Нестандартные методы решения задач по математике
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Курсовая работа
Нестандартные методы решения задач по математике
Исполнитель:
Студентка группы М-42
Давиденко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Зверева Т.Е.
Гомель 2007
Содержание
Введение
1. Метод функциональной подстановки
2. Метод тригонометрической подстановки
3. Методы, основанные на применении численных неравенств
4. Методы, основанные на монотонности функций
5. Методы решения функциональных уравнений
6. Методы, основанные на применении векторов
7. Комбинированные методы
8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций
9. Методы решения симметрических систем уравнений
10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа
Заключение
Литература
Введение
В настоящее время на занятиях по математике в математических классах общеобразовательных школ, гимназий и лицеев все большее внимание уделяется изучению нестандартных методов решения уравнений и неравенств из различных разделов математики (алгебра, тригонометрия и геометрия). В известной степени это вызвано тем, что в последние годы имеет место устойчивая тенденция к усложнению заданий, предлагаемых на вступительных экзаменах по математике в ведущих высших учебных заведениях Беларуси и Российской Федерации.
В данной работе предлагаются нестандартные методы решения задач по математике, которые имеют довольно-таки широкое распространение. Многие из приведенных здесь задач предлагались совсем недавно на вступительных экзаменах по письменной математике в Белгосуниверситете.
1. Метод функциональной подстановки
Метод
функциональной подстановки является,
пожалуй, самым распространенным методом
решения сложных задач школьной математики.
Суть метода состоит в введении новой
переменной
,
применение которой приводит к более
простому выражению. Частным случаем
функциональной подстановки является
тригонометрическая подстановка.
Основная трудность решения задач методом функциональной подстановки заключается в том, что зачастую трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений (или неравенств), где эту подстановку можно использовать. В настоящем разделе предлагаются наиболее распространенные уравнения и неравенства, которые эффективно решаются методом функциональной подстановки.
Задачи и решения
Пример 1 Решить уравнение
Решение.
Введем
новую переменную
,
тогда из Ошибка!
получаем уравнение
.
Поскольку обе части полученного уравнения
неотрицательны, то после возведения в
квадрат получаем равносильное уравнение
.
Отсюда вытекает
,
и
,
.
Рассмотрим два уравнения
Первое
уравнение корней не имеет, а из второго
получаем
и
.
Подстановкой в Ошибка!
убеждаемся в том, что найденные значения
переменной
являются корнями исходного уравнения.
Ответ:
.
Пример 2 Решить уравнение
Решение.
Нетрудно
видеть, что
и
является корнем уравнения.
Пусть
теперь
,
тогда обе части уравнения Ошибка!
разделим на
и получим уравнение
Если
обозначить
,
то уравнение Ошибка!
принимает вид квадратного уравнения
,
корнями которого являются
и
.
Рассмотрим
уравнения
и
,
откуда следует, что
и
.
Так как
,
то наиденные значения
являются корнями уравнения.
Ответ:
,
,
.
Пример 3 Решить уравнение
Решение. Перепишем уравнение в виде
Положим,
что
и
,
тогда из Ошибка!
получим уравнение
,
из которого следует
и
,
.
Так как
и
,
то
и при этом
.
Поскольку
и
,
то
.
Отсюда получаем систему уравнений
где
.
Решением системы уравнений Ошибка!
относительно
является
.
Так как при этом
и
,
то
и
.
Ответ:
.
Пример 4 Решить уравнение
Решение.
Для
преобразования левой части уравнения
Ошибка!
воспользуемся очевидным равенством
.
Тогда из уравнения Ошибка!
имеем
и
Если
затем положить
,
то получим уравнение
,
корни которого равны
и
.
Таким
образом, необходимо рассмотреть два
уравнения
и
,
т.е.
и
,
где
.
Первое уравнение корней не имеет, а из
второго получаем
.
Ответ:
,
.
Пример 5 Решить уравнение
Решение.
Первоначально
убедимся, что
не является корнем уравнения Ошибка!.
Так как
,
то разделим обе части уравнения Ошибка!
на
.
Тогда получим
(1)
Пусть
,
тогда
и из
уравнения (1) следует
или
.
Последнее уравнение представим в виде
.
Отсюда следует, что
и
.
Далее,
рассмотрим три уравнения
,
и
.
Первые два уравнения корней не имеют,
а корнями третьего уравнения
являются
Ответ:
Пример 6 Решить неравенство
(2)
Решение.
Разделим
числитель и знаменатель дроби в левой
части неравенства (2) на
и обозначим
через
.
Тогда неравенство (2) можно переписать
как
и
(3)
Решая
неравенство (3) с учетом того, что
,
получаем
.
Поскольку
,
то
.
Ответ:
.
Пример 7 Решить уравнение
(4)
Решение.
Выполним
замену переменных, пусть
и
.
Так как
и
,
тo
.
Кроме того, имеем
.
В таком случае из уравнения (4) получаем систему уравнений
(5)
Пусть
теперь
и
,
тогда из системы уравнений (5) следует
и
.
Отсюда с учетом того, что
,
получаем
и
.
Следовательно, имеет место
,
и
.
Поскольку
и
,
то
и
,
где
--- целое число.
Ответ:
,
где
--- целое число.
2. Метод тригонометрической подстановки
К
числу, нестандартных методов решения
алгебраических уравнений относится
метод, основанный на применении
тригонометрической подстановки.
Использование такого метода целесообразно
в том случае, когда искомые уравнения
напоминают известные тригонометрические
формулы. Это относится преимущественно
к уравнениям (системам уравнений),
решение которых обычными приемами
весьма затруднительно, и которые после
введения тригонометрических подстановок
сводятся к несложным тригонометрическим
уравнениям. Суть тригонометрической
подстановки состоит в замене неизвестной
переменной
тригонометрической функцией, например
или
,
а также в замене
некоторой функцией от
,
или
.
Полученные корни тригонометрических уравнений позволяют находить корни исходных уравнений как в тригонометрической, так и в алгебраической форме. Следует особо отметить, что тригонометрические уравнения имеют, как правило, бесконечное число корней, а исходные уравнения --- конечное их число.
Задачи и решения
Пример 8 Решить уравнение
(6)
Решение.
Поскольку
не является корнем уравнения (6), то
разделим обе его части на
.
Тогда
(7)
Если
или
,
то левая часть уравнения (7) будет больше
,
а правая его часть --- меньше
.
Следовательно, корни уравнения (6)
находятся на отрезке
.
Пусть
,
где
.
Тогда уравнение (6) принимает вид
тригонометрического уравнения
Решением
уравнения
являются
,
где
--- целое число. Однако
,
поэтому
,
и
.
Так как
,
то
,
и
.
Ответ:
,
и
.
Пример 9 Решить уравнение
(8)
Решение. Нетрудно видеть, что
Выполним
замену
,
где
.
В таком случае левая часть уравнения
(8) принимает вид
а из уравнения (8) следует тригонометрическое уравнение вида
(9)
Сделаем
еще одну замену переменных, пусть
,
тогда
и из (9) получаем квадратное уравнение
относительно переменной
,
т.е.
,
решением которого являются
и
.
Так как
и
,
то
и
.
С учетом того, что
,
получаем систему тригонометрических
уравнений
(10)
Из
уравнений системы (10) составим квадратное
уравнение относительно
вида
и получаем
и
.
Так как
,
то
и
Ответ:
,
.
Пример 10 Решить систему уравнений
(11)
Решение.
Поскольку
и
,
то положим
и
,
тогда
и
.
Тогда
и
.
В таком случае
,
и система уравнений (11) принимает вид
(12)
Из
первого уравнения системы (12) получаем
.
Поскольку
,
то
,
Следовательно, получаем систему
Отсюда
следует
и
.
Так как
и
,
то
и
.
Ответ:
,
.
3. Методы, основанные на применении численных неравенств
Нестандартными методами в математике являются также методы, в основу которых положено использование известных в математике численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши--Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.
Первоначально приведем формулировки неравенства Коши, неравенства Бернулли и неравенства Коши--Буняковского, а затем проиллюстрируем их применение на примерах, взятых из программы вступительных экзаменов по письменной математике в Белгосуниверситете.
Неравенство Коши
Пусть
,
,
...,
,
тогда
(13)
где
.
Причем неравенство превращается в
равенство тогда и только тогда, когда
.
В частности, если в (13) положить
,
то
(14)
Это
неравенство чаще всего встречается при
решении школьных задач по математике.
Если в (14) положить
и
,
где
,
то
(15)
Здесь
неравенство равносильно равенству лишь
при
.
Следует
отметить, что имеется аналог неравенства
(15) для отрицательных значений
,
а именно, если
,
то
(16)
Данное
неравенство превращается в равенство
при
.
Неравенство Бернулли
Наиболее
распространенным является классическое
неравенство Бернулли, которое формулируется
в следующей форме: если
,
то для любого натурального
имеет место
(17)
Причем
равенство в (17) достигается при
или
.
Наряду с (17) существует обобщенное неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:
если
или
,
то
(18)
если
,
то
(19)
где
.
Следует
отметить, что равенства в (18) и (19) имеют
место только при
.
Верно также и обратное утверждение.
Неравенство Коши--Буняковского
Для
произвольных
и
имеет место
(20)
где
.
Причем
равенство в (20) достигается в том и только
в том случае, когда числа
.
и
пропорциональны, т.е. существует константа
такая, что для всех
выполняется равенство
.
На основе использования неравенства Коши--Буняковского (20) можно доказать неравенство
(21)
которое
справедливо для произвольных
,
и натурального числа
.
Задачи и решения
Пример 11 Доказать неравенство
(22)
где
.
Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства (22) с использованием неравенства (19), т.е.
Так
как по условию
,
то равенства в неравенстве Бернулли
(19) не будет, поэтому доказано строгое
неравенство (22).
Пример
12
Доказать,
что если
,
то
(23)
Доказательство.
Введем обозначения
и
.
Тогда
и
.
Используя
неравенство Коши-Буняковского (20), можно
записать
.
Так как
,
то
и
.
Имеет
место равенство
,
из которого следует
.
Следовательно,
для доказательства неравенства (23)
достаточно показать, что
или
,
где
.
Пусть
.
Для доказательства неравенства (23)
требуется показать, что
,
где
.
Так
как
,
то корни уравнения
являются точками, подозрительными на
экстремум функции
.
Уравнение
имеет два корня:
,
.
Поскольку
,
,
,
то
.
Отсюда следует, что неравенство (23) доказано.
Пример
13
Доказать,
если
,
то
Доказательство. Для получения нижней оценки левой части требуемого неравенства первоначально воспользуемся неравенством Бернулли (18), а затем неравенством Коши (14), тогда
Пример 14 Решить уравнение
(24)
Решение. Используя неравенство Коши (14), можно записать
т.е. имеет место неравенство
Отсюда
и из уравнения (24) следует, что приведенные
выше неравенства Коши обращаются в
равенства. А это возможно лишь в том
случае, когда
и
.
Следовательно,
имеем
и
.
Ответ:
,
;
,
;
,
;
,
.
Пример 15 Решить уравнение
(25)
Решение. Применим к левой части уравнения (25) неравенство Бернулли (19), а к правой части --- неравенство (18), тогда
и
Отсюда
следует, что неравенства Бернулли,
примененные к обеим частям уравнения
(25), обращаются в равенство, а это возможно
лишь в том случае, когда
.
Ответ:
.
Пример 16 Доказать неравенство
(26)
где
,
.
Доказательство.
Непосредственно из неравенства (21)
следует
.
Используя это неравенство и неравенство
Коши (15), получаем неравенство (26) следующим
образом:
Пример 17 Доказать, что
(27)
где
,
,
--- стороны треугольника, a
--- его площадь.
Доказательство.
Известно, что
,
где
--- угол между сторонами
и
.
Поскольку
,
то
.
Используя неравенство Коши
,
получаем верхнюю оценку площади
треугольника
вида
.
По аналогии с изложенным выше имеет
место
и
.
Тогда
.
Отсюда следует справедливость неравенства (27).
Пример
18
Доказать,
что для всякого прямоугольного
параллелепипеда с ребрами
,
,
и диагональю
имеет место неравенство
(28)
Доказательство.
Воспользуемся неравенством
Коши--Буняковского (20), тогда
.
Поскольку
в прямоугольном параллелепипеде
(теорема Пифагора), то
.
Отсюда следует справедливость неравенства
(28). Заметим, что равенство в (28) достигается
тогда и только тогда, когда прямоугольный
параллелепипед является кубом.
Пример
19
Пусть
--- точка, лежащая внутри прямоугольника
,
и
--- его площадь. Доказать, что
(29)
Доказательство.
Через точку
,
лежащую внутри прямоугольника
,
проведем
и
.
Обозначим
,
,
и
.
Тогда
,
,
,
,
и требуемое неравенство (29) принимает
вид
(30)
Используя неравенство Коши--Буняковского (20), можно записать два неравенства
и
Следовательно, имеет место
и
Складывая приведенные выше неравенства, получаем неравенство (30).
4. Методы, основанные на монотонности функций
При
решении уравнений типа
в ряде случаев весьма эффективным
является метод, который использует
монотонность функций
и
.
Если функция
непрерывна и возрастает (убывает) на
отрезке
,
а функция
непрерывна и убывает (возрастает) на
этом же отрезке, то уравнение
на отрезке
может иметь не более одного корня.
Напомним,
что функция
называется возрастающей
(или убывающей)
на отрезке
,
если для любых
,
,
удовлетворяющих неравенствам
,
выполняется неравенство
(соответственно,
).
Если функция
является на отрезке
возрастающей или убывающей, то она
называется монотонной
на этом отрезке.
В
этой связи при решении уравнения
необходимо исследовать функции
и
на монотонность, и если одна из этих
функций на отрезке
убывает, а другая функция --- возрастает,
то необходимо или попытаться подбором
найти единственный корень уравнения,
или показать, что такого корня не
существует. Если, например, функция
возстает, a
убывает для
и при этом
,
то корней уравнения
среди
нет. Особенно такой метод эффективен в
том случае, когда обе части уравнения
представляют собой весьма ``неудобные''
для совместного исследования функции.
Кроме того, если функция
является монотонной на отрезке
и уравнение
(где
--- некоторая константа) имеет на этом
отрезке корень, то этот корень единственный.
Задачи и решения
Пример 20 Решить уравнение
(31)
Решение.
Областью
допустимых значений уравнения (31)
являются
.
Рассмотрим функции
и
.
Известно, что функция
для
является убывающей, а функция
--- возрастающей. В этой связи уравнение
(31) может иметь только один корень, т.е.
,
который легко находится подбором.
Ответ:
.
Пример 21 Решить уравнение
(32)
Решение.
Введем
новую переменную
.
Тогда
,
и уравнение (32) принимает вид
(33)
Уравнение
(33) имеет очевидный корень
.
Покажем, что других корней нет. Для этого
разделим обе части уравнения (33) на
,
тогда
(34)
Так
как
,
а
,
то левая часть уравнения (34) является
убывающей функцией, а правая часть ---
возрастающей функцией. Поэтому уравнение
(34) если имеет корень, так только один.
Ранее было установлено, что
--- корень уравнения (33). Следовательно,
этот корень единственный.
Таким
образом, имеем
.
Тогда единственным корнем уравнения
(32) является
.
Ответ:
.
Пример 22 Решить уравнение
(35)
Решение.
Разделим
обе части уравнения (35) на
,
тогда
(36)
Подбором
нетрудно установить, что
является корнем уравнения (36). Покажем,
что других корней это уравнение не
имеет.
Обозначим
и
.
Очевидно, что
.
Следовательно, каждая из функций
и
является убывающей и при этом
.
Если
,
то
,
и
.
Если
,
то
,
и
.
Следовательно,
среди
2
или
корней уравнения (36) нет.
Ответ:
.
5. Методы решения функциональных уравнений
К числу наиболее сложных задач на вступительных конкурсных экзаменах по математике относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида
(37)
или
(38)
где
,
,
--- некоторые функции и
.
Методы решения функциональных уравнений (37), (38) основаны на использовании следующих теорем.
Теорема
23
Корни
уравнения
являются корнями уравнения (37)
Доказательство.
Пусть
--- корень уравнения
,
т.е.
.
Тогда справедливы равенства
Отсюда следует, что
т.е.
является корнем уравнения (37).
Теорема
24
Если
--- возрастающая функция на отрезке
и
,
то на данном отрезке уравнения (37) и
равносильны.
Доказательство.
Пусть
является корнем уравнения (37), т.е.
.
Предположим, что
не является корнем уравнения
,
т.е.
.
He нарушая общности рассуждений, будем
считать, что
.
Тогда в силу возрастания функции
справедливы неравенства
Так
как
,
то из приведенных выше неравенств
следует
.
Таким образом, получили ложное неравенство.
А это означает, что
.
Отсюда и из теоремы 23 следует справедливость теоремы 24.
Следствие
25
Если
функция
возрастает для любого
,
то уравнения (37) и
равносильны.
Следствие
26
Если
функция
возрастает на своей области определения,
то уравнения (37) и
равносильны.
Более
сложным является решение уравнения
(37) в том случае, когда на некотором
отрезке
функция
является убывающей.
В
данном случае имеют место аналоги
теоремы 24 и двух следствий только при
условии, что в уравнении (37) число
нечетное.
Теорема
27
Если
--- убывающая функция на отрезке
,
--- нечетное и
,
то на данном отрезке уравнения (37) и
равносильны.
Доказательство.
Пусть
является корнем уравнения (37), т.е.
Предположим,
что
не является корнем уравнения
,
т.е.
.
Не нарушая общности рассуждений, будем
считать, что
.
Тогда в силу убывания функции
на отрезке
получаем неравенства
,
,
,
и т. д.
Так
как
--- нечетное, то
Поскольку
,
то из последнего неравенства получаем
.
Так
как
--- убывающая функция, то
,
т.е.
.
Получили противоречие тому, что по
предположению
.
Следовательно,
.
Отсюда, с учетом теоремы 23, следует справедливость теоремы 27.
Следствие
28
Если
функция
убывает для любого
и
--- нечетное, то уравнения (37) и
равносильны.
Следствие
29
Если
функция
убывает на своей области определения
и
--- нечетное, то уравнения (37) и
равносильны.
Так
как в рассмотренных выше случаях функция
является убывающей, то уравнение
может иметь только один корень. Поскольку
уравнение (37) с убывающей функцией
и нечетным
равносильно уравнению
,
то уравнение (37) также имеет не более
одного корня.
Если
в уравнении (37)
--- убывающая функция, a
--- четное, то в общем случае уравнения
(37) и
не являются равносильными. Например,
уравнение
имеет три корня
,
,
и только третий корень удовлетворяет
уравнению
.
В данном случае для поиска корней уравнения (37) необходимо проводить дополнительные исследования.
Теорема
30
Если
--- возрастающая (или убывающая) функция
на области допустимых значений уравнения
(38), то уравнения (38) и
равносильны.
Доказательство.
1)
Пусть
--- корень уравнения (38), т.е.
.
Предположим, что
не является корнем уравнения
,
т.е.
.
Не нарушая общности рассуждений, будем
считать, что
.
Отсюда в зависимости от того, какой
является функция
на области допустимых значений уравнения
(38) возрастающей или убывающей, получаем
неравенство
или
,
соответственно. В каждом из двух случаев
имеем ложное неравенство. Значит,
.
2)
Пусть
--- корень уравнения
,
т. е.
.
Отсюда следует
.
Следствие
31
Если
--- возрастающая (или убывающая) функция
на области значений функций
и
,
то уравнения (38) и
равносильны.
Также
следует отметить, что при решении
функционального уравнения (38) необходимо
внимательно рассматривать случай, когда
функция
является четной.
Теорема
32
Если
четная функция
определена на отрезке
и возрастает (или убывает) при
,
то на данном отрезке уравнение (38)
равносильно совокупности уравнений
и
при условии, что
и
.
Доказательство
проводится по аналогии с доказательством
предыдущей теоремы. При этом используется
четность функции
,
т.е. если
,
то
.
Анализ
функции
на монотонность удобно осуществлять с
помощью производной: если функция
дифференцируема на отрезке
и
(
),
то функция
является возрастающей (убывающей) на
данном отрезке.
Задачи и решения
Пример 33 Решить уравнение
(39)
где
квадратный корень берется
раз (
).
Решение.
Из
условия задачи следует, что
.
Пусть
,
тогда уравнение (39) принимает вид
функционального уравнения (37).
Так
как при
функция
возрастает и
,
то уравнение (39) равносильно уравнению
,
т.е.
,
положительным решением которого является
.
Ответ:
.
Пример 34 Решить уравнение
(40)
Решение. Перепишем исходное уравнение (40) в виде функционального уравнения типа (38), т.е.
(41)
где
.
Поскольку
для любого значения
,
то функция
является возрастающей на всей числовой
оси
.
Следовательно, вместо функционального
уравнения (41) можно рассматривать
равносильное ему уравнение
,
для которого
является решением.
Ответ:
.
Пример 35 Решить уравнение
(42)
Решение. Преобразуем уравнение (42) следующим образом:
Отсюда получаем уравнение
(43)
Пусть
,
тогда уравнение (43) принимает вид
(44)
Так
как функция
является убывающей на всей числовой
оси
,
то (согласно Следствию 28) уравнение (44)
равносильно уравнению
,
т.е. уравнение (43) равносильно уравнению
.
Отсюда следует уравнение
,
которое имеет единственный действительный
корень
.
Ответ:
.
Пример 36 Решить уравнение
(45)
Решение.
Поскольку
при всех
,
то областью допустимых значений уравнения
(45) является множество всех действительных
чисел.
Положив
,
и
,
увидим, что заданное уравнение (45)
принимает вид
,
где
и
.
Так как из
следует, что
то
функция
является возрастающей на области
значений функций
и
.
В этой связи уравнение (45) равносильно
уравнению
и, следовательно, имеет два корня
.
Ответ:
.
6. Методы, основанные на применении векторов
Недостаточное внимание в общеобразовательной школе уделяется применению векторов для решения уравнений и неравенств. Тем не менее, как будет показано ниже, в ряде случаев применение свойств векторов позволяет эффективно решать довольно-таки сложные уравнения и неравенства.
Вектор
в трехмерном пространстве характеризуется
тремя координатами
,
,
и модуль (длина) вектора
вычисляется по формуле
.
Суммой (разностью) двух векторов
и
называется вектор
,
координаты которого вычисляются как
(соответственно,
).
Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Верно и обратное утверждение: если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарные.
Для
векторов
и
справедливо неравенство
,
т.е.
(46)
Формула (46) обобщается на случай суммы (или разности) трех и более векторов. Геометрический смысл (46) состоит в том, что длина ломанной линии, соединяющей две точки трехмерного пространства, больше или равна длине отрезка прямой, проведенного между этими точками. Формула (46) иначе называется неравенством треугольника.
Следует
особо отметить, что равенство в (46)
достигается тогда и только тогда, когда
векторы
и
коллинеарные. В частности, из равенства
в (46) следует, что
.
Причем равенство
имеет место тогда и только тогда, когда
векторы
и
сонаправлены,
т.е.
.
В
свою очередь, равенство
свидетельствует о том, что векторы
,
противоположно
направлены
и
.
Скалярным
произведением
векторов
и
называется число (скаляр), которое
вычисляется по формуле
(47)
где
--- угол, образованный векторами
и
.
Для
вычисления скалярного произведения
двух векторов
и
,
заданных в координатной форме, существует
еще одна формула
(48)
Из
формул (47) и (48) легко получить формулу
для вычисления косинуса угла со между
векторами
и
,
т.е
(49)
Из
формулы (47) следует, что векторы
,
являются коллинеарными тогда и только
тогда, когда
.
Отметим,
что формулы (46)--(49) обобщаются на случай
векторов
и
,
заданных в
-мерном
пространстве (где
).
Задачи и решения
Пример
37
Доказать,
если
,
то
(50)
где
.
Доказательство.
Пусть
,
,
...,
,
тогда
,
,...,
.
Введем в рассмотрение вектор
.
Так
как
,
то вектор
имеет координаты
и
.
Поскольку
,
то неравенство треугольника принимает
вид
(51)
Если
в неравенство (51) подставить выражения
для
и
,
то получим требуемое неравенство (50).
Пример 38 Решить неравенство
(52)
Решение.
Пусть
на плоскости вектор
имеет координаты
,
а вектор
--- координаты
.
Тогда имеем
и
.
Пусть
,
тогда координаты вектора
будут вычисляться по формулам
и
.
Отсюда следует, что
.
Поскольку
,
то имеет место неравенство треугольника
.
Если в последнее неравенство подставить
выражения для
,
и
,
то получим неравенство
.
Отсюда и из (52) следует равенство
(53)
Равенство
(53) означает, что
.
Отсюда
следует, что векторы
и
коллинеарные. Используя основное
свойство коллинеарных векторов, получаем
уравнение
,
откуда вытекает
.
Ответ:
.
Пример 39 Решить уравнение
(54)
Решение.
Введем
в рассмотрение два вектора
и
.
Тогда
,
и
.
Принимая
во внимание уравнение (54), получаем
равенство
,
наличие которого свидетельствует о
том, что векторы
,
являются коллинеарными. Следовательно,
имеет место уравнение
(55)
Из
уравнения (55) следует, что
.
Если возвести в квадрат обе части
уравнения (55), то получим уравнение
,
которое имеет следующих три корня:
и
.
Поскольку
,
то решением уравнения (54) являются
и
.
Ответ:
,
.
Пример 40 Найти минимальное значение функции
Решение.
Представим
функцию
в виде
(56)
Введем
на плоскости векторы
,
с координатами
и
,
соответственно. Так как
и
,
то из выражения (56) следует, что
.
Пусть
,
тогда координатами вектора
являются
и
.
Так
как
,
то
и
.
Теперь необходимо показать, что полученная
нижняя оценка функции
достижима, т.е. существуют такие значения
и
,
при которых функция
принимает значение
.
Если
,
то
,
т.е. векторы
и
коллинеарные. Отсюда следует, что
и
.
Положим
,
тогда
.
Если найденные значения
и
подставить в (56), то
.
Следовательно, минимальное значение
функции
равно
.
Ответ:
.
7. Комбинированные методы
При решении сложных задач по математике используются самые разнообразные нестандартные методы, большинство из которых трудно поддаются классификации. Как правило, такие методы ориентированы на решение относительно узкого круга задач, однако их знание и умение ими пользоваться необходимы для успешного решения математических задач повышенной сложности. В настоящем разделе приведены задачи, решение которых базируется на применении оригинальных (эффективных, но сравнительно редко встречающихся) комбинированных методов.
Задачи и решения
Пример 41 Решить уравнение
(57)
Решение.
Рассмотрим
уравнение с параметром
вида
(58)
которое
совпадает с уравнением (57) при
.
Перепишем уравнение (58) в виде квадратного
уравнения относительно неизвестной
переменной
,
т.е.
(59)
Решением
уравнения (59) относительно
являются
т.е.
и
.
Поскольку
,
то получаем два уравнения относительно
переменной
вида
и
.
Отсюда получаем три корня исходного
уравнения (57), т.е.
и
.
Ответ:
,
.
Пример 42 Решить уравнение
(60)
Решение.
Обозначим
,
тогда
.
Известно, что
,
тогда
и из уравнения (60) получаем уравнение
относительно переменной
вида
.
Решая последнее уравнение, получаем
и
.
Таким образом, имеет место
и
.
Отсюда следует
и
.
Ответ:
,
.
Пример
43
Найти
все значения параметра
,
при которых разрешимо уравнение
(61)
Решение.
Воспользуемся
известным тригонометрическим равенством
.
Обозначим
,
тогда
и из (61) получаем
(62)
где
.
Воспользуемся
неравенствами, которые имеют место для
произвольных
и
,
вида
(данные неравенства легко доказать самостоятельно).
Следовательно,
и из (62) получаем
,
откуда следует
.
Ответ:
.
Пример 44 Решить уравнение
(63)
Решение.
Преобразуем
уравнение (63) согласно известного
равенства
,
где
,
тогда
.
Отсюда следует
(64)
Если
уравнение (63) сложить с уравнением (64),
то получаем
.
Поскольку левая часть уравнения
неотрицательна, то
.
Возведем обе части уравнения в квадрат,
тогда получаем квадратное уравнение
,
корнями которого являются
и
.
Непосредственной подстановкой в (63)
убеждаемся, что найденные значения
являются его корнями.
Ответ:
,
.
Пример 45 Решить уравнение
(65)
Решение.
Очевидно,
что областью допустимых значений
уравнения (65) являются
.
Умножим обе части уравнения (65) на
,
тогда получаем
(66)
Решением
уравнения (66) являются
,
и
.
Однако
--- посторонний корень для уравнения
(65), поскольку при этом значении
левая часть уравнения (65) равна
,
а правая меньше
.
Так как
,
то
не может быть корнем уравнения (65). В
этой связи
--- единственное решение исходного
уравнения (65).
Ответ:
.
Пример 46 Решить уравнение
(67)
Решение.
Обозначим
и
,
тогда из уравнения (67) получаем систему
двух уравнений относительно переменных
,
вида
(68)
где
и
.
Преобразуем левую часть второго уравнения системы (68) следующим образом:
Так
как
,
то
.
Отсюда получаем
или
.
Рассмотрим две системы
Корнями
первой системы являются
,
и
,
,
а вторая система решения не имеет.
Следовательно,
или
.
Отсюда получаем два уравнения относительно
переменной
вида
и
.
Первое уравнений корней не имеет, а из
второго следует
и
.
Ответ:
,
.
Пример 47 Решить уравнение
(69)
Решение.
Преобразуем
уравнение (69), используя свойство
пропорции: если
,
то
.
Тогда уравнение (69) можно переписать
как
(70)
Поскольку
,
то из уравнения (70) получаем
;
т.е.
и
.
Так
как уравнения (69) и (70) равносильны, то
решением уравнения (69) являются
и
.
Ответ:
,
.
Пример 48 Доказать неравенство
(71)
где
и
.
Доказательство.
Доказательство неравенства (71) будем
вести методом от противного. Допустим,
что существуют такие значения
и
,
что
и
,
при которых выполняется неравенство
(72)
Из неравенства (72) получаем
(73)
Так
как
,
и
,
то из неравенства (73) следует
Таким образом, получено ложное неравенство, которое доказывает справедливость исходного неравенства (71).
8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций
Одним из эффективных методов решения уравнений или неравенств является метод, основанный на использовании ограниченности функций. К наиболее известным ограниченным функциям относятся, например, некоторые тригонометрические функции; обратные тригонометрические функции; функции, содержащие модуль, степень, корень с четной степенью и т.д.
Приведем
наиболее распространенные неравенства.
Известно, что
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
и многие другие. Здесь
--- натуральное число,
,
и
.
Кроме
приведенных выше простейших неравенств
имеются и более сложные, в частности,
тригонометрические неравенства
,
и неравенства с модулями вида
.
Следует также отметить, что при решении некоторых задач, приведенных в настоящем разделе, можно эффективно применять неравенства Коши, Бернулли и Коши--Буняковского, описанные в разделе 10.
Задачи и решения
Пример 49 Решить уравнение
(74)
Решение.
Выделим
полный квадрат в правой части уравнения,
т.е.
.
Отсюда следует, что
.
Так как при этом
,
то из (74) получаем систему уравнений
(75)
Решением
второго уравнения системы является
.
Подстановкой в первое уравнение
убеждаемся, что найденное значение
является решением системы уравнений
(75) и уравнения (74).
Ответ:
.
Пример 50 Решить уравнение
(76)
Решение.
Обозначим
,
тогда из определения обратной
тригонометрической функции
имеем
и
.
Так
как
,
то из уравнения (76) следует неравенство
,
т.е.
.
Поскольку
и
,
то
и
.
Однако
и поэтому
.
Если
и
,
то
.
Так как ранее было установлено, что
,
то
.
Ответ:
,
.
Пример 51 Решить уравнение
(77)
Решение.
Областью
допустимых значений уравнения (77)
являются
.
Первоначально
покажем, что функция
при любых
может принимать только положительные
значения.
Представим
функцию
следующим образом:
.
Поскольку
,
то имеет место
,
т.е.
.
Следовательно,
для доказательства неравенства
,
необходимо показать, что
.
С этой целью возведем в куб обе части
данного неравенства, тогда
Полученное
численное неравенство свидетельствует
о том, что
.
Если при этом еще учесть, что
,
то левая часть уравнения (77) неотрицательна.
Рассмотрим теперь правую часть уравнения (77).
Так
как
,
то
.
Однако
известно, что
.
Отсюда следует, что
,
т.е. правая часть уравнения (77) не
превосходит
.
Ранее было доказано, что левая часть
уравнения (77) неотрицательна, поэтому
равенство в (77) может быть только в том
случае, когда обе его части равны
,
а это возможно лишь при
.
Ответ:
.
9. Методы решения симметрических систем уравнений
В ряде случаев приходится решать системы уравнений с симметрическим вхождением слагаемых или сомножителей. Системы с таким свойством будем называть симметрическими. К таким системам относятся системы вида
(78)
и
(79)
Метод решения системы (78) состоит в сложении левых и правых частей уравнений. Тогда
заем из полученного уравнения поочередно вычитаются третье, второе и первое уравнения системы (78), в результате чего получается система уравнений
(80)
При решении системы уравнений (79) необходимо перемножить левые и правые части уравнений, тогда получаем
Здесь
необходимо потребовать, чтобы выполнялось
условие
.
Если затем полученное уравнение разделить
поочередно на третье, второе и первое
уравнения системы (79), то получаем две
системы уравнений относительно
,
,
вида
(81)
Полученные
системы уравнений относительно
,
,
допускают более простое решение по
сравнению с решением систем уравнений
(78), (79). Следует отметить, что данный
метод обобщается на случай произвольного
числа уравнений, содержащихся
симметрических системах.
Кроме изложенного выше метода, существует еще много других, которые учитывают специфику заданной симметрической системы уравнений.
Задачи и решения
Пример 52 Решить систему уравнений
(82)
Решение. Если к обеим частям каждого уравнения системы (82) прибавить 1, то получаем
Из последней системы уравнений следует
Пусть
,
тогда
и
,
,
.
Если
,
то по аналогии с предыдущим получаем
,
,
.
Ответ:
,
,
;
,
,
.
Пример 53 Решить систему уравнений
(83)
Решение.
Из
первого уравнения системы (83) вычем
второе уравнение, тогда
.
Умножим на
обе части последнего уравнения и получим
откуда
следует
.
В таком случае первое уравнение системы
(83) принимает вид
.
Следовательно,
.Так
как
,
то
Ответ:
,
,
;
,
,
.
Пример 54 Решить систему уравнений
(84)
Решение.
Обозначим
и
.
Тогда из первого уравнения системы (84)
следует, что
.
Преобразуем второе и третье уравнения системы (84) следующим образом:
(85)
Из второго уравнения системы (85) следует, что необходимо рассмотреть два случая.
1)
Пусть
.
Тогда
,
а из первого уравнения системы (85)
получаем
.
Так как
и
,
то имеет место система уравнений
из
которой следует
,
,
и
,
,
.
2)
Пусть
,
тогда
.
Если данрое выражение для
подставить в первое уравнение ситемы
(85), то получим квадратное уравнение
относительно переменной
вида
,
которое имеет два корня
и
.
Если
,
то
и из первого уравнения системы (85)
получаем
.
В таком случае
и
,
,
,
,
,
.
Если
,
то
,
и
Отсюда
следует
,
,
,
,
,
.
Ответ: См. выше.
Пример
55
При
каких значениях параметра
система неравенств
(86)
имеет единственное решение?
Решение.
В
систему неравенств (86) переменные
,
входят симметрично, поэтому единственное
ее решение необходимо искать в виде
и
,
где
.
Подставим
в любое из неравенств системы (86), тогда
или
.
Для того, чтобы квадратное неравенство
имело бы единственное решение, необходимо
его дискриминант приравнять нулю, т.е.
,
и
.
Ответ:
.
10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа
К числу нестандартных относятся методы решения уравнений, которые содержат целые и (или) дробные части действительных чисел. В программе школьной математики методы решения таких уравнений не изучаются. В настоящем разделе применение существующих методов и приемов иллюстрируется на примерах решения ряда уравнений.
Целой
частью действительного числа
(или Антье)
называется наибольшее целое число, не
превосходящее
,
и это число обозначается через
.
Очевидно, что
.
Разность
называется дробной частью числа
(или Мантисса)
и обозначается через
.
Из определения следует, что
.
Кроме того, справедливо равенство
(87)
Например,
имеет место
,
,
,
и
,
,
.
Отметим некоторые свойства введенного выше понятия целой части действительного числа.
Для
произвольных действительных чисел
имеет место неравенство
Кроме
того, для любого действительного числа
справедливо
(88)
Перейдем теперь к рассмотрению уравнений, содержащих целую и (или) дробную части неизвестной перенной.
Задачи и решения
Пример 56 Решить уравнение
(89)
Решение.
Поскольку
является целым числом, то
--- тоже целое число. Следовательно, число
также является целым. В таком случае
и уравнение (89) принимает вид
или
.
Целыми корнями последнего уравнения
являются
и
.
Ответ:
и
.
Пример 57 Решить уравнение
(90)
Решение. Рассмотрим последовательно три случая.
Если
,
то
и
,
т.е. решением уравнения (90) могут быть
только
.
Пусть
,
тогда из уравнения (90) следует, что
.
Так как
и
,
то получаем систему неравенств
Решением
данной системы неравенств являются
.
Если
,
то
и
.
Следовательно, уравнение (90) не имеет
корней среди
.
Ответ:
.
Пример 58 Решить уравнение
(91)
Решение. Используя свойство (88), можно записать
Так
как
,
то, складывая почленно три приведенные
выше неравенства, получим
Отсюда, принимая во внимание уравнение (91), следуют неравенства
(92)
Поскольку
в этом случае
следует, что
или
.
Так как
--- целое число, то отсюда получаем, что
или
.
Следовательно, имеем
.
Из
уравнения (91) следует, что
--- целое число. Так как
,
то остается лишь проверить целые значения
от
до
.
Нетрудно установить, что решениями
уравнения (91) являются
,
и
.
Ответ:
,
,
.
Пример 59 Решить уравнение
(93)
Решение.
Из
формулы (87) следует, что
.
В этой связи уравнение (93) можно переписать,
как
.
Отсюда следует уравнение
(94)
Очевидно,
что
является корнем уравнения (94). Положим,
что
.
Тогда разделим обе части уравнения (94)
на
и получим уравнение
(95)
Рассмотрим последовательно несколько случаев.
Если
,
то
и
.
В таком случае
.
Если
,
то
и
.
Если
,
то
и
,
тогда
.
Если
,
то
,
и
.
Отсюда следует, что уравнение (95) корней
не имеет.
Следовательно,
уравнение (93) имеет единственный корень
.
Ответ:
.
Пример 60 Решить уравнение
(96)
Решение. Решая тригонометрическое уравнение (96), получаем
(97)
где
--- целое число. Из уравнения (97) получаем
совокупность двух уравнений
или
.
Левые части обоих уравнений являются
целыми числами, в то время как их правые
части (за исключением случая
в первом уравнении) принимают иррациональные
значения.
Следовательно,
равенство в уравнениях совокупности
может иметь место только в том случае,
когда правые их части являются
рациональными (точнее, целыми) числами.
А это возможно лишь в первом уравнении
при условии, что
.
В этом случае получаем уравнение
,
откуда следует
или
.
Ответ:
.
Пример 61 Решить уравнение
(98)
Решение.
Левая
часть уравнения (98) принимает только
целые значения, поэтому число
является целым.
Так
как
,
то при любом целом
многочлен
представляет собой произведение трех
последовательно расположенных на
числовой оси
целых чисел, среди которых имеется хотя
бы одно четное число и число, кратное
трем. Следовательно, многочлен
делится на
без остатка, т.е.
является целым числом.
В
этой связи
и уравнение (98) принимает вид
или
(99)
Так
как
,
то корнями уравнения (99) являются
,
и
.
Ответ:
,
,
.
Пример 62 Доказать равенство
(100)
для
произвольного действительного числа
.
Доказательство.
Любое число
можно представить или как
,
или как
,
где
--- целое число и
.
Рассмотрим два возможных случая.
1)
Пусть
.
Так как
,
то
и
.
2)
Пусть
,
тогда
и
.
Таким образом, равенство (100) выполняется для каждого из двух рассмотренных выше случаев. Следовательно, равенство (100) доказано.
Заключение
Применение нестандартных методов решения задач по математике требует от старшеклассников и абитуриентов нетрадиционного мышления, необычных рассуждений. Незнание и непонимание таких методов существенно уменьшает область успешно решаемых задач по математике. Тем более, что имеющая место тенденция к усложнению конкурсных заданий по математике стимулирует появление новых оригинальных (нестандартных) подходов к решению математических задач. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач по математике способствует развитию у старшеклассников нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельности (кибернетика, вычислительная техника, экономика, радиофизика, химия и т.д.).
Литература
1. А.И.Назаров «Задачи-ловушки», Мн., «Аверсэв»,2006
2.С.А. Барвенов «Математика для старшеклассников», «Аверсэв»,2004
3. О.Н. Пирютко «Типичные ошибки на централизованном тестировании», Мн., «Аверсэв»,2006
4. С.А. Барвенов «Методы решения алгеброическиж уравнений», «Аверсэв»,2006