Методы решения биматричных игр
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ БИМАТРИЧНЫХ ИГР
Основные определения теории биматричных игр
Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой каждый из двух участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:
игрок А – может выбрать любую из стратегий А>1>, ... , А>т>,
игрок В – любую из стратегий В>1>, …, В>n>
При этом всякий раз их совместный выбор оценивается вполне определенно:
если
игрок А
выбрал
i-ю
стратегию
,
а
игрок В
– k-ю
стратегию
,
то
в итоге выигрыш игрока А
будет
равен некоторому числу
,
а выигрыш игрока В
некоторому,
вообще говоря, другому числу
.
Иными словами, всякий раз каждый из игроков получает свой приз.
Последовательно перебирая все стратегии игрока А и все стратегии игрока В, мы сможем заполнить их выигрышами две таблицы (первая из них описывает выигрыши игрока А, а вторая – выигрыши игрока В).
Обычно эти таблицы записывают в виде матриц
Здесь А – платежная матрица игрока А, а В – платежная матрица игрока В.
При
выборе игроком А
i-й
стратегии, а игроком В
– k-й
стратегии их выигрыши находятся в
матрицах выплат на пересечении i-х
строк и k-x
столбцов: в матрице А это элемент
,
а
в матрице В – элемент
.
Таким образом, в случае, когда интересы игроков различны (но не обязательно противоположны), получаются две платежные матрицы: одна – матрица выплат игроку А, другая – матрица выплат игроку В. Поэтому совершенно естественно звучит название, которое обычно присваивается подобной игре – биматричная.
Замечание. Рассматриваемые матричные игры, можно рассматривать и как биматричные, где матрица выплат игроку В противоположна матрице выплат А:
В общем случае биматричная игра – это игра с ненулевой суммой.
Класс биматр. игр значительно шире класса матричных (разнообразие новых моделируемых конфликтных ситуаций весьма заметно), а, значит, неизбежно увеличиваются и трудности, встающие на пути их успешного разрешения.
Пример. «Студент — Преподаватель».
Рассмотрим следующую ситуацию. Студент (игрок А ) готовится к зачету, который принимает Преподаватель (игрок В). Можно считать, что у Студента две стратегии – подготовиться к сдаче зачета (+) и не подготовиться (-). У Преподавателя также две стратегии – поставить зачет [+] и не поставить зачета [-].
В основу значений функций выигрыша игроков положим следующие соображения:
Количественно это можно выразить, например, так
2. Смешанные стратегии в биматричных играх
В приведенных примерах описаны ситуации, в которых интересы игроков не совпадают. Встает вопрос о том, какие рекомендации необходимо дать игрокам для того, чтобы моделируемая конфликтная ситуация разрешилась. Иными словами, что мы будем понимать под решением биматричной игры?
Попробуем ответить на это вопрос так:
вследствие того, что интересы игроков не совпадают, нам нужно построить такое (компромиссное) решение, которое бы в том или ином, но в одинаковом смысле удовлетворяло обоих игроков.
Не пытаясь сразу выражать эту мысль совсем точно, скажем – попробуем найти некую равновесную ситуацию, явное отклонение от которой одного из игроков уменьшало бы его выигрыш.
Подобный
вопрос мы ставили и при рассмотрении
матричных игр. Напомним, что возникающее
при разработке минимаксного подхода
понятие равновесной ситуации приводило
нас к поиску седловой точки, которая,
существует не всегда – конечно, если
ограничиваться только чистыми стратегиями
игроков А
и
В,
т.е.
стратегиями
.
Однако при расширении матричной игры путем перехода к смешанным стратегиям, т. е. к такому поведению игроков, при котором они чередуют (чистые) стратегии с определенными частотами:
игрок А – стратегии A>1>,..., А>т> с частотами р>1>,..., р>т>, где
а игрок В – стратегии В>1>,...., В>n>, с частотами q>1>,..., q>n>, где
выяснилось, что в смешанных стратегиях равновесная ситуация всегда существует. Иными словами, любая матричная игра в смешанных стратегиях разрешима.
Поэтому, рассматривая здесь биматричные игры, разумно попробовать сразу же перейти к смешанным стратегиям игроков (этим мы предполагаем, что каждая игра может быть многократно повторена в неизменных обстоятельствах).
В
матричном случае смешивание стратегий
приводило к расширению возможности
выплат в том смысле, что расчет строился
из вычисления средних выигрышей игроков
А
и
В,
которые
определялись по элементам платежной
матрицы А и вероятностям
и
:
,
При смешанных стратегиях в биматричных играх также возникают средние выигрыши игроков А и В, определяемые по правилам, в которых уже нет никакой дискриминации игрока В:
,
3. 2x2 биматричные игры. Ситуация равновесия
Мы предполагаем уделить основное внимание случаю, когда у каждого из игроков имеется ровно две стратегии, т. е. случаю т = п = 2. Поэтому нам кажется уместным выписать приведенные выше формулы именно для такого случая.
В 2 2 биматричной игре платежные матрицы игроков имеют следующий вид
,
,
вероятности
биматричная игра решение
а средние выигрыши вычисляются по формулам
где
,
Сформулируем основное определение.
Определение. Будем считать, что пара чисел
,
,
определяет
равновесную
ситуацию,
если для любых р
и
q,
подчиненных
условиям
одновременно
выполнены следующие неравенства
(1)
Пояснение. Выписанные неравенства (1) означают следующее: ситуация, определяемая смешанной стратегией (р*, q*), является равновесной, если отклонение от нее одного из игроков при условии, что другой сохраняет свой выбор, приводит к тому, что выигрыш отклонившегося игрока может только уменьшиться. Тем самым, получается, что если равновесная ситуация существует, то отклонение от нее невыгодно самому игроку.
Теорема 1 (Дж. Нэш). Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях.
Итак, равновесная ситуация существует. Но как ее найти?
Если некоторая пара чисел (р*, q*) претендует на то, чтобы определять ситуацию равновесия, то для того, чтобы убедиться в обоснованности этих претензий, или, наоборот, доказать их необоснованность, необходимо проверить справедливость неравенств (1) для любого р в пределах от 0 до 1 и для любого q в пределах от 0 до 1. В общем случае число таких проверок бесконечно. И, следовательно, действенный способ определения равновесной ситуации нужно искать где-то в ином месте.
Теорема 2. Выполнение неравенств
(1)
равносильно выполнению неравенств
(2)
Иными словами, для того, чтобы убедиться в обоснованности претензий пары (р*, q*) на то, чтобы определять равновесную ситуацию, нужно проверить справедливость неравенства
только для двух чистых стратегий игрока А (р = 0 и р = 1) и неравенства
только для двух чистых стратегий игрока В (q = 0 и q= 1).
Четыре неравенства (2) позволяют провести поиск точки равновесия вполне конструктивно.
Запишем средние выигрыши игроков А и В в более удобной форме.
Имеем
Обратимся к первой из полученных формул.
Полагая в ней сначала р = 1, а потом р = 0, получаем,
Рассмотрим разности
Полагая
получим для них следующие выражения
В случае, если пара (р, q) определяет точку равновесия, эти разности неотрицательны
Поэтому окончательно получаем
Из формул для функции н>в >( р, q) при q = 1 и q = 0 соответственно имеем
Разности
и
с учетом обозначений
.
приводятся к виду
совершенно так же, как соответствующие разности для функции Н>А>.
Если пара (р, q) определяет точку равновесия, то эти разности неотрицательны
Поэтому
Вывод
Для того, чтобы в биматричной игре
,
,
пара (р, q) определяла равновесную ситуацию, необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих неравенств
,
,
,
,
где
.