Определитель матрицы (работа 1)

Оглавление

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 1

Вычислить определитель 4-го порядка.

Решение:

Определитель 4-го порядка находится по формуле:

где

a_>ij>_>>– элемент матрицы;

М_>ij> – минора элемента a_>ij>. Минора элемента a_>ij> матрицы А называется определитель матрицы, которая была получена путем удаления из матрицы А строк и столбцов, которые содержат элемент a_>ij>

Задача 2

Решить систему матричным способом.

Решение:

Введем обозначения:

Тогда в матричной форме система имеет вид , т.е.

А^-1-обратная матрица, которая существует только тогда, когда исходная матрица А невырожденная, т.е.

Найдем определитель матрицы по формуле:

Так как , то матрица А – невырожденная и обратная матрица А^-1 существует и единственная.

Найдем обратную матрицу по формуле:

, где

- присоеденненая матрица, элементы которой равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы , и затем транспонированная.

найдем алгебраического дополнения всех элементов матрицы:

Получается матрица

транспонируем матрицу (т.е. матрица A^T, полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы)

обратная матрица равна:

Находим значение переменных х_>1>,х_>2>,х_>3>:

Х_>1>=-27, Х_>2>=36, Х_>3>=-9

Задача 3

Решить систему методом Крамера

Решение:

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)

Данную систему представим в виде матрицы:

Найдем определители:

(, т.е. можно применить метод Крамера)

;

Найдем значение x, y:

Задача 4

Найти общее решение системы, используя метод Жордана-Гаусса:

Решение:

Данную систему представим в виде матрицы:

В качестве разрешающего элемента удобнее взять элемент а_>11>=1 (т.к. при делении на «1» число остается без изменения). Делим элементы строки на разрешающий элемент а_>11>. Разрешающие переменную х_>1> следует исключить из остальных уравнений, поэтому в новой матрице в первом столбце во всех строках (кроме 1 строки) необходимо поставить значение «0». Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника:

;

В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой, например а_>22>=5. Делим элементы разрешающей второй строки на «5». Все элементы первого столбца, кроме а_>11> берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:

; ;

;

В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой и второй, например а_>33>=1. Делим элементы разрешающей второй строки на «1». Все элементы первого и второго столбца, кроме а_>11>=1 и а_>22>=1 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:

;