Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 4

Секция: математика

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

по теме

Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Позолотина Наталья Андреевна, 9^б класс,

МОУ СОШ №4 Центрального района.

224-49-85

Руководитель: Тропина Наталья Валерьяновна,

кандидат педагогических наук,

доцент кафедры математического анализа НГПУ.

(Работа выполнена в МОУ СОШ №4)

Новосибирск 2008

Содержание

Введение

1. Основные понятия и определения

2. Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных

2.1 Доказательство неравенств с минимальным числом переменных

2.2 Случай с двумя последовательностями из двух переменных

Упражнения

2.3 Случай с двумя последовательностями из трех переменных

Упражнения

2.4 Случай с двумя последовательностями из n переменных

Упражнения

2.5 Случай с n последовательностями из n переменных

Упражнения

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В школьном курсе математике мы изучали доказательства неравенств в основном двумя способами:

сведение к очевидному с помощью равносильных преобразований;

графически (исследование свойств и построение графиков функции)

Не существует универсального способа доказательства всех неравенств, и более того, не существует конкретных указаний для выбора способа доказательства. Поэтому любой новый способ доказательства неравенств представляет особый интерес.

В данном работе мы рассмотрим один из таких способов: доказательство неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.

Работа состоит из 2-х параграфов. В первом параграфе я объясняю основные определения, которые нам понадобятся для работы. Во втором параграфе находится основная работа с примерами и упражнениями.

1. Основные понятия и определения

В данном параграфе мы рассмотрим основные понятия и определения, которые нам понадобятся для дальнейшей работы.

Определение 1. Множество – это совокупность, собрание, набор некоторых объектов по какому – либо общему для них признаку.

Определение 2. Натуральные числа N – это целые положительные числа 1, 2, 3, 4, 5,…

Определение 3. Целые числа Z – это числа 0, +1, +2, +3, +4, +5…:

Z = N -N {0}

Определение 4. Рациональные числа Q – это числа представимые обычными дробями в виде , где m є Z , n є N (или конечными, или бесконечными периодичными дробными).

Определение 5. Иррациональные числа I – это числа, представимые бесконечными непериодическими десятичными дробями и непредставимые в виде .

Определение 6. Вещественные (действительные) числа R – объединение множества рациональных и иррациональных чисел.

R=Q I

Определения 7. Неравенство – соотношение между величинами, показывающее, что одна величина больше или меньше другой.

Например: ,

Известно, что все неравенства подчиняются определенным свойствам, таким как:

а) a<b, b<ca<c

b) ab, baa=b

c) ab a+cb+c

d) a0 -a0

Определения 8. Доказать неравенство – установить истинность неравенства.

Неравенства бывают разными: с одной, двумя и более переменными, со степенями. Ля каждого неравенства существует свой способ доказательств. Мы рассмотрим еще один способ: через одномонотонные последовательности.

Определение 9. Следствие – из двух неравенств одно является следствием другого, если область истинности второго неравенства содержит в себе область истинности первого неравенства.

Обозначение: f_>1>(x)>f_>2>(x)ц_>1>(x)>ц_>2>(x) – второе неравенство – следствие первого.

Определение 10. Два неравенства называются равносильными, если каждое из них является следствием другого. Иначе это можно сформулировать так: два неравенства считаются равносильными, если их множества значений переменных, для которых они истинны, совпадают.

Обозначаются равносильные неравенства: f_>1>(x)>f_>2>(x)ц_>1>(x)>ц_>2>(x)

Эти определения аналогичны соответствующим определениям для уравнений. Как и для уравнений, можно сформулировать утверждения о действиях, преобразующих данное неравенство в равносильное ему. Такими действиями могут быть:

– прибавление к обеим частям неравенства одного слагаемого;

– перенос слагаемого с противоположным знаком из одной части неравенства в другую;

– умножение обеих частей на положительное число или положительную функцию и т.д.

Следует, однако, производя эти действия, следить, чтобы не изменилась область допустимых значений, так как иначе будет нарушена равносильность этих неравенств.

Определение 11. Метода математической индукции – метод доказательства неравенств, путем схожести доказательств от самого легкого к самому сложному.

Например, Р(n) – некоторое утверждение, зависимое от n є N

Проверяем правдивость Р(1)

Предполагаем, что P(k) истинно

Доказываем истинность Р(k+1)

4) Заключаем, что Р(n) истинно для любых n.

Определение 12. Одномонотонные последовательности – это последовательности чисел вида (а_>1 >а_>2> … а_>n>)(b_>1> b_{>2 …} >b_>n>) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а_>1 >а_>2> … а_>n>_> >находится над наибольшим числом из чисел b_>1> b_{>2 …} >b_>n> и второе по величине из чисел а_>1 >а_>2> … а_>n> над вторым по величине из чисел b_>1> b_{>2 …} >b_>n> и т.д., другими словами обе последовательности одновременно возрастающие или одновременно убывающие.

Определение 13. Произведение одномонотонных последовательностей (а_>1>, а_>2>, …а_>n>), (b_{> 1}>, b_>2>,…b_>n>), …( d_{> 1}>, d_{> 2}>,…, d_> >_>n>) это число вида

= а_>1>b_>1>…d_>1>+а_>2>b_>2>…d_>2>+ …+a_>n>b_>n>…d_>n>

2. Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных

Данный параграф разбит на пункты, в которых мы попробуем прийти к самому общему доказательству, для случая k последовательностей с n числом переменных, с помощью метода математической индукции.

2.1 Доказательство неравенств с минимальным числом переменных

а_>1>*b_>1> – неравенство с минимальным числом переменных. Тогда

= a_>1>b_>1.>

Так как это неравенство минимальное из всех существующих, то сравнивать с похожим неравенством его просто невозможно.

Случай с двумя последовательностями из двух переменных

Если = a_>1>b_>1>. то =а_>1>b_>1>+а_>2>b_>2>

Теорема 1. Пусть (а_>1>а_>2)>(b_>1>b_>2>) – одномонотонные последовательности. Тогда

Доказательство

Действительно,

– =a_>1>b_>1>+a_>2>b_>2>-a_>1>b_>2>-a_>2>b_>1> = (a_>1>-a_>2>) (b_>1>-b_>2>)

Так как последовательности (а_>1>а_>2>)(b_>1>b_>2>) одномонотонны, то числа a_>1>-a_>2> и b_>1>-b_>2> имеют одинаковый знак. Поэтому

(a_>1>-a_>2>)(b_>1>-b_>2>) 0.

Теорема доказана.

Упражнения

Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 1

Упражнение №1.

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство

a³ +b³ a²b+b²a.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

a³ +b³ =, a²b+b²a =

А так как последовательности (a², b²), (a, b) одномонотонны, то

А это значит, что a³ +b³ a²b+b²a.

Что и требовалось доказать.

Докажем это же неравенство, но другим способом.

Значит a³ +b³ a²b+b²a.

Что и требовалось доказать.

Мы не можем сказать какой из методов доказательства решения легче, так как в данном случае оба метода решения неравенства примерно одинаковые по сложности.

Упражнение №2.

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство.

а²+b².

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

а²+b² =, ,

А так как последовательности (), () одномонотонны, то

.

Что и требовалось доказать.

2.3 Случай с двумя последовательностями из трех переменных

Рассмотрим последовательность (а_>1>,а_>2>,а_>3>) и (b_{> 1}>, b_>2>,b_>3>), и запишем в виде таблицы

Если последовательность (а_>1>,а_>2>,а_>3>)(b_>1>, b_>2 >,b_>3>) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а_>1>,а_>2>,а_>3 >находиться над наибольшим из чисел b_{> 1}>,b_>2>,b_>3>, а второе по величине а_>1>,а_>2>,а_>3 >находиться над вторым по величине из чисел b_{> 1}>,b_>2>,b_>3> , и где наименьшее из чисел а_>1>,а_>2>,а_>3 >находиться над наименьшим из чисел b_{> 1}>,b_>2>,b_>3> то последовательность одномонотонная.

Если =a_>1>b_>1>, и =а_>1>b_>1>+а_>2>b_>2>, то =а_>1>b_>1>+а_>2>b_>2>+a_>3>b_>3>

Для доказательства следующих теорем нам понадобится одно свойство одномонотонных последовательностей, которое оформим в виде леммы.

Лемма. Если (а_>1>, а_>2>, …а_>n>) и (b_{> 1}>, b_>2>,…b_>n>) одномонотонные последовательности, то их произведение не изменится при перестановки местами столбцов.

Доказательство.

Рассмотрим последовательность с двумя переменными из двух переменных.

=а_>1>b_>1>+а_>2>b_>2>.

Заметим, что а_>1>b_>1>+а_>2>b_>2> = а_>2>b_>2>+ а_>1>b_>1> по переместительному свойству сложения. Значит, в самой таблице мы тоже можем переставлять столбцы переменных, при этом сохраняется одномонотонность последовательности. То есть

=

Теперь рассмотрим последовательность с двумя последовательностями из трех переменных.

=а_>1>b_>1>+а_>2>b_>2>+a_>3>b_>3>.

Кроме того, что мы можем поменять переменные по переместительному свойству, а по сочетательному свойству мы можем объединять некоторые слагаемые, сохраняя одномонотонность последовательности. То есть

а_>1>b_>1>+а_>2>b_>2>+a_>3>b_>3>= (a_>3>b_>3>+а_>2>b_>2>)+ а_>1>b_>1> =

Лемма доказана

Теорема 2. Пусть (а_>1 >а_>2> а_>3>), (b_>1> b_>2 >b_>3>) – одномонотонные последовательности и ()(здесь и в дальнейшем) любая перестановка чисел b_>1> b_>2 >b_>3>. Тогда

.

Доказательство.

Действительно, если последовательность отличается от (b_>1> b_>2 >b_>3>) то найдется пара чисел k, l (1k<l3) такая, что последовательности (a_>k>, a_>l>) и (b_>k>, b_>l>) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть

, так как .

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана

Упражнения

Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 2

Упражнение №1.

Пусть a и b и c – положительные вещественные числа.

Докажите неравенство.

a³+b³+c³a²b+b²c+c²a.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

a³+b³+c³=, a²b+b²c+c²a =

А так как последовательности (a², b², c²), (a, b , c) одномонотонны, то

.

А это значит, что a³+b³+c³a²b+b²c+c²a.

Что и требовалось доказать.

Упражнение №2.

Пусть a и b и c – положительные вещественные числа.

Докажите неравенство.

.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

и (a, b, c) и () одномонотонные последовательности, то

,

.

Складывая эти неравенства, мы получаем

.

Отделим дроби с одинаковым знаменателем в правой части

.

Вычислив, получаем

.

А это значит, что

Что и требовалось доказать

2.4 Случай с двумя последовательностями из n переменных

Рассмотрим одномонотонные последовательность (а_>1>, а_>2>, …а_>n>) и (b_{> 1}>, b_>2>,…b_>n>)

Если =a_>1>b_>1>, и =а_>1>b_>1>+а_>2>b_>2>, то =а_>1>b_>1>+а_>2>b_>2>…a_>n>b_>n>

Теорема 3. Пусть (а_>1 >а_>2> … а_>n>), (b_>1> b_{>2 …} >b_>n>) – одномонотонные последовательности и ()перестановка чисел b_>1> b_{>2 …} >b_>n>. Тогда

.

Доказательство.

Действительно, если последовательность () отличается от (b_>1> b_{>2 …} >b_>n>) то найдется пара чисел k, l (1k<ln) такая, что последовательности (a_>k>, a_>l>) и (b_>k>, b_>l>) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть

,

так как .

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана.

Следствие.

Для любого nN верно

.

Доказательство.

Но последовательности (а_>1 >а_>2> … а_>n>) и () не являются одномонотонными, и поэтому мы не можем воспользоваться теоремой 3.

Однако эти последовательности противомонотонны: числа в последовательностях расположены в обратном порядке – самому большому по величине соответствует самое маленькое, а самому маленькому соответствует самое большое. А из противомонотонных последовательностей сделать одномонотонные очень просто – достаточно все числа второй линии взять со знаком минус. В данном случае одномонотонными являются последовательности

(а_>1 >а_>2> … а_>n>) и ()

Поэтому

Отсюда и следует искомое неравенство

Следствие

Для любого nN верно

(Неравенство Чебышева).

Доказательство.

В силу теоремы 3 справедливы следующие n неравенства

Значит

В этих неравенствах левая часть не изменяется, а в правой части элементы второй строки меняются циклически.

Складываем все и получаем

Что и требовалось доказать

Упражнение №1.

Пусть a и b и c – положительные вещественные числа.

Докажите неравенство.

a³+b³+c³+d³a²b+b²c+c²d+d²a.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

a³+b³+c³+d³=, a²b+b²c+c²d+d²a =.

А так как последовательности

(a², b², c ², d³), (a, b , c, d)

одномонотонны, то

.

А это значит, что a³+b³+c³+d³a²b+b²c+c²d+d²a.

Что и требовалось доказать.

Доказательство этого неравенства с помощью одномонотонных последовательностей я не могу сравнить с другим доказательством, так как доказать другим способом это неравенство я не смогла.

2.5 Случай с n последовательностями из n переменных

Рассмотрим одномонотонные последовательность (а_>1>, а_>2>, …а_>n>), (b_>1>, b_>2>,…b_>n>), …(d_{> 1}>, d_{> 2}>,…, d_> >_>n>).

Если =a_>1>b_>1>, и =а_>1>b_>1>+а_>2>b_>2>, и =а_>1>b_>1>+а_>2>b_>2>…a_>n>b_>n>,

то = а_>1>b_>1>…d_>1>+а_>2>b_>2>…d_>2>+ …+a_>n>b_>n>…d_>n>

Теорема 4. Рассмотрим одномонотонные последовательности (а_>1>, а_>2>, …а_>n>), (b_{> 1}>, b_>2>,…b_>n>), …, (d_>1>, d_>2>,…,d_>n>). Тогда

.

Доказательство.

Действительно, если последовательность (a_>1>, а_>2>, …а_>n>), (b'_>1>, b'_>2>,…b'_>n>), …, (d'_>1>, d'_>2>,…,d'_>n>) отличается от (а_>1>, а_>2>, …а_>n>), (b_{> 1}>, b_>2>,…b_>n>), …, (d_>1>, d_>2>,…,d_>n>), то найдутся переменные k, l (1k<ln) такие, что последовательности (a_>k>, a_>l>) и (b_>k>, b_>l>) …(d_>k>, d_>l>) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа ,, a_>k>, a_>l> … d_>k>, d_>l> мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То

есть

,

так как .

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов n-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана.

Пример

Упражнение 1

Пусть а_>1>, а_>2>, …а_>n> - положительные вещественные числа.

Докажите, что

Это неравенство называется неравенством Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Докажем его двумя способами

Доказательство.

Перепишем его в виде:

, введя новые переменные

Имеем

Если сравнить эти два доказательства неравенства, можно заметить, что доказательство с помощью одномонотонных последовательностей гораздо легче в сравнении с доказательством Коши.

неравенство одномонотонный последовательность коши

Заключение

Работая по данной теме, я узнала новый способ доказательства неравенств, вспомнила уже изученные способы доказательства неравенств. Все упражнения в работе я решала сама.

Список использованной литературы

Большой справочник школьника. 5 – 11 кл. М. Дрофа, 2001 г.

В.В. Зайцев, В.В. Рыжков, М.И. Сканави. Элементарная математика (повторительный курс). М., Наука. 1976 г.

Р.Б. Алексеев, Л.Д. Курлядчик. Нетрадиционные способы доказательства традиционных неравенств. /Математика в школе. 1991 г. №4

Л. Пинтер, Й. Хегедыш. Упорядоченные наборы чисел и неравенства. /Квант. 1985 г. №12.