подгрупп
группы
;
3)
,
где
– самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в
при всех
,
а
либо группа простого порядка
,
либо такая монолитическая
-минимальная
не
-группа
с неабелевым монолитом
,
что
,
совпадает с
-корадикалом
группы
и
где
– совокупность всех собственных
-подгрупп
группы
.
Поскольку
,
то случай 1) невозможен. Если группа
неабелева, то по лемме 2.1
,
что невозможно. Следовательно, имеет
место случай 3). Поскольку группа
разрешима, то
,
где
– самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в
при всех
,
а
группа простого порядка
.
Таким образом, группа
удовлетворяет условию теоремы.
Достаточность вытекает из теоремы 1. Теорема доказана.
Следствие 3.6.1 [2, с.
94]. Пусть
– разрешимая формация.
Тогда и только
тогда
– минимальная тотально насыщенная не
-формация,
когда
,
где
– минимальная не
-группа,
– самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в
при всех
и
– группа простого порядка.
Следствие 3.6.2.
Тогда и только
тогда
– минимальная тотально насыщенная не
-формация,
когда
для некоторой последовательности
из
.
Следствие 3.6.3 [2, с.
94]. Пусть
– разрешимая формация.
Тогда и только
тогда
– минимальная тотально насыщенная не
-формация,
когда
для некоторой последовательности
из
.
Отметим, что полученные
результаты могут быть использованы для
описания
-критических
формаций и в случаях, когда формация
не является тотально насыщенной.
Минимальные
-замкнутые
тотально насыщенные не
-формации.
Класс всех групп с
нильпотентным коммутантом, очевидно,
совпадает с произведением
,
где
– класс всех нильпотентных, а
– класс всех абелевых групп. Формация
не является тотально насыщенной, но
содержит единственную максимальную
наследственную тотально насыщенную
подформацию
.
Следовательно, любая минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-формация
является минимальной
-замкнутой
тотально насыщенной не
-формацией.
Таким образом, привлекая следствия
3.2.4 и 3.2.5, получим
Теорема 3.7.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-формация,
когда
,
где
– некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.7.1.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная не
-формация,
когда
,
где
и
– различные простые числа.
Минимальные
-замкнутые
тотально насыщенные несверхразрешимые
формации.
Пусть
формация всех сверхразрешимых групп.
Как известно (см., например, [2, с. 28]),
формация
не является тотально насыщенной. Однако
содержит единственную максимальную
наследственную тотально насыщенную
подформацию
.
Поэтому любая минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная несверхразрешимая
формация является минимальной
-замкнутой
тотально насыщенной ненильпотентной
формацией. Значит, в силу следствий
3.2.4 и 3.2.5, имеют место
Теорема 3.8.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная несверхразрешимая
формация, когда
,
где
– некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.8.1.
Тогда и только
тогда
– минимальная
-замкнутая
тотально насыщенная несверхразрешимая
формация, когда
,
где
и
– различные простые числа.
Заключение
В работе изучаются
минимальные
-замкнутые
тотально насыщенные не
-формации
конечных групп. При этом
-замкнутую
тотально насыщенную формацию
называют минимальной
-замкнутой
тотально насыщенной не
-формацией
или
-критической,
если
,
но все собственные
-замкнутые
тотально насыщенные подформации из
содержатся в классе групп
.
Получено описание
-критических
формаций для таких классов групп
,
как классы всех
-разрешимых,
-нильпотентных,
-замкнутых,
-специальных,
-разложимых
групп (
– некоторое непустое подмножество
множества всех простых чисел), класс
разрешимых групп нильпотентной длины
не превосходящей
(
– некоторое натуральное число), класс
всех групп с нильпотентным коммутантом,
класс всех сверхразрешимых групп.
Литература
1. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба // М.: Наука, 1989.
2. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А. Н. Скиба // Мн.: Беларуская навука, 1997.
3. Шеметков, Л.А. Экраны ступенчатых формаций / Л. А. Шеметков // Тр. VI Всесоюзн. симпозиум по теории групп. – Киев: Наукова думка, 1980. – С. 37-50.
4. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1980. – № 4. – С. 27-33.
5. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993. – С. 258-268.
6. Сафонов, В.Г. О тотально насыщенных формациях конечной длины / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2004. – № 6. – С. 150-155.
7. Сафонов, В.Г. О двух задачах теории тотально насыщенных формаций / В. Г. Сафонов // Докл. НАН Беларуси, 2005. – Т. 49, № 5, – C. 16-20.
8. Сафонов, В.Г. О приводимых тотально насыщенных формациях нильпотентного дефекта 3 / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2005. № 4 (31). – С. 157-162.
9. Сафонов, В.Г. Характеризация разрешимых однопорожденных тотально насыщенных формаций конечных групп / В.Г. Сафонов // Сибирский матем. журнал, 2007 – Т. 48, № 1. – С. 185-191.
10. Сафонов, В.Г.
-критические
формации / В. Г. Сафонов // Известия
Гомельского госуниверситета, 2008. № 2
(47). – С. 169-176.