Решение практических заданий по дискретной математике
Содержание
Введение
Задание 1
Представить с помощью кругов Эйлера множественное выражение
Используя законы и свойства алгебры множеств, упростить заданное выражение
Задание 2
Заданы множества кортежей
Показать, что эти множества
представляют собой соответствия между
множествами N>1>
и N>2>
, если N>1>
= N>2>
=
.
Дать полную характеристику этих
соответствий
Задание 3
Частично упорядоченное множество М задано множеством упорядоченных пар
Построить диаграмму и определить, является ли данное множество решеткой. Если заданное множество является решеткой, то определить, является ли решетка дедекиндовой , дистрибутивной …
Задание 4
Является ли полной система
булевых функций
?
Если система функций полная ,то выписать
все возможные базисы
Задание 5
Минимизировать булеву функцию
по методу Квайна – Мак-Класки
Задание 6
Для неориентированного графа
,
у которого
,
а) вычислить числа
;
б) определить хроматическое
число
…
Задание 7
Для заданной сети
:
а) найти величину минимального
пути и сам путь от вершины
до вершины
по алгоритму Дейкстры ;
б) используя алгоритм
Форда-Фалкерсона, определить максимальный
поток
( v>1>
– вход , v>6>
– выход сети ) и указать минимальный
разрез, отделяющий v>1>
от v>6>
, если задана матрица весов (длин,
пропускных способностей) Р…
Литература
Введение
Проблемы, связанные с понятиями бесконечности, дискретности и непрерывности, рассматривались в математике, как и в философии, древнегреческими мыслителями, начиная с 6 века до нашей эры. Под влиянием сочинений Аристотеля они широко обсуждались средневековыми учеными и философами в странах Европы и Азии. Через всю историю математики проходит идея преодоления между актуальной и потенциальной бесконечностью, с одной стороны, между дискретным характером числа и непрерывной природой геометрических величин – с другой. Впервые проблема математической бесконечности и связанных с нею понятий была широко поставлена в наиболее общем виде в теории множеств, основы которой были разработаны в последней четверти 19 века Георгом Кантором.
Цель контрольной работы – ознакомится с основными понятиями и методами решения по дискретной математике, уметь применить полученные знания при решении практического задания.
Задание 1
Представить с помощью кругов Эйлера множественное выражение
.
Используя законы и свойства алгебры множеств, упростить заданное выражение.
Решение:
Используя круги Эйлера и, учитывая, что операция пересечения выполняется раньше операции объединения, получим следующие рисунки:
Объединяя заштрихованные области, получим искомое множество:
Упростим заданное выражение:
=
.
Задание 2
Заданы множества кортежей:
.
Показать, что эти множества
представляют собой соответствия между
множествами N>1>
и N>2>
, если N>1>
= N>2>
=
.
Дать полную характеристику этих
соответствий
Решение:
Найдем декартово произведение:
Видно, что заданные множества являются подмножествами этого пря-мого произведения. Следовательно, данные множества есть соответствия.
а)
.
Область определения:
.
Следовательно, соответствие является
частично определенным.
Область значений:
.
Следовательно, соответствие является
сюръективным.
Образом элемента
являются два элемента
.
Значит соответствие не является
функциональным. Из этого следует, что
соответствие не является функцией,
отображением.
б)
.
Область определения:
.
Следовательно, соответствие является
частично определенным.
Область значений:
.
Следовательно, соответствие не является
сюръективным.
Образом любого элемента из
является единственный элемент из
.
Следовательно, соответствие является
функциональным, функци-ей. Соответствие
является частично определенным. Это
означает, что функция является частично
определенной и не является отображением.
в)
.
Область определения:.Следовательно,
соответствие всюду определено.
Область значений:
.
Следовательно, соответствие не является
сюръективным.
Образом любого элемента из
является единственный элемент из
.
Следовательно, соответствие является
функциональным, функцией. Так как
соответствие всюду определено, то имеем
полностью определенную функцию, т.е.
имеем отображение N>1>
в N>2>
.
г)
.
Область определения:
.
Значит, соответствие полностью определено.
Область значений:
.
Значит, соответствие сюръективно.
Образом любого элемента из N>1> является единственный элемент из N>2> . Следовательно, соответствие является функциональным, функцией.
Так как соответствие всюду
определено, сюръективно, функционально
и прообразом любого элемента из
является единственный элемент из
,
то соответствие является взаимно
однозначным.
Так как функция полностью определена и соответствие сюръективно, то имеем отображение N>1> на N>2> .
Так как для любых двух различных элементов из N>1> их образы из N>2> также различны, то отображение является инъективным.
Так как отображение является одновременно сюръективным и инъективным, то имеем биективное отображение (взаимно однозначное отображение).
Задание 3
Частично упорядоченное множество М задано множеством упорядоченных пар
.
Построить диаграмму и определить, является ли данное множество решеткой. Если заданное множество является решеткой, то определить, является ли решетка дедекиндовой , дистрибутивной.
Решение:
Построим диаграмму:
Построим таблицу:
Пары элементов |
Н.Г. |
В.Г. |
Н.Н.Г. |
Н.В.Г. |
1,2 |
1 |
2,5 |
1 |
2 |
1,3 |
1 |
3,4,5 |
1 |
3 |
1,4 |
1 |
4,5 |
1 |
4 |
1,5 |
1 |
5 |
1 |
5 |
1,6 |
1 |
6,2,5 |
1 |
6 |
2,3 |
1 |
5 |
1 |
5 |
2,4 |
1 |
5 |
1 |
5 |
2,5 |
2,6,1 |
5 |
2 |
5 |
2,6 |
6,1 |
2,5 |
6 |
2 |
3,4 |
3,1 |
4,5 |
3 |
4 |
3,5 |
3,1 |
5 |
3 |
5 |
3,6 |
1 |
5 |
1 |
5 |
4,5 |
4,3,1 |
5 |
4 |
5 |
4,6 |
1 |
5 |
1 |
5 |
5,6 |
6,1 |
5 |
6 |
5 |
Так как любая пара элементов имеет единственную наибольшую нижнюю грань и единственную наименьшую верхнюю грань, то заданное частично упорядоченное множество М является решеткой.
Решетка М является дедекиндовой, когда выполняется равенство:
для таких
,
что
.
Решетка М не является дедекиндовой, т.к. указанное равенство не вы-полняется, например, для элементов 2, 3, 4:
Одним из условий дистрибутивности решетки является ее дедекиндо-вость. Так как решетка М не является дедекиндовой, то она не является дистрибутивной решеткой.
Задание 4
Является ли полной система
булевых функций
?
Если система функций полная ,то выписать
все возможные базисы.
Решение:
Рассмотрим функцию
.
1. Принадлежность функции к классу
:
.
Следовательно,
.
2. Принадлежность функции к классу
:
.
Следовательно,
.
3. Принадлежность функции к классу
.
Предположим, что функция линейная и, следовательно, представима в виде полинома Жегалкина первой степени:
.
Найдем коэффициенты
.
Фиксируем набор 000:
,
,
Следовательно,
.
Фиксируем набор 100:
,
,
Следовательно,
.
Фиксируем набор 010:
,
,
.
Следовательно,
.
Фиксируем набор 001:
,
,
,
.
Следовательно, функция (по нашему предположению) может быть представлена полиномом вида:
.
Если функция линейная, то на всех
остальных наборах ее значение должно
равняться 1. Но на наборе 111
.
Значит, функция не является линейной,
т.е.
.
4. Принадлежность функции к классу
.
Функция самодвойственная, если
на любой паре противоположных наборов
(наборов, сумма десятичных эквивалентов
которых равна
,
где п – количество переменных функции)
функция принимает противоположные
значения.
Вычисляем
.
Вычисляем значения функции на оставшихся
наборах:
Строим таблицу:
(000) 0 |
(001) 1 |
(010) 2 |
(011) 3 |
(100) 4 |
(101) 5 |
(110) 6 |
(111) 7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
На наборах 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4 функция
принимает одинаковые значения.
Следовательно,
.
5. Принадлежность функции к классу
.
Из таблицы видно: 000 < 111 , но
.
Следовательно,
.
Рассмотрим функцию
.
1. Принадлежность функции к классу
:
.
Следовательно,
.
2. Принадлежность функции к классу
:
.
Следовательно,
.
3. Принадлежность функции к классу
.
Предполагаем, что
.
Фиксируем набор 000:
,
.
Фиксируем набор 100:
,
.
Фиксируем набор 010:
,
.
Фиксируем набор 001:
,
.
Окончательно получаем
.
Это равенство не соблюдается на наборе 011:
,
.
Следовательно,
.
4. Принадлежность функции к классу
.
Вычислим значения функции на оставшихся наборах:
Строим таблицу :
(000) 0 |
(001) 1 |
(010) 2 |
(011) 3 |
(100) 4 |
(101) 5 |
(110) 6 |
(111) 7 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Из таблицы видно, что на наборах
3 и 4 функция принимает одинаковые
значения. Следовательно,
.
5. Принадлежность функции к классу
.
Из таблицы видно, что 111 > 000 , но
.
Следовательно,
.
Строим критериальную таблицу:
|
К0 |
К1 |
КЛ |
КС |
КМ |
f1 |
- |
- |
- |
- |
- |
f2 |
- |
- |
- |
- |
- |
В таблице в каждом столбце стоят минусы. Следовательно, система булевых функций
является полной .
Найдем все возможные базисы. По критериальной таблице составим КНФ :
.
Приведем КНФ к ДНФ :
.
По полученной ДНФ выписываем искомые базисы:
.
Задание 5
Минимизировать булеву функцию
по методу Квайна – Мак-Класки.
Решение:
1 этап. Определение сокращенной ДНФ.
По десятичным эквивалентам запишем 0-кубы :
Выполним разбиение на подгруппы:
.
Строим
-кубы,
сравнивая соседние группы (значок (*)
указывает на участие данной импликанты
в склеивании):
Выполняем разбиение всех
-кубов
в зависимости от расположения независимой
переменной Х :
.
Выполняем сравнение кубов внутри
каждой подгруппы с целью построения
-кубов
(значок (*) указывает на участие данной
импликанты в склеивании):
.
Выполняем сравнение кубов внутри
каждой подгруппы с целью построения
-кубов
(значок (*) указывает на участие данной
импликанты в склеивании):
или
.
Так как они одинаковы, то
.
Запишем сокращенную ДНФ, в которую должны быть включены им-пликанта из К 3 и импликанты, не участвовавшие в склеивании (в нашем случае таких импликант нет) :
.
2 этап. Определение тупиковой ДНФ.
Так как все импликанты участвовали в склеивании, и сокращенная ДНФ состоит из одной простой импликанты, то строить таблицу покрытий нет необходимости, т.е.
.
Задание 6
Для неориентированного графа
,
у которого
,
а) вычислить числа
;
б) определить хроматическое
число
.
Решение:
Построим граф:
а) Вычислим числа
.
1)
:
Используя алгоритм выделения пустых подграфов, построим дерево:
Согласно определению
:
.
2)
:
Используя алгоритм выделения полных подграфов, построим дерево:
Здесь
-
полные подграфы. Видно, что мощность
носителей всех подграфов равна трем,
т.е.
.
3)
:
Построим модифицированную
матрицу смежности
заданного графа G
:
1 2 3 4 5 6
.
Находим минимальное число строк, покрывающих все столбцы модифи-цированной матрицы . Таких строк – одна. Следовательно,
.
б) Определим хроматическое число
.
Согласно алгоритму минимальной раскраски вершин графа, выделим все пустые подграфы графа G , т.е. построим дерево (оно построено в пункте а) ):
Построим таблицу:
1 2 3 4 5 6
1. {1,4,6} 1 1 1
2. {1,5} 1 1
3. {2,5} 1 1
4. {2,6} 1 1
5. {3} 1
Определяем минимальное число строк, покрывающих все столбцы таблицы. Такими строками могут быть строки 1, 3, 5. Значит,
.
Зададимся красками: для множества
вершин
-
краска синяя (С ), для множества вершин
-
краска красная ( К ), для множества вершин
-
краска зеленая ( З ).
Раскрасим вершины графа G :
Задание 7
Для заданной сети
:
а) найти величину минимального
пути и сам путь от вершины
до вершины
по алгоритму Дейкстры ;
б) используя алгоритм
Форда-Фалкерсона, определить максимальный
поток
( v>1>
– вход , v>6>
– выход сети ) и указать минимальный
разрез, отделяющий v>1>
от v>6>
,
если задана матрица весов (длин, пропускных способностей) Р :
v>1> v>2> v>3> v>4> v>5> v>6>
Решение:
Построим сеть:
а) Найдем величину минимального пути и сам путь сети G . Используем для этого алгоритм Дейкстры.
Этап 1. Нахождение длины кратчайшего пути.
.
Шаг 1. Полагаем
1-я итерация.
Шаг 2. Составим множество вершин,
непосредственно следующих за
с временными метками:
.
Пересчитываем временные метки этих
вершин:
,
.
Шаг 3. Одна из временных меток превращается в постоянную:
Шаг 4.
Следовательно,
возвращаемся на второй шаг.
2-я итерация.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
Переход на второй шаг.
3-я итерация.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
Переход
на второй шаг.
4-я итерация.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
Переход на второй шаг.
5-я итерация.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
Конец первого этапа.
Следовательно, длина кратчайшего
пути равна
.
Этап 2. Построение кратчайшего пути.
1-я итерация.
Шаг 5. Составим множество вершин,
непосредственно предшествующих
с постоянными метками :
Проверим равенство
для этих вершин:
т.е.
т.е.
Включаем дугу
в кратчайший путь,
Шаг 6.
Возвращаемся на пятый шаг.
2-я итерация.
Шаг 5.
Включаем дугу
в кратчайший путь,
.
Шаг 6.
.
Завершение второго этапа.
Следовательно, кратчайший путь
построен. Его образует последовательность
дуг:
.
Окончательно, кратчайший путь
от вершины
до вершины v>6>
построен. Его длина (вес) равна
.
Сам путь образует последовательность
дуг:
б) Определим максимальный поток
через сеть G.
Для этого используем алгоритм
Форда-Фалкерсона.
Выбираем произвольно путь из
вершины v>1>
в вершину v>6>
. Пусть это будет путь
.
Минимальную пропускную способность на
этом пути, равную 10, имеет дуга
,
т.е.
Увеличим на этом пути поток до 10 единиц.
Дуга
становится насыщенной. Дуга
имеет на данный момент пропускную
способность, равную 10.
Путь
Следовательно, поток на этом пути можно
увеличить на 9 единиц. Дуги
становятся насыщенными.
Других маршрутов нет (другие маршруты проходят через насыщенные дуги). Поток максимален. Делаем разрез вокруг вершины v>1> по насыщенным дугам
и получаем его величину
единиц.
8. Используя алгоритм Краскала,
построить остов с наименьшим весом для
неориентированного взвешенного графа
,
у которого
,
если заданы веса (длины) ребер:
□ Построим граф G :
1. Упорядочим ребра в порядке неубывания веса (длины):
2. Возьмем ребро u>1> и поместим его в строящийся остов.
Возьмем ребро u>2> и поместим его в строящийся остов (т.к. оно не образует с предыдущим ребром цикла).
Берем ребро u>3> и помещаем его в строящийся остов (т.к. оно не образует с предыдущими ребрами цикла).
Берем ребро u>4> и помещаем его в строящийся остов (т.к. оно не образует с предыдущими ребрами цикла).
Берем ребро u>5> и помещаем его в строящийся остов (т.к. оно не образует цикла с предыдущими ребрами).
Ребра
не рассматриваем, т.к. они образуют циклы
с предыдущими ребрами.
Проверим окончание алгоритма.
Число входящих в остов ребер равно 5.
Заданный граф имеет п = 6 вершин и
.
Таким образом, остов содержит все вершины
заданного графа G
.
Вес (длина) построенного остова
равен
.
Литература
1. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высшая школа, 1986. – 311 с.
2. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. – М.: Энерго атомиздат, 1987. – 496 с.
3. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988. – 480 с.
4. Шапорев С.Д. Дискретная математика. – СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 400 с.
5. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 416 с.
6. Хаханов В.И., Чумаченко С.В. Дискретная математика ( конспект теоретического материала). – Харьков: ХНУРЭ, 2003. – 246 с.
7. Богданов А.Е. Курс лекций по дискретной математике.–Северодонецк: СТИ, 2006. – 190 с.