Математические методы и модели (работа 1)
Контрольная работа
По дисциплине «Математические методы и модели»
Математическое моделирование задач коммерческой деятельности
Провести моделирование процесса выбора товара на основе следующих данных. Рассмотрим задачу выбора автомобиля. Составим таблицу множества показателей, по которым можно провести сравнение автомашин.
Таблица 1
|
Модель автомобиля |
Снаряженная масса, кг |
Длина, мм |
Мощность двигателя, л.с. |
Максимальная скорость, км/ч |
Рабочий объем двигателя,см3 |
Расход топлива по смешанному циклу,л/100 км |
Емкость топливного бака, л. |
Цена, $. |
|
HYUNDAI Accent |
1 080 |
4 260 |
102 |
181 |
1 495 |
7,5 |
45 |
12 920 |
|
HYUNDAI Getz |
1 108 |
3 825 |
106 |
180 |
1 599 |
6,0 |
45 |
15 990 |
|
HYUNDAI Elantra |
1 340 |
4 520 |
105 |
182 |
1 599 |
7,4 |
55 |
18 690 |
|
HYUNDAI Sonata |
1 590 |
4 747 |
133 |
200 |
1 997 |
9,0 |
65 |
26 650 |
|
HYUNDAI Matrix |
1 223 |
4 025 |
103 |
170 |
1 599 |
8,0 |
55 |
19 190 |
|
HYUNDAI Trajet |
1 731 |
4 695 |
140 |
179 |
1 975 |
9,1 |
65 |
25 690 |
Теперь необходимо сформулировать множество показателей, по которым можно провести сравнение автомобилей. Выпишем из руководства по эксплуатации автомобилей наиболее существенные показатели ( табл. 2)
Таблица 2
|
Показатели |
Обозначение |
Ед.измерения |
|
Снаряженная масса |
М |
кг |
|
Длина |
Дл |
мм |
|
Мощность двигателя |
МД |
л.с |
|
Максимальная скорость |
Vmax |
км/ч |
|
Раб.объем двигателя |
Ро |
см3 |
|
Расход топлива по смеш. циклу на 100 км |
РТ |
л |
|
Емкость топливного бака |
Еб |
л |
|
Цена |
Ц |
$ |
Сопоставим эти показатели с помощью метода парных сравнений, а результаты запишем в табл. 3, элемент которой определяется таким образом:
После заполнения матрицы элементами сравнения найдем по строкам суммы балов по каждому показателю:
где n – количество показателей, n=8
Правильность заполнения матрицы определяется равенством
Затем определяем коэффициенты весомости по формуле
Следует заметить, что
Таблица 3
|
Показатель |
М |
Дл |
МД |
Vmax |
Pо |
РТ |
Еб |
Ц |
Сумма |
М>i> |
R>i> |
|
М |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
2 |
0 |
6 |
0,094 |
6 |
|
Дл |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0,031 |
8 |
|
МД |
2 |
2 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
9 |
0,141 |
3 |
|
Vmax |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
6 |
0,094 |
5 |
|
Ро |
1 |
2 |
0 |
2 |
1 |
0 |
2 |
0 |
8 |
0,125 |
4 |
|
РТ |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
2 |
0 |
13 |
0,203 |
2 |
|
Еб |
0 |
2 |
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
5 |
0,078 |
7 |
|
Ц |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
15 |
0,234 |
1 |
|
64 |
1 |
Распределим коэффициент показателей по рангу R>i>. На этом основании перечень потребительских характеристик будет иметь вид:
Ц – цена, $;
Рт – расход топлива на 100 км
МД – мощность двигателя, л.с.;
Ро – рабочий объем двигателя, л.;
V мах – максимальная скорость, км/ч.;
М – снаряженная масса, кг
Еб – емкость топливного бака, л.;
Дл – длина, мм
На основании полученных результатов составим таблицу бальных оценок первых четырех показателей.
Таблица 4
|
Показатель |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
M>i> |
|
Ц |
26 650 |
25 690 |
19 190 |
18 690 |
15 990 |
0,234 |
|
Рт |
9,1 |
9,0 |
8,0 |
7,4 |
6,0 |
0,203 |
|
МД |
103 |
105 |
106 |
133 |
140 |
0,141 |
|
Ро |
1 599 |
1 599 |
1 599 |
1 975 |
1 997 |
0,125 |
На основании данных табл. 4 определим значения интегральных оценок для выбранных двух более нам подходящих автомобилей:
HYUNDAI Sonata и HYUNDAI Trajet
F (HYUNDAI Sonata) = 0,234·1+0,203·2+0,141·4+0,125·5=1,83
F (HYUNDAI Trajet) =0,234·2+0,203·1+0,141·5+0,125·4=1,88
Поскольку F (HYUNDAI Trajet)> F (HYUNDAI Sonata), следует покупать автомобиль HYUNDAI Trajet.
Вывод: Сравнив множество показателей по которым мы сравнивали автомашины, получили, что F (HYUNDAI Trajet)> F (HYUNDAI Sonata), следует покупать автомобиль HYUNDAI Trajet.
Методы и модели линейного программирования.
Фирма производит два безалкогольных широко популярных напитка " Колокольчик" и "Буратино". Для производства 1 л. " Колокольчика требуется 0, 002 ч работы оборудования, а для " Буратино" – 0,04 ч, а расход специального ингредиента на них составляет 0,01 кг и 0, 04 кг на 1 л соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы 16 кг специального ингредиента и 24 ч работы оборудования. Доход от продажи 1 л
" Колокольчика" составляет 0,25 руб., а " Буратино" – 0,35 руб.
Определите ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи.
Решение:
Составим математическую модель данной задачи:
Пусть X>1>> >> >– количество " Колокольчиков";
Х>2> – количество " Буратино", тогда как необходимо определить ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи, то целевая функция:
F(Х>1>,Х>2>)
= 0,25Х>1>+ 0,35Х>2>
мах
Система ограничений:
x>j
>
Графическое решение задачи:
Представим каждое неравенство в виде равенства, т.е имеем уравнения прямых. Построим их, тогда система ограничений запишется в виде:
0,02х>1>+0,04х>2>=24
0,01х>1>+0,04х>2>=16
х>1>=0
х>2>=0
Преобразуем систему неравенств ( выразим Х>2> через Х>1>)
Построим на плоскости ( х>1>,х>2>) область допустимых значений согласно системе неравенств
x>2>=24-0,5x>1>> >
-
х>1>
0
20
х>2>
24
14
х>2>=16-4х>1>
-
х>1>
0
4
х>2>
16
0
Многоугольником допустимых
решений является треугольник АВС.
Построим вектор
N =
Перемещаем линию уровня перпендикулярно вектору N в направлении вектора N до опорного положения.
Вершина в которой целевая функция принимает максимальное значение это вершина
С (20;13). Следовательно, ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от продажи составляет:
f(х>1>;х>2>)= 0,25*20+0,35*13=9,55
Классификация математической модели:
По общему целевому назначению: прикладная модель;
По степени агрегирования объектов: микроэкономическая модель;
По конкретному предназначению: оптимизированная модель;
По типу информации: идентифицированная модель;
По учету фактора времени: статистическая модель;
По учету фактора неопределенности: детерминированная модель;
По типам математического аппарата: линейная модель;
По типу подхода к изучаемым социально- экономическим системам: нормативная модель.
Вывод: Ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от продажи составляет 9,55 л.
3. Методы и модели теории игр
Определите максимальные стратегии игроков и седловую точку игры
|
Игрок |
В>1> |
В>2> |
В>3> |
В>4> |
В>5> |
|
А>1> |
5 |
8 |
7 |
6 |
3 |
|
А>2> |
10 |
12 |
4 |
7 |
2 |
|
А>3> |
15 |
10 |
8 |
7 |
4 |
|
А>4> |
10 |
7 |
8 |
12 |
6 |
|
А>5> |
7 |
10 |
11 |
3 |
5 |
|
А>6> |
7 |
2 |
3 |
12 |
4 |
Решение: Строки матрицы соответствуют стратегиям А>i> (i=1,2,…,m), то есть стратегиям, которые выбирает игрок А. Столбцы – стратегии В>i>,то есть стратегии, которые выбирает игрок В.
Игрок А выбирает такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш
:
,
где а – нижняя цена игры (гарантированный выигрыш игрока А)
Игрок В выбирает такую стратегию, при которой его максимальный проигрыш
-
минимизируется:
,
где
- верхняя цена игры.
Составим расчетную таблицу.
коммерческий математический моделирование линейный программирование
|
1 2 |
В>1> |
В>2> |
В>3> |
В>4> |
В>5> |
|
|
А>1> |
5 |
8 |
7 |
6 |
3 |
|
|
А>2> |
10 |
12 |
4 |
7 |
2 |
|
|
А>3> |
15 |
10 |
8 |
7 |
4 |
|
|
А>4> |
10 |
7 |
8 |
12 |
6 |
|
|
А>5> |
7 |
10 |
11 |
3 |
5 |
|
|
А>6> |
7 |
2 |
3 |
12 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
2
4
6
3
2
12
11
12
6
6
6
Этот выигрыш
гарантирован игроку 1, как бы ни играл
второй игрок.
Нижняя цена игры составляет 6
Минимальный проигрыш второго
игрока
Получили, что первый игрок (А) должен выбрать пятую (А>4>) стратегию, а второй игрок (В) должен выбрать четвертую (В>5>) стратегию.
Итак, нижняя цена игры, или
максимальный выигрыш:
,
верхняя цена игры, или минимальный
выигрыш:
Нижняя и верхняя цена игры равны и достигаются на одной и той же паре стратегий
(А>4>;В>5>). Следовательно, игра имеет седловую точку (А>4>;В>5>).
Вывод: Игрок А должен выбрать четвертую стратегию, а игрок В пятую стратегию при этом выигрыш первого игрока будет максимальным из максимальных как бы ни играл второй игрок, а второй игрок минимально проиграет. Игра имеет седловую точку (А>4>;В>5>).