Похідна Фреше та похідна Гато

Міністерство науки і освіти України

Дніпропетровський національний університет

Факультет механіко-математичний

Кафедра математичного аналізу

БАКАЛАВРСЬКА ДИПЛОМНА РОБОТА

“Похідна Фреше та похідна Гато”

Виконавець:Керівник роботи:

студентка 4 курсу доцент

Дніпропетровськ

200_

РЕФЕРАТ

Випускна робота: 40 с., 4 джерела

Об’єктом дослідження є похідні Фреше та Гато.

Мета роботи – дослідити похідні Фреше та Гато у різних просторах.

Методи дослідження – методи функціонального аналізу.

Результати досліджень можуть бути застосовані при вивченні спеціальних курсів.

Ключові слова: ДИФЕРЕНЦІЙОВНІСТЬ, ПОХІДНІ ФРЕШЕ ТА ГАТО, ЛІНІЙНИЙ НОРМОВАНИЙ ПРОСТІР.

RESUME

The graduation research of the fourth year student Lisnyak Ludmila (DNU, Faculty of Mechanics and Mathematics, Department of Mathematical Analysis) deals with Freshe’s and Gato’s derivatives. The work is interesting for student and post- graduate student.

Bibliog. 4

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. ЕЛЕМЕНТИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ТА ІНТЕГРАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ В ЛІНІЙНИХ НОРМОВАНИХ ПРОСТОРАХ

1.1 Диференціал та похідна Фреше

1.2 Основні теореми

1.3 Похідна Гато

1.3.1 Основні теореми

1.3.2 Похідні по підпростору

РОЗДІЛ 2. ПОХІДНІ ФРЕШЕ ТА ГАТО В ПРИКЛАДАХ І ЗАДАЧАХ

Список використаних джерел

ВСТУП

Деякі задачі, які виникають в функціональному аналізі, носять суттєво нелінійний характер, вони приводять до необхідності розвивати поряд з “лінійним” і “нелінійний” функціональний аналіз, а саме вивчати нелінійні функціонали й нелінійні оператори в нескінченновимірних просторах. До нелінійного функціонального аналізу відноситься така класична область математики як варіаційне числення, підвалини якого буди закладені ще в XVII-XVIII століттях в роботах Я. Бернуллі, Л. Ейлера, Ж. Лагранжа. Але в цілому нелінійний функціональний аналіз являє собою нову область математики, поки ще далеку від свого завершення. В роботі викладено деякі початкові поняття, які відносяться до нелінійного функціонального аналізу, а саме до теорії диференціювання, і деякі застосування цих понять.

Визначення похідної Фреше, яке нині загальноприйняте, вперше з’явилось в лекціях К. Вейерштраса (1861). В кінці 19 століття це визначення почало входити до підручників. Але до моменту, коли М. Фреше почав розробку нескінченновимірного аналізу, класичне нині визначення диференціала було настільки не загальноприйнятим, що й сам Фреше вважав, що визначений ним диференціал на нескінченновимірному просторі є новим поняттям і в скінчено вимірному випадку. Тепер термін вживається тільки при розгляді нескінченновимірних відображень.

Визначення варіації Гато було введено в 1913-14 роках Р. Гато (R.Gateaux). Для функціоналів класичного варіаційного числення це визначення було дано Ж. Лагранжем.

Нехай – сукупність усіх відображень з в (– лінійні топологічні простори), і – деяка топологія в . В залежності від вибору в можна отримати різні визначення похідних. Якщо обираємо – топологію поточкової збіжності, то отримаємо диференційовність по Гато. Якщо банахові простори, а топологія в є топологією рівномірної збіжності на обмежених множинах в , то приходимо до диференційовності по Фреше.

РОЗДІЛ 1

ЕЛЕМЕНТИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ТА ІНТЕГРАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ В ЛІНІЙНИХ НОРМОВАНИХ ПРОСТОРАХ

В розділі 1 ми розглянемо різні означення похідної відображення лінійних нормованих просторів та деякі їх застосування.

1.1 Диференціал та похідна Фреше

Нехай X та Y – лінійні нормовані простори, G – відкрита множина простору X. Відображення (функція, оператор) називається диференційовним за Фреше в точці , якщо існує неперервний лінійний оператор , такий, що для будь-якого , яке задовольняє умові ,

де , якщо в смислі збіжності за нормою в просторі Y.

Головна частина , яка лінійно залежить від , приріст називається диференціалом Фреше відображення f в точці x та позначається , а вираз називається остачею приросту.

Таким чином, та приріст оператора записується у вигляді

де

Лінійний оператор називається похідною Фреше відображення в точці та позначається . Тобто, .

Відображення, диференційовне в кожній точці множини G називається диференційовним на G.

Доведемо, що похідна диференційованого відображення визначається однозначно. Нехай – інший неперервний лінійний оператор такий, що

якщо . Тоді

якщо . Покладемо , де – довільний ненульовий елемент простору X. Якщо , то і ми знаходимо

В силу лінійності та це означає, що

тобто . Оскільки оператори та в нулі дорівнюють нулю, то при будь-яких . Однозначність визначення похідної доведено.

Приклад 1. Нехай відображення , де і відкрито.

Тоді наведені вище означення диференційовності відображення і похідної співпадають з означеннями диференційовності та похідної векторної функції векторного аргументу. В цьому випадку є лінійним оператором, який визначається матрицею , де – координатні функції відображення .

Приклад 2. Нехай – гільбертов простір, і . Нехай спочатку . Тоді

(1)

Оскільки , то

, (2)

де при . Із рівностей (1) та (2) випливає, що

де – лінійний по функціонал і

Оскільки , то при . Таким чином, диференційовна в будь-якій ненульовій точці простору і

Нехай тепер . Тоді . Покажемо, що не існує елемента такого, що при всіх достатньо малих

, (3)

де при . Якщо б це було так, то також

, або , (4)

де при . Але тоді з рівностей (3) та (4) випливає при , що неможливо.

Таким чином, відображення не диференційовне за Фреше в точці .

Приклад 3. Нехай і , де ядро неперервне в квадраті , – функція двох змінних, визначена в полосі і неперервна в цій області. Тоді – функція, визначена на і яка приймає значення в цьому ж просторі.

Припустимо, що функція не тільки неперервна, але й має частинну похідну, рівномірно неперервну в полосі .

Тоді – диференційовна функція. А саме, для довільної функції маємо

За теоремою Лагранжа,

де

. Далі, маємо

При , тобто при рівномірно на , також рівномірно на , оскільки функція, неперервна в замкненій обмеженій області , рівномірно неперервна в цій області. Тому

де

і .

При цьому

і тому при .

Таким чином, диференційовна за Фреше і

Приклад 4. Якщо і границя існує, то диференційовне в точці і . Дійсно, в цьому випадку , де при , і диференційованість очевидна.

Множина відображень, визначених в околі точки , які приймають значення в просторі Y та диференційовних в точці , є лінійною системою , а також оператор диференціювання є лінійним, тобто

або, інакше,

Далі, з рівності

випливає, що функція , диференційовна в точці , неперервна в цій точці.

Обернене твердження не вірне (приклад 2).

Якщо – лінійний неперервний оператор, що діє з X в Y, то для будь-якого маємо . Дійсно, тоді при всіх

звідки й випливає наведене твердження.

Слід зазначити, що відображення та , які мають область визначення в одному і тому просторі, діють в різні простори, а саме , а . Якщо диференційовне всюди на G, то , .

1.2 Основні теореми

Теорема 1 (про диференційовність композиції відображень). Нехай – лінійні нормовані простори й задані відображення , де , – відкрита множина; , де , – відкрита множина. Якщо множина не порожня , відображення диференційовне в точці , а диференційовне в точці , то складне відображення диференційовне в точці і

Доведення. Насамперед, якщо достатньо мале, то в силу відкритості множин та й неперервності відображень і відповідно в точках та , точки і не вийдуть за границі множин та . Далі маємо

Оскільки диференційовне в точці , то

де , якщо . В свою чергу,

де , якщо . Тому

Вираз є лінійним оператором по , і залишається довести, що , якщо .

Маємо

Перший доданок справа прямує до нуля, оскільки , якщо . Прямування до нуля другого доданка можна довести так. Оскільки диференційовне в точці , то , якщо . Тому для будь-якого знайдеться , таке, що , якщо . В свою чергу, в силу неперервності в точці для даного знайдеться таке, що , якщо . Далі, оскільки диференційовне в точці , то знайдеться таке, що , якщо . Нехай . При маємо

і оскільки довільне, то це означає, що , якщо .

Теорему доведено.

Приклад 5. Розглянемо відображення , диференційоване на відкритій множині , і точки такі, що . Тоді функція , визначена рівністю

диференційовна на і .

Приклад 6. Нехай відображення диференційоване на і – лінійний неперервний оператор. Тоді – відображення, диференційовне на , і .

Наступна теорема є аналогом теореми Лагранжа про скінченні прирости дійсних функцій дійсних аргументів.

Теорема 2 (про скінченні прирости). Нехай відображення диференційовне на і відрізок цілком входить до . Тоді

Доведення. Розглянемо відображення , де . Це відображення неперервне на як композиція неперервних відображень та , і в силу теореми 1 диференційовне всередині , при цьому

Тому для будь-якого лінійного функціоналу дійсна функція дійсного аргументу неперервна на і диференційовна принаймні всередині . Тобто, за теоремою Лагранжа

. (5)

Але і

Тому рівність (5) набуває вигляду

Нехай – функціонал з нормою, що дорівнює одиниці, і такий, що . Тому

Теорему доведено.

1.3 Похідна Гато

Для відображень лінійного нормованого простору окрім похідної Фреше можна ввести ще одне поняття похідної.

Нехай задано відображення і – одиничний вектор простору , який визначає певний напрямок. Границя

якщо вона існує, називається похідною відображення за напрямком (або похідною Гато) і позначається .

Якщо фіксований довільний ненульовий вектор , то часто говорять про похідну за напрямком , розуміючи під цим границю відношення при умові, що вона існує; цю границю позначають . Ясно, що , де – одиничний вектор напрямку , тобто .

Зауваження. Похідна Фреше і похідна за напрямком є елементами різної природи: є лінійний оператор з X в Y, в той час як є елементом простору Y.

Якщо відображення диференційовне в точці за Фреше, то воно диференційовне в цій точці за будь-яким напрямком :

Обернене твердження невірне (див. приклад 2, відображення )

Це відображення диференційовне в нулі за будь-яким напрямком, оскільки при маємо

звідки випливає, що існує і дорівнює 1. В той самий час відображення не диференційовне за Фреше в точці .

Умови, коли з диференційовності за напрямком випливає диференці-йовність за Фреше, будуть розглянуті нижче.

1.3.1 Основні теореми

Для відображень, які мають похідні за напрямками, також має місце аналог теореми Лагранжа. Проте, перш ніж формулювати та доводити цю теорему, наведемо одну лему з теорії функцій дійсної змінної.

Лема 1. Нехай дійсна функція дійсної змінної t визначена і неперервна на відрізку і має на проміжку праву похідну . Якщо , , то

Доведення. Доведемо праву нерівність. Припустимо, що вона не вірна, тобто . Тоді найдеться достатньо мале таке, що все ще виконується нерівність

, або (7)

Розглянемо функцію . Ця функція неперервна на і в силу (7). Оскільки

і , то при , які достатньо близькі до . Тому на інтервалі знайдуться точки, в яких перетворюється на нуль. Нехай – найбільший з коренів рівняння . Ясно, що . Тоді для , звідки для всіх таких маємо

, або .

Таким чином, , що суперечить означенню числа .

Лему доведено.

Наслідок 1. Якщо в умовах леми , то

Наслідок 2. Якщо при виконанні умов леми додатково неперервна на інтервалі , то неперервно диференційовна на .

Доведення. Нехай і настільки мале, що . Покладемо

, .

Згідно леми

Оскільки і прямують до при , то з попередньої нерівності випливає, що похідна

існує та неперервна по , оскільки така права похідна .

Наслідок 2 доведено.

Теорема 1. Нехай відображення неперервне на , і відрізок цілком належить . Якщо диференційовне за напрямком у всіх точках відрізку , то

Доведення. Розглянемо функцію

де – довільний неперервний лінійний функціонал на просторі . Функція неперервна на , має на праву похідну . Дійсно, нехай і . Маємо

де при . Але тоді і, тому, існує

За наслідком 1 з леми 1 маємо

Оскільки , то ця нерівність дає

Нехай функціонал такий, що . Тоді

Теорема 1 доведена.

Теорема 2. Якщо відображення неперервне в і диференційовне в кожній точці цієї множини за будь-яким напрямком , а похідна неперервна по і рівномірно відносно неперервна по , то

диференційовне в по Фреше і .

Доведення. Покажемо, що в умовах теореми лінійно залежить від h. Фіксуючи точку , при довільних достатньо малих h, kX і довільному розглянемо функцію

двох дійсних змінних t і . Використовуючи умови теореми і наслідок 2 з леми 1, можна показати в достатньо малому околі точки (0,0) функція має неперервні частинні похідні

, (8)

Вводимо функцію

, ,R

В силу теореми про диференціювання композиції функцій маємо

(9)

Але , звідки з урахуванням рівностей (8) та (9) отримуємо

Оскільки довільне, то , і лінійність доведено.

Залишається довести, що

Покладемо

неперервна на [0,1) і має на [0,1) неперервну похідну

За теоремою Лагранжа, , тобто

Для довільного, але фіксованого обираємо так, щоб і

Тоді знаходимо

Оскільки лінійний і неперервний (за умовою) відносно h оператор, то , де . Далі, в силу неперервності по x рівномірно відносно h, знаходимо

якщо . Тому

Теорема доведена.

1.3.2 Похідні по підпростору

Поняття, проміжне між похідною Фреше і похідною за напрямком, є похідна по підпростору. Нехай дано відображення і – підпростір . Якщо для існує неперервний лінійний оператор такий, що для будь-якого , яке задовольняє умові ,

то відображення f називається диференційовним в точці x по підпростору X_>0> і позначається . Якщо X – пряма сума підпросторів X_>1> та X_>2> і похідні відображення f по підпросторам X_>1> та X_>2> в точці існують, то вони називаються частинними похідними відображення f в цій точці і позначаються і .

Лема. Якщо і відображення має в околі точці частинні похідні і , неперервні в цій точці, то відображення f диференційовне в точці за Фреше і

, .

Доведення. Розглянемо

так як при і

Лема доведена.

Має місце обернене до леми твердження, причому

Поняття частинних похідних і попередні результати безпосередньо узагальнюються на випадок, коли X – пряма сума будь-якого скінченого числа підпросторів.

Зауваження. Оскільки в силу відповідності простори і є ізоморфними, а з метриками, які породжені нормами

є ізометричними, то все вище наведене для частинних похідних переноситься на відображення виду: де .

Нехай тепер і, як завжди, відкрите, так що де , . Якщо “координатні функції” диференційовні в точці , то диференційовне в цій точці і . Дійсно,

Причому

, якщо .

Ці результати розповсюджуються на випадок відображень, які приймають значення в декартовому добутку будь-якого скінченого числа просторів.

РОЗДІЛ 2

ПОХІДНІ ФРЕШЕ ТА ГАТО В ПРИКЛАДАХ І ЗАДАЧАХ

1. Довести, що похідна Фреше диференційовного в точці відображення визначається єдиним чином.

Доведення

Нехай , – дві похідні Фреше в точці x, тоді

, де (1)

, де (2)

Розглянемо різницю (2)-(1):

, якщо

Це прямування до нуля нетривіально, тобто

якщо .

Тобто, похідна Фреше диференційованого відображення визначається єдиним чином.

2. Довести, що якщо оператор f диференційовний за Фреше в точці x, то f неперервний в цій точці.

Доведення

Якщо та , то .

3. Довести, що якщо , то (нульовий оператор).

Доведення.

Нехай оператор диференційовний за Фреше, тобто

, де

Нехай , тоді ( – нульовий оператор)

, звідки (нульовий оператор, який діє на h).

4. Довести, що похідною Фреше лінійного неперервного відображення є саме це відображення.

Доведення.

Нехай оператор диференційований за Фреше, тобто

, де .

– лінійний неперервний оператор

5. Нехай f, g – два неперервних відображення з X в Y. Довести, що якщо f та g диференційовні за Фреше в точці x, то відображення f+g та cf, де c-const, також диференційовні в цій точці, причому

Доведення.

Розглянемо

, якщо .

Тепер

якщо .

6. Нехай , де – дійсний гільбертів простір. Знайти похідну Фреше в точці x.

Розв’язок.

Тобто, .

7. Знайти похідну Фреше функціонала в точці x дійсного гільбертова простору.

Розв’язок

Нехай , . Тоді .

Розглянемо , . Тоді

Тепер

, де .

Тоді

, де .

8. Знайти похідну Фреше відображення .

Розв’язок

Нехай

, .

Тоді

Розглянемо , . Тоді

, де .

9. Знайти похідну Фреше відображення .

Розв’язок

Нехай

, , , .

Тоді

10. Знайти похідну Фреше відображення .

Розв’язок

Нехай , , , . Тоді

, .

11. Знайти похідну Фреше відображення .

Розв’язок

Нехай , ,, . Тоді

12. Задано відображення . Довести, що .

Доведення

Розглянемо для

, якщо

Лінійність:

Обмеженість:

Остаточно маємо .

13. Задано відображення . Довести, що .

Доведення

Розглянемо для

Остаточно маємо .

14. Задано відображення . Довести, що .

Доведення

Розглянемо для

Остаточно маємо .

15. Знайти похідну Фреше відображення .

Розв’язок

причому

Лінійність:

, , тобто , ,

Обмеженість:

Остаточно знаходимо, .

16. Довести, що необхідною і достатньою умовою диференційовності за Фреше відображення в точці x є диференційовність ( в звичайно-му сенсі) функції багатьох змінних в точці .

Доведення

Необхідність. Нехай відображення диференційовне за Фреше в точці x: .

Функція в точці називається диференційовною, якщо

,(*)

де .

Приведемо до вигляду (*):

Виберемо , тоді

Виберемо , тоді знаходимо

, і т.д.

Виберемо , тоді

, .

Достатність. Нехай відображення диференційовне в звичайному сенсі: . Перевіримо лінійність та обмеженість по h. Адитивність та однорідність для скалярного добутку вірні, тому лінійність є.

Обмеженість:

, де

Остаточно знаходимо .

Розглянемо два приклади

1. ,

тоді

, .

2. , тоді

17. Знайти похідну Фреше відображення в точці :

Розв’язок.

;;

;

18. Нехай і , де – стандартний базис в . Знайти похідну Гато .

Розв’язок

Якщо , то відображає в . Дійсно, позначимо , ряд збігається, тоді збігається й ряд , так що для довільного .

Обираємо за напрямок одиничного вектора орт і знаходимо

Тоді

Похідна існує і дорівнює

19. Якщо відображення диференційовне за Фреше, то воно диференційовне за Гато. Обернене твердження в загальному випадку невірне. Наприклад, в просторі розглянемо функцію

Дослідимо функцію на неперервність в точці (0,0):

Якщо , то і . Тобто неперервна в точці (0,0).

Розглянемо

Тобто, відображення диференційовне за Гато.

Розглянемо

– функція двох змінних, покладемо , нехай і розглянемо

тобто відображення не диференційне за Фреше.

20. Якщо диференціал Гато є обмеженим функціоналом, то він називається градієнтом функціонала і позначається .

Нехай Н – дійсний гільбертів простір, . Обчислити .

Розв’язок

За теоремою про загальний вигляд лінійного функціонала в Н знаходимо, що

21. Нехай Н – дійсний гільбертів простір, . Обчислити .

Розв’язок

За теоремою про загальний вигляд лінійного функціонала в Н знаходимо, що

22. Нехай Е – нормований простір. норма диференційовна за Гато. Розглянемо функціонал . Обчислити норму функціонала .

Розв’язок

З одного боку , з іншого боку – . Отже, , тобто .

Розглянемо

Переходячи до , нерівність зберігається:

, , отже .

23. Довести, що градієнт норми є непарним оператором, тобто довести співвідношення: .

Доведення

Нехай . Розглянемо

24. Нехай , де неперервна за обома аргументами і неперервно диференційовна за другим аргументом, а – неперервна функція. Знайти похідну Фреше в точці .

Розв’язок

Відповідь:

25. Знайти похідну Фреше наступних відображень в заданих точках:

Згідно з задачею 24 , тоді

, , .

Згідно з задачею 24 , тоді

, ,

Згідно з задачею 24 , тоді

, ,

Згідно з задачею 24 , тоді

, ,

Згідно з задачею 24 , тоді

, ,

Згідно з задачею 24 , тоді

, ,

26. Нехай , де неперервна за всіма аргументами і двічі неперервно диференційовна за третім аргументом. Знайти похідну Фреше в точці .

Розв’язок

, ,

Відповідь:

27. Знайти похідну Фреше наступних відображень в заданих точках, користуючись задачею 26.

28. Нехай , де неперервна за всіма аргументами і неперервно диференційовна за другим та третім аргументами. Знайти похідну Фреше в точці .

Розв’язок

Відповідь:

29. Знайти похідну Фреше наступних відображень в заданих точках, користуючись задачею 28.

30. Нехай , де – неперервна за всіма аргументами й неперервно диференційовна за всіма аргументами, починаючи з другого. Знайти похідну Фреше функціонала , де – нормований простір неперервно диференційовних на n-вимірних вектор функцій з нормою

, де

Розв’язок

31. Нехай на нормованому просторі задані функціоналів, диференційовних за Фреше в деякій точці . Нехай , тобто . Знайти похідну Фреше відображення в точці , якщо .