О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами
Современные качественные исследования устойчивости
О вариационности некоторых ДУЧП
с отклоняющимися аргументами
И.А. Колесникова
Российский университет дружбы народов
117198, Россия, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.
тел.: (095) 952-35-83, e-mail Vsavchin@mx.pfu.edu.ru
Исследована задача
существования вариационных принципов
для дифференциальных уравнений с
отклоняющимися аргументами вида
1
.
Постановка задачи. Пусть
N
– оператор, заданный в области D(N)
линейного нормированного
пространства U
над полем действительных
чисел R,
а область значений R(N)
принадлежит линейному нормированному
пространству V
над полем
R,
т.е.
В
дальнейшем всюду предполагается, что
в каждой точке
существует
производная Гато
оператора N,
определяемая формулой
(1)
Решается задача существования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимися аргументами вида
(2)
где
-ограниченная
область в
,
с кусочногладкой границей
в предположении достаточной гладкости всех рассматриваемых функций.
Зададим область определения оператора N равенством
(3)
Здесь
-
заданные функции,
- неизвестная функция. Числа
зависят соответственно от
.
Если
-
четны, то
При
нечетном
полагаем
Обозначим
Введем классическую билинейную
форму вида
где
(4)
Б
удем
говорить, что уравнение (2) допускает
прямую вариационную формулировку на
множестве D(N),
относительно билинейной
формы (4), если
существует функционал F>N>>:>
D(F>N>
)=D(N)—>R
такой, что
Функционал F>N> называется потенциалом оператора N, а N – градиентом функционала F>N>. Записывают N=grad>ф>F>N>. Оператор N называется потенциальным на множестве D(N) относительно Ф.
Обозначая
через
замыкание области
,
будем предполагать, что
-
выпуклое множество,
,
для любых фиксированных элементов
функция
Как известно [2., стр.15], необходимым и достаточным условием потенциальности оператора N на множестве D(N) относительно заданной формы является условие симметричности
И
скомый
функционал в этом случае имеет вид:
где F>0> произвольный фиксированный элемент из R.
Для уравнения вида (2) устанавливается, что существует вариационный принцип в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда справедлива
Теорема 1. Для потенциальности оператора (2) на множестве (3) относительно билинейной формы (4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
С
овременные
качественные исследования устойчивости
Доказательство теоремы может быть проведено по схеме изложенной в работе [1, стр.43].
2.Примеры.
А
.
Рассматривается
дифференциальное уравнение с отклоняющимися
аргументами вида (частный случай
уравнения (2))
с
граничными условиями
Для решения вопроса о вариационности задачи (7),(8) воспользуемся теоремой 1. Из условий (6) получим
Отсюда заключаем, что в случае потенциальности рассматриваемого оператора коэффициенты a>-1>>,>> >a> 0 >>,>a> 1>> >могут зависеть только от x, а b>-1>, b>0>, b>1> – только от t.
С учетом условий (9), уравнение (7) может быть записано в виде
Т
аким
образом, уравнение (7’)
c граничными условиями
(8) допускает вариационную
формулировку.
Соответствующий функционал имеет вид
В
.
Рассматривается уравнение
где a,b – const, u – неизвестная функция с граничными условиями
Для оператора задачи(10),(11) условия (6) не выполняются. В этой связи рассматривается следующая задача.
Найти функцию [2] М=М(x,t,u,u>i>) в Ω для любого u из D(N) и соответствующий функционал F[u] так, что
И
спользуя
условия (6), находим вариационный множитель
М=еu(x,t).
Тогда получим, что оператор
вида
я
вляется
потенциальным.
Соответствующее эквивалентное уравнение будет иметь вид:
Таким образом, задача (13’), (11) допускает вариационную формулировку с функционалом
ЛИТЕРАТУРА.
[1] Савчин В.М. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с отклоняющимися аргументами.// XXXII Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук. Тезисы докладов.1996г.С. 25.
[2] Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г., Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 40.М.1992.