Вычисление вероятности
1. Задача 1. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.
Решение.
Обозначим через А событие, состоящее в том, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.
Вероятность события А найдем используя условную вероятность.
= 0,278
– вероятность того, что первый шар белый. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.
– вероятность того, что второй шар чнрный. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.
Ответ: 0,278.
2. Задача 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
Решение.
Пусть событие состоит в том, что сигнал пройдет с входа на выход.
,
где – событие, состоящие в том, что i-ый элемент находится в рабочем состоянии.
Т.к. события - независимые совместные события.
Ответ: 0,994.
3. Задача 3. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99 , на втором - 0,988 и на третьем - 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.
Решение. Событие А состоит в том, что что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.
Гипотезы Н>1>, Н>2>, Н>3>.
– деталь изготовлена на первом станке;
– деталь изготовлена на втором станке;
– деталь изготовлена на третьем станке;
Гипотезы Н>i> образуют полную группу событий.
Воспользуемся формулой полной вероятности:
– полная вероятность.
=; =;
=; =;
=0,45; =;
Тогда
. = 0,015.
Ответ: 0,0,015.
4. Задача 4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?
Решение.
Найдем – наиболее вероятное число выпадений 6.
Наивероятнейшее число определяют из двойного неравенства:
;
– вероятность появления события в каждом из независимых испытаний. – вероятность того, что при одном испытании выпадет 6 (по формуле классической вероятности). . – по условию.
;
Так как – целое число, то наивероятнейшее число звонков равно .
Ответ: 2.
5. Задача 5. Дискретная случайная величина может принимать одно из пяти фиксированных значений , , , , с вероятностями , , , , соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины . Рассчитать и построить график функции распределения.
Решение.
Таблица 1.
-
1
4
5
7
8
0,3
0,3
0,1
0,15
0,15
Найдем числовые характеристики данного распределения.
Математическое ожидание
= 4,25
Дисперсию определим по формуле: .
= 24,55.
Тогда
Найдем функцию распределения случайной величины.
.
Построим график этой функции
6. Задача 6. Случайная величина задана плотностью вероятности
Определить константу , математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины , а также вероятность ее попадания в интервал [0;]
Решение.
Коэффициент найдем используя свойство функции плотности распределения: . Так как функция плотности распределения принимает отличные от нуля значения на интервале , то .
Вычислим определенный интеграл:
.
Следовательно, , .
Математическое ожидание найдем по формуле:
.
Т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке [0, ], то
= =
= = .
Вычислили интеграл, используя формулу интегрирования по частям.
Найдем дисперсию , т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке
[0, ], то .
=.
Найдем .
Воспользуемся формулой =.
=
Найдем функцию распределения СВ Х.
При
.
При
.
При
.
7. Задача 7. Случайная величина распределена равномерно на интервале . Построить график случайной величины и определить плотность вероятности .
Решение.
Найдем плотность распределения случайной величины . Случайная величина распределена равномерно на интервале , поэтому на этом интервале , вне этого интервала .
Построим график функции на интервале и в зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы:
;
;
Так как на интервалах и обратная функция не существует, то для этих интервалов .
На интервале одна обратная функция , следовательно
На интервале две обратных функции и , следовательно .
Найдем производные обратных функций
; .
Учитывая, что , получим
; .
В результате получим:
.
Таким образом, плотность вероятности величины равна:
8. Задача 8. Двумерный случайный вектор равномерно распределен внутри области В. Двумерная плотность вероятности о любой точке этой области В:
Вычислить коэффициент корреляции между величинами и .
Решение.
Построим область
Найдем значение константы . Воспользуемся свойством функции
Поскольку принимает отличные от нуля значения внутри области , то получим
= .
Следовательно, . Значит,
Значение коэффициента корреляции вычислим по формуле
Корреляционный момент вычислим по формуле
.
.
.
.
Определим корреляционный момент
Ответ:
9. Задача 9. По выборке одномерной случайной величины
Получить вариационный ряд;
Построить гистограмму равноинтервальным способом;
Построить гистограмму равновероятностным способом;
Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии;
Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия и критерия Колмогорова ()
0,22 |
0,42 |
0,07 |
1,69 |
0,42 |
0,94 |
1,81 |
2,24 |
0,74 |
0,75 |
0,80 |
2,59 |
0,55 |
0,43 |
0,51 |
0,38 |
1,41 |
0,73 |
0,03 |
0,96 |
0,63 |
0,17 |
0,10 |
0,09 |
1,09 |
1,52 |
2,97 |
0,91 |
1,53 |
0,55 |
1,23 |
1,27 |
0,75 |
1,55 |
0,88 |
0,57 |
0,31 |
1,04 |
1,71 |
1,39 |
1,16 |
0,86 |
1,13 |
0,82 |
2,02 |
1,17 |
0,25 |
0,64 |
0,07 |
0,11 |
1,99 |
0,71 |
2,17 |
0,23 |
2,68 |
1,82 |
1,19 |
0,05 |
1,23 |
4,70 |
0,37 |
0,40 |
1,31 |
0,20 |
0,50 |
2,48 |
0,32 |
1,41 |
0,23 |
1,27 |
0,33 |
1,48 |
0,52 |
0,68 |
0,30 |
0,40 |
0,24 |
1,52 |
0,17 |
0,17 |
0,83 |
1,20 |
0,65 |
0,05 |
1,45 |
0,23 |
0,37 |
0,09 |
3,66 |
0,28 |
0,77 |
0,11 |
1,95 |
0,10 |
0,95 |
0,65 |
4,06 |
3,16 |
0,51 |
2,02 |
Решение.
Найдем размах вариации . 0,03; 4,70;
4,70–0,03 = 4,67.
Вариационный ряд распределения имеет вид:
-
0,03
1
0,86
1
0,05
2
0,88
1
0,07
2
0,91
1
0,09
2
0,94
1
0,1
2
0,95
1
0,11
2
0,96
1
0,17
3
1,04
1
0,2
1
1,09
1
0,22
1
1,13
1
0,23
3
1,16
1
0,24
1
1,17
1
0,25
1
1,19
1
0,28
1
1,2
1
0,3
1
1,23
2
0,31
1
1,27
2
0,32
1
1,31
1
0,33
1
1,39
1
0,37
2
1,41
2
0,38
1
1,45
1
0,4
2
1,48
1
0,42
2
1,52
2
0,43
1
1,53
1
0,5
1
1,55
1
0,51
2
1,69
1
0,52
1
1,71
1
0,55
2
1,81
1
0,57
1
1,82
1
0,63
1
1,95
1
0,64
1
1,99
1
0,65
2
2,02
2
0,68
1
2,17
1
0,71
1
2,24
1
0,73
1
2,48
1
0,74
1
2,59
1
0,75
2
2,68
1
0,77
1
2,97
1
0,8
1
3,16
1
0,82
1
3,66
1
0,83
1
4,06
1
4,7
1
Построим гистограмму равноинтервальным способом. Число интервалов рассчитаем по формуле . Длина частичного интервала вычисляется по формуле
.
Полученные значения запишем в таблицу
№ |
>> |
|||||
1 |
0,03 |
0,497 |
0,467 |
34 |
0,34 |
0,73 |
2 |
0,497 |
0,964 |
0,467 |
27 |
0,27 |
0,58 |
3 |
0,964 |
1,431 |
0,467 |
15 |
0,15 |
0,32 |
4 |
1,431 |
1,898 |
0,467 |
10 |
0,1 |
0,21 |
5 |
1,898 |
2,365 |
0,467 |
6 |
0,06 |
0,13 |
6 |
2,365 |
2,832 |
0,467 |
3 |
0,03 |
0,06 |
7 |
2,832 |
3,299 |
0,467 |
2 |
0,02 |
0,04 |
8 |
3,299 |
3,766 |
0,467 |
1 |
0,01 |
0,02 |
9 |
3,766 |
4,233 |
0,467 |
1 |
0,01 |
0,02 |
10 |
4,233 |
4,7 |
0,467 |
1 |
0,01 |
0,02 |
Равноинтервальная гистограмма имеет вид:
Построим гистограмму равновероятностным способом.
-
№
>>
1
0,03
0,17
0,14
10
0,1
0,7143
2
0,17
0,25
0,08
10
0,1
1,2500
3
0,25
0,42
0,17
10
0,1
0,5882
4
0,42
0,57
0,15
10
0,1
0,6667
5
0,57
0,77
0,2
10
0,1
0,5000
6
0,77
0,96
0,19
10
0,1
0,5263
7
0,96
1,27
0,31
10
0,1
0,3226
8
1,27
1,53
0,26
10
0,1
0,3846
9
1,53
2,17
0,64
10
0,1
0,1563
10
2,17
4,7
2,53
10
0,1
0,0395
Равновероятностная гистограмма имеет вид:
Оценку математического ожидания вычислим по формуле
1,00.
Оценку дисперсии вычислим по формуле:
, 0,82,
Построим доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии:
В нашем случае
1,00, 0,82, , , .
;
Доверительный интервал для математического ожидания .
Доверительный интервал для дисперсии
, =1,96 ().
По виду равноинтервальной гистограммы выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по показательному закону:
H>0> :
H1 :
Определим оценку неизвестного параметра
Предполагаемый закон распределения >. >Найдем вероятности попадания в каждый из интервалов
Теоретические частоты найдем по формуле
№ |
Интервалы [x>i>; x>i+1>) |
||||||
1 |
0,03 |
0,497 |
0,36 |
36,00 |
-2,00 |
4,00 |
0,1111 |
2 |
0,497 |
0,964 |
0,23 |
23,00 |
4,00 |
16,00 |
0,6957 |
3 |
0,964 |
1,431 |
0,14 |
14,00 |
1,00 |
1,00 |
0,0714 |
4 |
1,431 |
1,898 |
0,09 |
9,00 |
1,00 |
1,00 |
0,1111 |
5 |
1,898 |
2,365 |
0,06 |
6,00 |
0,00 |
0,00 |
0,0000 |
6 |
2,365 |
2,832 |
0,04 |
4,00 |
-1,00 |
1,00 |
0,2500 |
7 |
2,832 |
3,299 |
0,02 |
2,00 |
0,00 |
0,00 |
0,0000 |
8 |
3,299 |
3,766 |
0,01 |
1,00 |
0,00 |
0,00 |
0,0000 |
9 |
3,766 |
4,233 |
0,01 |
1,00 |
0,00 |
0,00 |
0,0000 |
10 |
4,233 |
4,7 |
0,01 |
1,00 |
0,00 |
0,00 |
0,0000 |
>НАБЛ>= |
1,24 |
Число степеней свободы определяют по формуле . По таблице критерия Пирсона находим: . Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о показательном распределении. Проверим гипотезу о показательном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Теоретическая функция распределения F>0>(x) показательного закона равна
Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Все вспомогательные расчеты сведем в таблицу.
№ |
Интервалы [x>i>; x>i+1>) |
частота в интервале |
||||
1 |
-2,951 |
7 |
34 |
0,34 |
0,36 |
0,02 |
2 |
-2,513 |
10 |
27 |
0,61 |
0,59 |
0,02 |
3 |
-2,075 |
8 |
15 |
0,76 |
0,73 |
0,03 |
4 |
-1,637 |
12 |
10 |
0,86 |
0,82 |
0,04 |
5 |
-1,199 |
14 |
6 |
0,92 |
0,88 |
0,04 |
6 |
-0,761 |
11 |
3 |
0,95 |
0,91 |
0,04 |
7 |
-0,323 |
9 |
2 |
0,97 |
0,93 |
0,04 |
8 |
0,115 |
4 |
1 |
0,98 |
0,95 |
0,03 |
9 |
0,553 |
16 |
1 |
0,99 |
0,96 |
0,03 |
10 |
0,991 |
9 |
1 |
1,00 |
0,97 |
0,03 |
; .
То таблице квантилей распределения Колмогорова по уровню значимости находим критическое значение .
Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении.
10. Задача 10. По выборке двумерной случайной величины
Вычислить оценку коэффициента корреляции;
Вычислить параметры линии регрессии и ;
Построить диаграмму рассеивания и линию регрессии;
Решение
Найдем числовые характеристики величин и .
0,88; 0,10.
1,59; .
1,76; .
Корреляционный момент равен:
–0,23
Найдем уравнения регрессии
где ;
Уравнение регрессии имеет вид:
.
Коэффициент корреляции равен:
.
Найдем интервальную оценку.
.
,
Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости .
Проверим нулевую гипотезу : о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции, при конкурирующей гипотезе .
.
По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню и числу степеней свободы найдем критическую точку двусторонней критической области. .
Так как – нулевую гипотезу принимаем.
1