Проблема дискретного логарифмування

В пошуках криптографічних алгоритмів з відкритим розповсюдженням ключів з експоненціальною складністю криптоаналізу спеціалісти зупинилися на криптографічних перетвореннях, що виконуються в групі точок ЕК.

Відповідно до прогнозів ці перетворення ще довго забезпечуватимуть необхідний рівень стійкості. Розглянемо основні задачі криптоаналізу для систем, в яких перетворення здійснюються в групі точок ЕК, методи їх розв'язання та дамо оцінку стійкості для відомих нам методів криптоаналізу.

Під час аналізу стійкості необхідно розглянути дві проблеми стійкості – розв’язання задачі дискретного логарифму та задачі Діффі-Хеллмана.

Проблема дискретного логарифму формується у наступному вигляді. Нехай задано точку на еліптичній кривій , де (просте число) або (просте число, натуральне, ). Відомо також значення відкритого ключа , причому

. (1)

Необхідно знайти конфіденційний (особистий ) ключ .

Проблема Діффі – Хеллмана формується у наступному вигляді. Нехай дано ЕК , відомо значення точки , а також відкритий ключ . Необхідно знайти загальний секрет

, (2)

де та – особисті ключі відповідно першого та другого користувачів.

Насьогодні для аналізу стійкості та проведення криптоаналізу знайшли розповсюдження декілька методів Полларда  та оптимальний .

Поллард запропонував замість детерміністського псевдоймовірнісний алгоритм розв’язання в полі .

Це дозволило істотно знизити вимоги до обсягу пам'яті при практично тій же стійкості алгоритму. Ідея методу заснована на випадковому пошуку двох співпадаючих точок серед точок криптосистеми.

У теорії ймовірностей добре відомі задачі про випадкові блукання. Одна із задач ставиться так. Є ящиків і куль, які випадково розміщені по ящиках.

Процедура закінчується при першому влученні кулі у вже зайнятий ящик. Потрібно визначити медіану розподілу ймовірностей

Більш простою моделлю є задача про співпадаючі дні народження. Якщо  число днів у році, то скільки чоловік з рівноймовірними днями народження в році потрібно відібрати, щоб з імовірністю дні народження хоча б двох чоловік збіглися

Очевидно, що ймовірність такої події дорівнює

При неважко отримати наближене значення цієї імовірності

Приймаючи , отримаємо оцінку числа . Інакше кажучи, щоб при випадковому переборі великої множини із чисел з імовірністю 50% двічі з'явилося те саме число, буде потрібно в середньому порядку спроб. Збіг елементів або точок в аналізі прийнято називати колізією. Нехай , де генератор криптосистеми має великий простий порядок . Алгоритм - методу в застосуванні до еліптичних кривих полягає в послідовному обчисленні точок

де  якась міра координати точки  три рівноймовірні області, у які може потрапити ця міра. Виберемо випадкові значення й визначимо початкову точку як Ітераційна послідовність обчислень дає послідовність , таку що

На кожному кроці обчислене значення порівнюється з попереднім аж до збігу (колізії) або

Алгоритм разом з колізією дозволяє скласти рівняння

з якого визначається значення дискретного логарифма

Походження терміна (-метод) пов'язане із графічною інтерпретацією алгоритму, зображеної на рис. 1. При замиканні петлі виникає періодичний цикл.

Це обумовлено детермінованістю алгоритму. Його називають імовірнісним лише у зв'язку з непередбачуваністю шляху, за яким виконується одне із трьох обчислень.

Q_>0>Q_>1>Q_>2>Q_>m>_>>

Q_>m>_>+1>

Qm+s1

Рисунок 1  Графічна інтерпретація -методу Полларда

Реалізація методу пов'язана з нарощуванням пам'яті, у яку записуються -координати точок, що обчислюють. У міру збільшення порядку криптосистеми він незабаром стає практично нереалізованим. Позбутися від цього недоліку вдається за допомогою методу Флойда. Ідея методу проста й елегантна.

На циферблаті секундна стрілка завжди обганяє хвилинну, а хвилинна  годинну. При влученні всередину петлі в -методі Полларда якась точка наздоганяє точку (колізія ), що дає рішення ECDLP. У такий спосіб замість порівняння чергової обчисленої точки з усіма попередніми достатньо у пам'яті зберегти для порівняння лише дві точки і .

Точка колізії при цьому зрушується усередину петлі на відстань, що не перевищує половини довжини петлі. Тим самим відбувається обмін необхідної пам'яті на час обчислень.

Кожен цикл у методі Флойда вимагає обчислення трьох точок відповідно до алгоритму й порівняння двох з них. Вихідні дані – точки й , обчислені в попередньому циклі. Тоді на їхній основі розраховуються точки й і рівняються - координати першої й останньої точок. При їхньому збігу має місце колізія , де знак визначається з порівняння - координат обчислених точок.

Найпростіша ілюстрація цього методу  спрощений алгоритм із обчисленням . Колізія на -му циклі відразу дає розв’язання дискретного логарифму

По суті це прямий метод визначення дискретного логарифму з експоненційною складністю .

В іншому окремому випадку алгоритму маємо

Колізія на -му кроці призведе до рівняння

або

Воно не має розв'язку . Якщо модернізувати алгоритм так, що на кожній ітерації порівнювати точки й генератор , то при виконанні можна отримати розв’язання за умови, що 2 є примітивним елементом поля . Цей метод також вимагає об'єму обчислень порядку

Розглянуті дві частки випадку оцінюються максимальною складністю у зв'язку з тим, що при переборі всіх точок криптосистеми колізія виникає лише один раз.

Перехід до псевдовипадкового алгоритму породжує множина можливих точок колізій, число яких оцінюється як , а обчислювальна складність методу -Полларда, застосованого до групи загальної структури, дорівнює . Оскільки в групі точок EK зворотні точки визначаються досить просто, об'єм пошуку в просторі точок скорочується вдвічі, а обчислювальна складність зменшується в раз і стає рівною

На практиці для виявлення колізій замість методу Флойда знайшла застосування його модифікація, запропонована Шнором і Ленстрой. У цієї модифікації пам'ять містить 8 осередків, зрушення вмісту яких здійснюється при , де  номери ітерацій в останньому й першому осередках відповідно. Отримано експериментальну оцінку складності цього методу для групи

Алгоритм - методу Полларда з розбивкою на три області є споконвічним і найбільш простим у реалізації. Подальші вдосконалення алгоритму пропонують використання рівноймовірних областей з вибором, наприклад, ітераційної функції

Число областей, як правило, не перевищує 20, тому що подальше їхнє збільшення практично не впливає на статистичні характеристики алгоритму.

Очевидно колізію точок можна отримати й іншим шляхом, рухаючись із двох (або більше) різних точок і до збігу . Ця ситуація відображується на рисунку 2. Даний метод одержання колізії зветься -Методом Полларда. Походження терміна прийнято з рисунка.

Розглянемо -метод Полларда на прикладі ЕК над простим полем Галуа , тобто

криптографичний дискретний логарифм

(3)

Для всіх точок задано операції додавання та подвоєння. Наприклад, якщо а , то

Рисунок 2  Графічна інтерпретація -методу Полларда

де

(4)

Для ЕК над полем виду

причому , то для двох точок та таких, що

виходить

(5)

примітивний поліном m-го степеня

(6)

Для розв’язання задачі пошуку конфіденційного ключа в порівнянні (1) розглянемо метод Полларда над простимо полем Нехай – базова точка, відкритий ключ, шукатимемо пари цілих та , таких що