Несобственные интегралы
Дисциплина: «Высшая математика»
Тема: «Несобственные интегралы»
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
При введении понятия определенного интеграла, а также при рассмотрении задач, связанных с ним, все время делалось предположение, что область интегрирования конечна, а интегрируемая функция на нем непрерывна. Если интервал интегрирования бесконечен или функция в этом интервале имеет точки разрыва, то введенное выше понятие определенного интеграла неприменимо. Однако существует целый ряд задач, когда возникает необходимость распространить понятие определенного интеграла на случаи бесконечных интервалов интегрирования и разрывных функций.
Рассмотрим вначале
случай интегралов с бесконечными
пределами. Пусть функция
непрерывна на промежутке
.
Следовательно, можно вычислить любой
определенный интеграл с верхним пределом
.
Величина этого интеграла будет меняться
в процессе изменения
,
но его можно будет вычислить до тех пор,
пока
конечное число. Как только верхний
предел станет равным бесконечности,
-ая
интегральная сумма, приводящая в пределе
к определенному интегралу, потеряет
смысл. Действительно, в этом случае уже
нельзя будет ни задать
,
ни вычислить
.
Иначе говоря, последняя частичная
трапеция при записи
-ой
интегральной суммы будет всегда иметь
бесконечно большое основание и ее
площадь вычислить обычными методами
не удастся. В этом случае выход из
положения заключается в том, что
находится не на бесконечности, а стремится
к ней.
Определение 1. Если
существует конечный предел
,
то этот предел называется несобственным
интегралом с бесконечным пределом от
функции
и обозначается
.
Итак, по определению
.
В этом и заключается метод вычисления
таких интегралов. Очевидно, что поскольку
данное вычисление связано с нахождением
предела, то ответ может существовать
или нет.
Определение 2. Если в несобственном интеграле предел существует, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.
Очевидно, с
геометрической точки зрения несобственный
интеграл с бесконечными пределами равен
площади неограниченной области, лежащей
между осью
,
кривой
и прямой
.
Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:
Следует подчеркнуть,
что интеграл
существует только тогда, когда существует
каждый из интегралов
и
.
Из сказанного выше следует, что несобственный интеграл это не предел интегральной суммы, а предел определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования.
Рассмотрим пример вычисления несобственного интеграла с бесконечным пределом, который, кроме того, применяется и при решении других задач, о чем будет сказано в дальнейшем.
Если
,
то
,
поэтому
.
Следовательно, в этом случае
.
Если
,
то
,
поэтому
и
.
Аналогично, если
,
то
.
Таким образом,
сходится, если
и расходится, если
.
Несобственные
интегралы с бесконечными пределами
имеют место, в частности, в физике при
вычислении работы по перемещению
материальной точки с массой
из бесконечности в точку
под действием силы притяжения. Эта
работа называется потенциалом силы
притяжения материальной точки
при
.
2. Несобственные интегралы от разрывных функций
Рассмотрим теперь
случай, когда функция
непрерывна
на промежутке
,
а в точке
терпит разрыв второго рода. В этом случае
введение определенного интеграла на
отрезке
как предела интегральной суммы также
невозможно. Дело в том, что отрезок
разбить на
частичных отрезков можно, но в этом
случае первая частичная трапеция будет
иметь бесконечную высоту и ее площадь
вычислить невозможно. Однако, как и в
случае с бесконечным интервалом
интегрирования, здесь также существует
выход. Необходимо искать площадь
трапеции, левый конец основания которой
приближается к точке
.
Определение. Если
существует конечный предел
,
то этот предел называется несобственным
интегралом от разрывной функции
и обозначается
.
Следовательно, вычисление несобственного интеграла от разрывной функции связано с нахождением предела:
.
Так же как и в предыдущем параграфе, если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся, если не существует или равен бесконечности, то – расходящимся.
С геометрической точки зрения несобственный интеграл от разрывной функции равен площади криволинейной трапеции, у которой в какой-то точке высота равна бесконечности.
Если функция
терпит разрыв в точке
,
то
.
Если же разрыв
происходит в точке
,
то есть внутри
,
то в этом случае
.
В последнем случае несобственный интеграл существует (или сходится), если сходятся оба интеграла.
Так же как и
несобственный интеграл с бесконечными
пределами, данный интеграл тоже не
является пределом
-ой
интегральной суммы, а пределом
определенного интеграла.
Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим пример, используемый при решении других задач.
Если в этом интеграле
,
то
и поэтому
.
Следовательно, в этом случае
.
Если
,
то.
В этом случае
и интеграл
расходится. Аналогичный результат
получается и в том случае, когда
.
Действительно,
.
Таким образом,
рассмотренный интеграл расходится при
и сходится при
.
3. Признаки сходимости несобственных интегралов
Как было показано, несобственные интегралы сходятся не всегда. Следовательно, если их вычисление громоздко, то желательно заранее выяснить их существование. Кроме того, бывают случаи, когда несобственный интеграл вообще нет необходимости вычислять, а требуется лишь знать, сходится он или нет. В этом случае используются теоремы о сходимости несобственных интегралов, основанные на сравнении исследуемого несобственного интеграла с известными.
Теорема 1. Пусть
функции
и
непрерывны на промежутке
и удовлетворяют неравенствам
.
Тогда,
1) если интеграл
сходится, то сходится и интеграл
;
2) если интеграл
расходится, то расходится и интеграл
.
Доказываем первую
часть. Из неравенств
,
основываясь на свойствах неопределенных
интегралов (свойство 5, п. 2), следует,
что
,
где
.
При увеличении верхнего предела
интегрирования значения обоих интегралов
будут непрерывно расти, так как
подынтегральные функции по условию
теоремы положительны. Следовательно,
величины обоих интегралов будут функциями
верхних пределов интегрирования.
Перейдем к пределу в неравенствах, когда
.
Согласно свойству 6 (п. 3.5) неравенства
при этом не нарушатся:
.
По условию теоремы
сходится, то есть
.
У интеграла
величина будет монотонно расти с ростом
.
Однако эта монотонно возрастающая
последовательность ограничена сверху
числом
.
Следовательно,
,
то есть несобственный интеграл
сходится.
Во втором случае
также из
следует, что
.
Но в этом случае
по условию расходится, то есть
.
Тогда и
,
то есть несобственный интеграл
расходится. Теорема доказана.
Для несобственных интегралов от разрывных функций существует аналогичная теорема.
Теорема 2. Пусть
функции
и
непрерывны на промежутке
,
удовлетворяют неравенствам
и в точке
одновременно терпят разрыв второго
рода. Тогда,
1) если
сходится, то
сходится также;
2) если
расходится, то расходится и
.
Доказательство теоремы 2 проводится абсолютно так же, как и теоремы 1. Ниже соответствующие теоремы сходимости для несобственных интегралов от разрывных функций формулироваться не будут.
Теорема 3. Если
на промежутке
функция
меняет свой знак, то если
сходится, то сходится и
,
при этом второй интеграл называется
абсолютно сходящимся.
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функцию
.
Очевидно, что она удовлетворяет
неравенствам
.
Согласно теореме 1 из сходимости
следует сходимость
.
Но тогда
и
.
Следовательно, несобственный интеграл
сходится, что и требовалось доказать.
Аналогичная теорема имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций.
Теорема 4. Если
положительные функции
и
непрерывны на промежутке
и при этом
,
то оба несобственных интеграла
и
ведут себя одинаково.
Данную теорему
доказывать не будем. Аналогичная теорема
существует и для несобственных интегралов
от разрывных функций, но при вычислении
предела переменная
стремится к точке разрыва.
В заключение отметим,
что в качестве известных или эталонных
функций, упоминаемых в теоремах, часто
используются функции
и
проинтегрированные в примерах параграфов
15 и 1
Литература
Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284 с.
Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., «Наука», 1986.
Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики. Минск, «Высшая школа», 1973.
Минорский В.П. Сборник задач по высшей математики.
Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109 с.
Никольский С.М., Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509 с.
Олейник С.Н. Математический анализ в задачах и упражнениях. Несобственные интегралы и ряды Фурье. Изд-во: Факториал Пресс, 1998. – 488c.
Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.