Обробка результатів прямих багатократних рівно точних статистичних вимірювань

Обробка результатів прямих багатократних рівно точних статистичних вимірювань

Хід роботи

Схема вимірювань та початкові дані.

Схема вимірювань:

Початкові дані:

номінальне значення частоти генератора – 270 Гц;

точність установки частоти генератора – ± 1,5%;

початковий статистичний ряд:

Табл. 1

Номер вимірювання	Значення частоти, Гц	Номер вимірювання	Значення частоти, Гц
1	269,508	24	269,597
2	269,441	25	269,550
3	269,627	26	269,517
4	269,442	27	269,417
5	269,520	28	269,442
6	269,604	29	269,476
7	269,627	30	269,535
8	269,522	31	269,521
9	269,476	32	269,623
10	269,451	33	269,583
11	269,515	34	269,457
12	269,439	35	269,441
13	269,509	36	269,487
14	269,508	37	269,516
15	269,508	38	269,528
16	269,526	39	269,499
17	269,572	40	269,453
18	269,523	41	269,518
19	269,580	42	269,556
20	269,511	43	269,543
21	269,520	44	269,445
22	269,528	45	269,536
23	269,588

Обчислення оцінок основних статистичних характеристик.

Найчастіше на практиці описують оцінки таких характеристик:

оцінка середнього значення Ā:

Гц

Ā – характеризує найбільш очікуване значення фізичної величини.

2) оцінка середнього квадратичного відхилення результатів вимірювання від середнього значення:

Гц

S – міра розсіювання (розкиду) результатів вимірювань від середнього значення.

3) оцінка дисперсії розсіювання результатів вимірювань:

Гц²

4) оцінка коефіцієнта асиметрії:

A – характеризує несиметричність розподілу результатів вимірювань відносно середнього значення.

5) оцінка коефіцієнта асиметрії:

E – характеризує плосковершинність кривої розподілу.

Всі обчислення подаємо у вигляді таблиці:

Табл. 2

Номер вимірювання	ai	(ai – Ā)	(ai – Ā)²	(ai – Ā)³	(ai – Ā)
1	269,508	-0,009	0,000081	-0,000000729	0,000000007
2	269,441	-0,076	0,005776	-0,000438976	0,000033362
3	269,627	0,110	0,012100	0,001331000	0,000146410
4	269,442	-0,075	0,005625	-0,000421875	0,000031641
5	269,520	0,003	0,000009	0,000000027	0,000000000
6	269,604	0,087	0,007569	0,000658503	0,000057290
7	269,627	0,110	0,012100	0,001331000	0,000146410
8	269,522	0,005	0,000025	0,000000125	0,000000001
9	269,476	-0,041	0,001681	-0,000068921	0,000002826
10	269,451	-0,066	0,004356	-0,000287496	0,000018975
11	269,515	-0,002	0,000004	-0,000000008	0,000000000
12	269,439	-0,078	0,006084	-0,000474552	0,000037015
13	269,509	-0,008	0,000064	-0,000000512	0,000000004
14	269,508	-0,009	0,000081	-0,000000729	0,000000007
15	269,508	-0,009	0,000081	-0,000000729	0,000000007
16	269,526	0,009	0,000081	0,000000729	0,000000007
17	269,572	0,055	0,003025	0,000166375	0,000009151
18	269,523	0,006	0,000036	0,000000216	0,000000001
19	269,580	0,063	0,003969	0,000250047	0,000015753
20	269,511	-0,006	0,000036	-0,000000216	0,000000001
21	269,520	0,003	0,000009	0,000000027	0,000000000
22	269,528	0,011	0,000121	0,000001331	0,000000015
23	269,588	0,071	0,005041	0,000357911	0,000025412
24	269,597	0,080	0,006400	0,000512000	0,000040960
25	269,550	0,033	0,001089	0,000035937	0,000001186
26	269,517	0,000	0,000000	0,000000000	0,000000000
27	269,417	-0,100	0,010000	-0,001000000	0,000100000
28	269,442	-0,075	0,005625	-0,000421875	0,000031641
29	269,476	-0,041	0,001681	-0,000068921	0,000002826
30	269,535	0,018	0,000324	0,000005832	0,000000105
31	269,521	0,004	0,000016	0,000000064	0,000000000
32	269,623	0,106	0,011236	0,001191016	0,000126248
33	269,583	0,066	0,004356	0,000287496	0,000018975
34	269,457	-0,060	0,003600	-0,000216000	0,000012960
35	269,441	-0,076	0,005776	-0,000438976	0,000033362
36	269,487	-0,030	0,000900	-0,000027000	0,000000810
37	269,516	-0,001	0,000001	-0,000000001	0,000000000
38	269,528	0,011	0,000121	0,000001331	0,000000015
39	269,499	-0,018	0,000324	-0,000005832	0,000000105
40	269,453	-0,064	0,004096	-0,000262144	0,000016777
41	269,518	0,001	0,000001	0,000000001	0,000000000
42	269,556	0,039	0,001521	0,000059319	0,000002313
43	269,543	0,026	0,000676	0,000017576	0,000000457
44	269,445	-0,072	0,005184	-0,000373248	0,000026874
45	269,536	0,019	0,000361	0,000006859	0,000000130

На практиці оцінюється значущість коефіцієнтів вимірювань.

Для цього обчислюємо дисперсії коефіцієнтів A і E:

Якщо виконується умова, що

і ,

то робиться висновок, що коефіцієнти незначущі, а значить ними можна знехтувати. В протилежному випадку коефіцієнти є значущі, а значить вони повинні бути враховані при виборі математичної моделі для опису розподілу результатів вимірювань.

Висновок: для нормального закону розподілу результатів вимірювань коефіцієнти A і E рівні нулю, тому якщо на практиці ми отримали А0 і Е0 або ними можна знехтувати, то з великою достовірністю можна говорити, що наші результати розподіляються за нормальним законом. В нашому випадку А і Е не дорівнюють нулю, тому, що ми маємо дуже мало вимірювань проте вони є незначущі (0,2271,049 і 0,7173,277), а значить ними можна знехтувати. Звідси слідує, що дійсно наші результати розподіляються за нормальним законом розподілу.

Грубі похибки та промахи повинні бути виявленні і відкинуті з результатів вимірювань. З цією метою використовується спеціальний статистичний критерій – критерій Стьюдента.

В роботі використовуємо критерій – правило трьох у.

Початковий статистичний ряд представимо у вигляді такого графіка:

статистичний коефіцієнт середній стьюдент

На графік наносимо середнє значення і межі (границі):

верхню Ā+3S;

нижню Ā-3S.

Висновок: грубих похибок і промахів не виявлено; початковий ряд є однорідним; приведемо його характеристики: n=45, Ā=269.517 Гц, S=0.055 Гц

Додатково перевіримо наявність грубих похибок використовуючи коефіцієнти Стьюдента. Для цього знаходимо на графіку максимальне і мінімальне значення і обчислюємо квантиль t_>1>і t_>2:>

Для n = 45 при p = 0.98 t_>доп.>= 2,4

t_>1> _>>t_>доп.>, t_>2> _>>t_>доп.>

За допомогою коефіцієнтів Стьюдента ми ще раз підтвердили, що грубі похибки і промахи відсутні, статистичний ряд є однорідним.

Експериментальний розподіл отримують у вигляді гістограми.

Порядок побудови гістограми:

однорідний ряд розміщуємо в порядку зростання;

обчислюємо розмах значень:

;

відрізок _>>розділяємо на рівних інтервалів:

;

обчислюємо ширину інтервалу гістограми:

;

обчислюємо межі кожного інтервалу, результати записуємо у таблицю 3.

Табл. 3

Номер вимірювання	Межі інтервалів	n_>j>	p_>j>
1	269,417 ч 269,447	7	0.155556
2	269,447 ч 269,477	5	0.111111
3	269,477 ч 269,507	2	0.044444
4	269,507 ч 269,537	19	0.422222
5	269,537 ч 269,567	3	0.066667
6	269,567 ч 269,597	5	0.111111
7	269,597 ч 269,627	4	0.088889

підраховуємо число попадання результатів вимірювань в кожен інтервал n_>j>;

обчислюємо імовірності попадань результатів вимірювань в кожен інтервал ;

будуємо гістограму:

Для цього на кожному інтервалі будуємо прямокутник площа якого дорівнює p_>j>.

Гістограма – це експериментальний аналог густини розподілу.

Крім гістограми є ще інші варіанти представлення експериментальних розподілів:

у вигляді полігону розподілу;

у вигляді функції накопичених частот.

Вибір математичної моделі проводиться з урахуванням:

вигляду гістограми;

факту, що в більшості випадків математичною моделлю виступає функція Гауса (нормальний закон розподілу).

Враховуючи сказане і вигляд гістограми вибір математичної моделі розпочинаємо з функції Гауса:

На практиці використовують нормований варіант задання нормального закону розподілу.

Умови нормування:

m = 0;

у = 1.

Після нормування функція Гауса має такий вигляд:

Гістограму також треба представити у нормованому вигляді. Тобто і .

Номер інтервалу	Нормовані межі інтервалів	Експериментальні імовірності (р_>j>)	Теоретичні імовірності (p_>j>^*)
1	-1,818 ч -1,273	0.15556	0,067
2	-1,273 ч -0,727	0.11111	0,132
3	-0,727 ч -0,182	0.04444	0,194
4	-0,182 ч 0,364	0.42222	0,214
5	0,364 ч 0,909	0.06667	0,176
6	0,909 ч 1,445	0.11111	0,109
7	1,445 ч 2	0.08889	0,05

Для вирішення цієї задачі використаємо критерій, який так і називається, критерій узгодженості.

Серед них найчастіше використовуються:

критерій Пірсона (критерій ч²);

критерій Колмогорова;

критерій щ² та інші.

В роботі використовуємо критерій Пірсона.

p_>j>	p_>j>^*	(p_>j>p_>j>^*)	(p_>j>p_>j>^*)²	(p_>j>p_>j>^)²/ p_>j>^
0.15556	0.067	0.089	0.00792	0.118
0.11111	0.132	-0.021	0.00044	0.003
0.04444	0.194	-0.150	0.0225	0.116
0.42222	0.214	0.208	0.04326	0.202
0.06667	0.176	-0.109	0.01188	0.068
0.11111	0.109	0.002	0.000004	0.00004
0.08889	0.050	0.039	0.00152	0.03
				∑ = 0.537

Величина служить мірою розбіжності експериментального розподілу і вибраної математичної моделі.

Вибираємо довірчу імовірність .

Обчислюємо рівень значимості .

Обчислюємо число вільності , де k – кількість інтервалів гістограми .

За цими даними із таблиці розподілу Пірсона .

Висновок: математична модель (функція Гауса) не описує експериментальний розподіл, потрібно вибрати наступну математичну модель, наприклад, якщо експериментальний розподіл є симетричним трикутноподібну, або іншу.