Произведение двух групп
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Произведение двух групп
Курсовая работа
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-31
Закревская С.А.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии
Монахов В. С.
Гомель 2005
Содержание
Введение
1
О произведении двух групп, одна из
которых содержит циклическую подгруппу
индекса
2
О произведении двух групп с циклическими
подгруппами индекса 2
3
Произведение разрешимой и циклической
групп
3.1.
Вспомогательные результаты
3.2.
Доказательства теорем 1 и 2
Заключение
Список литературы
Введение
Данную
работу можно рассматривать как продолжение
трудов Б. Хупперта и В. Скотта. В ней
приводятся свойства конечных групп,
являющихся произведением двух групп,
а именно являющихся произведением двух
групп, одна из которых содержит циклическую
подгруппу индекса
,
произведением двух групп с циклическими
подгруппами индекса 2, произведением
разрешимой и циклической групп.
Рассматриваются вопросы разрешимости, сверхразрешимости и изоморфизма конечных групп, с приведенными выше свойствами и приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Так же приводятся доказательства следующих теорем:
Теорема
1.1 . Если
и
- группы с циклическими подгруппами
индексов
,
то конечная группа
разрешима.
Теорема
1.2 . Пусть
- группа Шмидта, а
- группа с циклической подгруппой индекса
.
Если
и
- конечная неразрешимая группа, то
изоморфна подгруппе
,
содержащей
,
для подходящего
.
Теорема
1.3 . Пусть
- 2-разложимая группа, а группа
имеет циклическую инвариантную подгруппу
нечетного порядка и индекса 4. Если
и
- конечная неразрешимая группа, то
изоморфна подгруппе
,
содержащей
,
для подходящего
.
Теорема
2.1 . Пусть
конечная группа
,
где
и
- группы с циклическими подгруппами
индексов
.
Тогда
разрешима,
и
для любого простого нечетного
.
Теорема
2.2 . Если
группы
и
содержат циклические подгруппы нечетных
порядков и индексов
,
то конечная группа
сверхразрешима.
Теорема
2.3 . Пусть
конечная группа
,
где
- циклическая подгруппа нечетного
порядка, а подгруппа
содержит циклическую подгруппу индекса
.
Если в
нет нормальных секций, изоморфных
,
то
сверхразрешима.
Теорема
3.1 . Пусть
конечная группа
является произведением разрешимой
подгруппы
и циклической подгруппы
и пусть
.
Тогда
,
где
- нормальная в
подгруппа,
и
или
для подходящего
.
Теорема 3.2 . Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.
Теорема
3.3 . Если
- простая группа, где
- холловская собственная в
подгруппа, а
- абелева
-группа,
то
есть расширение группы, изоморфной
секции из
,
с помощью элементарной абелевой 2-группы.
В частности, если
циклическая, то
есть расширение абелевой группы с
помощью элементарной абелевой 2-группы.
1.
О произведении двух групп, одна из
которых содержит циклическую подгруппу
индекса
Доказывается,
что конечная группа
разрешима, если группы
и
содержат циклические подгруппы индексов
.
Приводится описание двух классов
неразрешимых факторизуемых групп. Библ.
18 назв.
В
работе Б. Хупперт установил разрешимость
конечной группы, которая является
произведением двух диэдральных подгрупп.
В. Скотт получил разрешимость группы
,
допустив в качестве множителей
и
еще так называемые дициклические группы.
Диэдральные и дициклические группы
содержат циклические подгруппы индекса
2, но не исчерпывают весь класс групп с
циклическими подгруппами индекса 2. В
настоящей заметке доказана
Теорема
1 . Если
и
- группы с циклическими подгруппами
индексов
,
то конечная группа
разрешима.
Если
подгруппа
нильпотентна, а в
есть циклическая подгруппа индекса 2,
то, как показали H. Ито и Б. Хупперт,
конечная группа
разрешима. Дополнением этого результата
являются теоремы 2 и 3.
Теорема
2 . Пусть
- группа Шмидта, а
- группа с циклической подгруппой индекса
.
Если
и
- конечная неразрешимая группа, то
изоморфна подгруппе
,
содержащей
,
для подходящего
.
обозначает
наибольшую разрешимую инвариантную в
подгруппу. Группой Шмидта называется
ненильпотентная группа, все собственные
подгруппы которой нильпотентны.
Теорема
3 . Пусть
- 2-разложимая группа, а группа
имеет циклическую инвариантную подгруппу
нечетного порядка и индекса 4. Если
и
- конечная неразрешимая группа, то
изоморфна подгруппе
,
содержащей
,
для подходящего
.
Частным
случаем теоремы 3, когда
- абелева, а
имеет порядок
,
- простое число, является теорема 8 Б.
Хупперта.
Доказательства теорем 1--3 и составляют содержание настоящей заметки.
Рассматриваются только конечные группы. Все используемые определения и обозначения стандартны, их можно найти в обзоре С. А. Чунихина и Л. А. Шеметкова.
Вначале докажем несколько лемм.
Лемма
1 . Пусть
в группе существует циклическая подгруппа
индекса
.
Тогда каждая подгруппа и фактор-группа
обладает, циклической подгруппой индекса
.
Доказательство
осуществляется непосредственной
проверкой.
Лемма
2 . Пусть
,
- собственная подгруппа группы
,
- подгруппа четного порядка с циклической
силовской 2-подгруппой. Если
,
то
содержит подгруппу индекса 2.
Доказательство.
Если
содержит инвариантную в
подгруппу
,
то фактор-группа
удовлетворяет условиям леммы. По индукции
обладает подгруппой индекса 2, поэтому
и в
есть подгруппа индекса 2.
Пусть
не содержит инвариантных в
подгрупп
.
Тогда представление группы
подстановками правых смежных классов
по
есть точное степени
,
где
.
Группу
можно отождествить с ее образом в
симметрической группе
степени
.
Так как в
силовская 2-подгруппа
циклическая, то
,
где
- инвариантное 2-дополнение. Пусть
,
.
,
и
.
Подстановка
разлагается в произведение циклов
т. е.
подстановка
имеет
циклов, каждый длины
.
Декремент подстановки равен
и есть нечетное число, поэтому
- нечетная подстановка. Теперь
,
а так как индекс
в
равен 2, то
- подгруппа индекса 2 в группе
.
Лемма 2 обобщает лемму А. В. Романовского.
Замечание.
Простая группа
является произведением двух подгрупп
и
,
причем
,
а
- группа порядка
с циклической силовской 2-подгруппой.
Этот пример показывает, что требование
отбросить нельзя.
Лемма
3 . Пусть
- дважды транзитивная группа подстановок
на множестве
и пусть
- стабилизатор некоторой точки
.
Тогда все инволюции из центра
содержатся в
.
Доказательство.
Пусть
.
Допустим, что существует
,
причем
.
Так как
транзитивна на
,
то
.
Ho
,
поэтому
и
- тождественная подстановка. Противоречие.
Следовательно,
фиксирует только
.
Теперь подстановка
содержит только один цикл длины 1, а так
как
- инволюция, то
нечетен. Но
,
поэтому существует силовская 2-подгруппа
из
с
и
.
Если
,
то
,
отсюда
и
,
т. е.
.
Теперь
и из теоремы Глаубермана следует, что
.
Лемма
4 . Пусть
центр группы
имеет четный порядок и силовская
2-подгруппа из
либо циклическая, либо инвариантна в
.
Если
- группа с циклической подгруппой индекса
,
то группа
непроста.
Доказательство.
Пусть
- циклическая подгруппа в
,
для которой
,
а
- максимальная в
подгруппа, содержащая
.
Тогда
.
Если
,
то
и по лемме С. А. Чунихина группа
непроста. Значит,
.
Допустим,
что порядок
нечетен. Если
,
то
.
Если
,
то ввиду леммы 2
и поэтому опять
.
Рассмотрим представление
подстановками смежных классов по
.
Так как
- максимальная в
подгруппа, то
- примитивная группа подстановок степени
.
Если
- простое число, то
либо разрешима, либо дважды транзитивна.
Если
- составное число, то, так как
- регулярная группа подстановок при
этом представлении,
- опять дважды транзитивна. Из леммы 3
следует, что
непроста.
Пусть
порядок
четен. Если
,
то
непроста по лемме 2. Значит,
и
.
Пусть
- силовская 2-подгруппа из
.
Если
инвариантна в
,
то
инвариантна и в
.
Следовательно,
- циклическая группа. Но
не является силовской в
,
поэтому
содержится как подгруппа индекса 2 в
некоторой группе
.
Теперь для инволюции
из центра
имеем
,
т. е.
не максимальная в
.
Противоречие.
Следствие.
Пусть
группа
,
где группа
содержит циклическую подгруппу индекса
.
Если
- 2-разложимая группа четного порядка,
то группа
непроста.
Лемма
5 . Пусть
группа
содержит циклическую инвариантную
подгруппу нечетного порядка и индекса
2. Если
- 2-разложимая группа, то группа
разрешима.
Доказательство.
Применим индукцию к порядку
.
Если
,
то ввиду леммы 1 фактор-группа
удовлетворяет условиям леммы. По
индукции,
разрешима, отсюда разрешима и
.
Пусть
.
Если
- циклическая, то
разрешима по теореме В. А. Ведерникова.
Поэтому
,
- циклическая подгруппа индекса 2,
.
Пусть
,
где
- силовская 2-подгруппа из
,
- ее дополнение. Если
,
то
разрешима. Теперь
и
можно считать силовской 2-подгруппой в
.
Так как
и
,
то
.
Пусть
и
.
Тогда
и
.
По лемме С. А. Чунихина подгруппа
максимальна в
и
.
Представление группы
подстановками смежных классов по
подгруппе
дважды транзитивное: если
- простое число, если
- составное. Из леммы 3 вытекает теперь,
что
.Противоречие.
Доказательство
теоремы 1 . Применим индукцию к порядку
группы G. Пусть
и
- циклические инвариантные подгруппы
в
и в
соответственно, чьи индексы равны 1 или
2, а
и
- те силовские 2-подгруппы из
и
,
для которых
и
есть силовская 2-подгруппа
.
Будем считать, что
.
Если
,
то
и
разрешима по теореме Ито-Хупперта.
Поэтому в дальнейшем полагаем, что
.
Ввиду леммы 1 каждая фактор-группа
удовлетворяет условиям теоремы, поэтому
Допустим,
что
.
Если
,
то
и
.
Так как
разрешима, то
.
Если
,
то
и
разрешима.
Пусть
теперь
.
Тогда и
.
Так как
не является силовской подгруппой в
,
то
содержится как подгруппа индекса 2 в
некоторой 2-группе
.
Обозначим через
силовскую 2-подгруппу из
.
Очевидно, что
инвариантна в
.
Предположим,
что
и пусть
- инволюция из
.
В
все подгруппы характеристические и
инвариантна в
,
поэтому
и
.
Пусть
- максимальная в
подгруппа, которая содержит
.
Тогда
разрешима по индукции. Если
,
то
содержится в
и
.
Значит,
.
Так как
- собственная в
подгруппа, то
,
и
.
Теперь
- дважды транзитивная группа степени
на множестве смежных классов по
:
если
- простое число, то применимо утверждение
из, стр. 609; если
составное. Из леммы 3 получаем, что
.
Противоречие.
Следовательно,
.
Если
,
то
и
.Так
как
не содержит подгрупп, инвариантных в
,
то представление группы
подстановками по подгруппе
- точное степени 4. Поэтому
- группа диэдра порядка 8,
и
.
В этом случае
неабелева. Напомним, что
и
.
Таким образом, для силовской 2-подгруппы
из
имеем:
- группа порядка 4 или неабелева группа
порядка 8 (если
).
Предположим,
что порядки групп
и
делятся одновременно на нечетное простое
число
и пусть
и
- силовские
-подгруппы
из
и
соответственно. Так как
инвариантна в
,
a
инвариантна в
,
то
и
- силовская
-подгруппа
в
.
Без ограничения общности можно считать,
что
.
По теореме VI.10.1 из группа
содержит неединичную подгруппу
,
инвариантную в
.
Но теперь
и
,
а так как
инвариантна в
,
a
разрешима, то
по лемме С. А. Чунихина. Противоречие.
Следовательно, порядки
и
не имеют общих нечетных делителей. В
частности, в группе
силовские подгруппы для нечетных простых
чисел циклические.
Пусть
- минимальная инвариантная в
подгруппа и
- силовская 2-подгруппа из
,
которая содержится в
.
Так как
,
то
неразрешима и
.
Подгруппа
даже простая потому, что силовские
подгруппы по нечетным простым числам
циклические.
Пусть
вначале
.
Тогда
и
неабелева. По теореме П. Фонга из группа
диэдральная или полудиэдральная. Но в
этих случаях
.
Непосредственно проверяется, что
диэдральная и полудиэдральная группа
порядка 16 не является произведением
двух групп порядка 4.
Предположим
теперь что
.
Тогда
- элементарная абелева подгруппа или
диэдральная. Если
абелева, то
или группа Янко
порядка 175560. Так как
неабелева, то
и индекс
в
четен. Группа
разрешима, поэтому
и
или
.
Ho
группа порядка 3, a
.
Противоречие. Если
- диэдральная группа порядка 8, то
- нечетное простое число или
.
Но группы
и
не допускают нужной факторизации,
поэтому
- собственная в
подгруппа. Теперь
или
.
Если
,
то
- диэдральная группа порядка 16, а так
как
,
то
.
Противоречие. Если
,
то
и в
существует подгруппа порядка
или
.
Пусть,
наконец,
.
Тогда
и
.
Так как фактор-группа
разрешима по индукции, то
и
.
Используя самоцентрализуемость силовской
-подгруппы
в
,
нетрудно показать, что
не допускает требуемой факторизации.
Теорема доказана.
Доказательство
теоремы 2 . Допустим, что теорема неверна
и группа
- контрпример минимального порядка.
Фактор-группа группы Шмидта есть либо
группа Шмидта, либо циклическая
-группа.
Поэтому в силу индукции и теоремы 1 мы
можем считать, что
.
Пусть
- произвольная минимальная инвариантная
в
подгруппа. Если
,
то
,
а так как
- нильпотентная группа, то
разрешима по теореме Ито--Хупперта или
по теореме Виландта--Кегеля. Отсюда
разрешима и
.
Противоречие. Значит,
,
в частности,
разрешима. Допустим, что
.
Тогда
и
удовлетворяет условиям леммы. Поэтому
изоморфна подгруппе группы
,
содержащей
для подходящего
.
Так как
есть прямое произведение изоморфных
простых неабелевых групп, то
и
.
Отсюда
.
Подгруппа
инвариантна в
так как
,
то
разрешима и
.
Теперь
изоморфна некоторой группе автоморфизмов
,
т. е.
из заключения теоремы. Противоречие.
Значит,
.
Таким
образом, если
- произвольная инвариантная в
подгруппа, то
.
Пусть
,
- инвариантная силовская
-подгруппа,
- силовская
-подгруппа.
Через
обозначим циклическую подгруппу в
,
для которой
.
Допустим, что
.
В этом случае
и если
- подгруппа индекса 2 в
,
то
- циклическая подгруппа индекса 2 в
.
По теореме 1 группа
разрешима. Противоречие. Значит,
.
Теперь, если в
есть инвариантная подгруппа
четного индекса, то
есть группа Шмидта с инвариантной
силовской 2-подгруппой, что противоречит
лемме 1.
Следовательно,
и в
нет инвариантных подгрупп четного
индекса.
Допустим,
что
,
тогда
- группа нечетного порядка. Силовская
2-подгруппа
из
является силовской подгруппой в
и по результату В. Д. Мазурова группа
диэдральная или полудиэдральная. Если
диэдральная, то по теореме 16.3 группа
изоморфна
или подгруппе группы
.
Так как
не допускает требуемой факторизации,
то
следует из заключения теоремы.
Противоречие. Значит,
- полудиэдральная группа. Если
- центральная инволюция из
,
то
,
поэтому
и
разрешима. По теореме Мазурова группа
изоморфна
или
.
Нетрудно проверить, что
и
не допускают требуемой факторизации.
Значит,
.
Пусть
- максимальная в
подгруппа, содержащая
.
Тогда, если
,
то
и
содержит подгруппу
,
инвариантную в
по лемме Чунихина. В этом случае,
и
.
Противоречие. Следовательно,
.
Допустим,
что
не является силовской 2-подгруппой в
.
Тогда
немаксимальна в
,
а так как
и
,
то по лемме 2 порядок
нечетен. Теперь
и
содержит подгруппу индекса 2. Противоречие.
Таким
образом,
- силовская 2-подгруппа группы
.
Теперь,
и
- максимальная в
подгруппа. Представление подстановками
смежных классов по
дважды транзитивное и по лемме 3 порядок
центра
нечетен. Отсюда следует, что
- абелева группа.
Пусть
- минимальная инвариантная в
подгруппа. Группа
не является
-группой,
поэтому некоторая силовская в
подгруппа циклическая и
- простая группа. Теперь можно применить
результат Уолтера. Так как и группе Янко
и в группах типа
и нормализатор силовской 2-подгруппы
имеет порядок
,
a
,
то
изоморфна
,
где
или
.
Фактор-группа
разрешима, поэтому
и
изоморфна некоторой группе автоморфизмов
,
т. е.
из заключения теоремы. Противоречие.
Теорема доказана.
Доказательство
теоремы 3 . Пусть группа
- контрпример минимального порядка,
- циклическая подгруппа в
и
,
где
.
Пусть
,
где
- силовская 2-подгруппа
,
а
- ее 2-дополнение в
. Если
- силовская 2-подгруппа
,
то
и
разрешима по теореме Ведерникова.
Противоречие. Теперь
можно считать силовской 2-подгруппой
группы
.
Предположим,
что
.
Фактор-группа
и
- 2-разложимая группа. Очевидно, что
циклическая подгруппа
нечетного порядка инвариантна в
и ее индекс равен 1, 2 или 4. В первых двух
случаях группа
разрешима по лемме 5, поэтому разрешима
и
.
Противоречие. Если индекс равен 4, то по
индукции и учитывая, что
,
получаем: группа
изоморфна подгруппе
,
содержащей
для некоторых
.
Противоречие. Следовательно, в
нет разрешимых инвариантных подгрупп,
отличных от единицы.
Теперь
покажем, что силовская 2-подгруппа
является диэдральной группой порядка
4 или 8. Если
,
то
,
и так как
неразрешима, то
диэдральная. Пусть
не содержится в
.
Предположим,
что
и пусть
,
где
- инволюция из
.
Теперь
и
.
Пусть вначале
и
максимальна в
.
Тогда
- дважды транзитивная группа на множестве
смежных классов по подгруппе
:
если
- простое число; если
- непростое число. Из леммы 3 получаем,
что
.
Противоречие. Пусть
- максимальная в
подгруппа, которая содержит
.
Тогда
и
.
Кроме того,
.
Пусть
- минимальная инвариантная в
подгруппа, которая содержится в
,
существует по лемме Чунихина, а так как
,
то
,
а следовательно, и
неразрешимы. По индукции
изоморфна подгруппе
,
содержащей
,
для некоторых
.
Все инвариантные в
подгруппы неразрешимы, поэтому
,
а так как
- минимальная инвариантная в
подгруппа, то
.
B силу леммы 5
,
поэтому
разрешима. Но тогда
и
изоморфна группе автоморфизмов группы
,
т. е.
из заключения теоремы. Противоречие.
Значит,
,
поэтому
не содержит инвариантных в
подгрупп, отличных от 1. Следовательно,
представление группы
подстановками смежных классов по
подгруппе
точное степени 4. Отсюда группа
есть группа диэдра порядка 8.
Таким
образом, силовская 2-подгруппа
в группе
есть диэдральная группа порядка 4 или
8. По результату Горенштейна - Уолтера
группа
изоморфна
,
или подгруппе группы
.
Так как
,
не допускает требуемой факторизации,
то группа
- из заключения теоремы. Противоречие.
Теорема доказана.
В
заключение отметим, что, используя
технику доказательств теорем 1--3 и
следствие леммы 4, можно получить описание
неразрешимых групп
при условии, что
- 2-разложимая группа, а в группе
существует циклическая подгруппа
индекса
.
2.
О произведении двух групп с циклическими
подгруппами индекса 2
В
1953 г. Б. Хупперт установил разрешимость
конечной группы, которая является
произведением двух диэдральных подгрупп.
Развивая этот результат, В. Скотт получил
разрешимость конечной группы
,
допустив в качестве множителей еще так
называемые дициклические группы. Эти
результаты достаточно подробно изложены
в монографии. Диэдральные и дицикдические
группы содержат циклические подгруппы
индекса 2, но далеко не исчерпывают весь
класс групп с циклическими подгруппами
индекса 2.
В
1974 г. автор установил разрешимость
конечной группы
при условии, что факторы
и
содержат циклические подгруппы индексов
2, тем самым решив задачу, рассматриваемую
Хуппертом и Скоттом. В настоящей заметке
показывается, что 2-длина таких групп
не превышает 2, а
-длина
равна 1 для любого нечетного
.
Эти оценки точные, на что указывает
пример симметрической группы
.
Получены также два признака сверхразрешимости
конечной факторизуемой группы.
Все
встречающиеся определения и обозначения
общеприняты. В частности,
- множество простых делителей порядка
,
a
- циклическая группа порядка
.
Лемма
1 . Метациклическая
группа порядка
для нечетного простого
неразложима в полупрямое произведение
нормальной элементарной абелевой
подгруппы порядка
и подгруппы порядка
.
Доказательство.
Допустим противное и пусть
- метациклическая группа порядка
,
разложимая в полупрямое произведение
нормальной элементарной абелевой
подгруппы
порядка
и подгруппы
порядка
,
- нечетное простое число. Ясно, что
неабелева. Если
содержит нормальную подгруппу
порядка
с циклической фактор-группой
,
то
содержится в центре
и
абелева по лемме 1.3.4, противоречие.
Следовательно,
содержит циклическую подгруппу индекса
и подгруппа
,
порожденная элементами порядка
,
является элементарной абелевой подгруппой
порядка
по теоремам 5.4.3 и 5.4.4. Теперь
,
и подгруппы
порядка
не существует. Значит, допущение неверно
и лемма справедлива.
При
утверждение леммы неверно, контрпримером
служит диэдральная группа порядка 8.
Лемма 2 . Разрешимая конечная группа с циклической подгруппой Фиттинга сверхразрешима.
Доказательство.
Пусть
- конечная разрешимая группа с циклической
подгруппой Фиттинга
.
Так как
,
то
как группа автоморфизмов циклической
группы будет абелевой по теореме 1.3.10,
поэтому
сверхразрешима.
Лемма 3 . Если в сверхразрешимой группе нет неединичных нормальных 2-подгрупп, то силовская 2-подгруппа абелева.
Доказательство. Коммутант сверхразрешимой группы нильпотентен (теорема VI.9.1), поэтому силовская 2-подгруппа из коммутанта нормальна в группе. Если коммутант имеет нечетный порядок, то силовская 2-подгруппа в группе абелева.
Напомним,
что
- наибольшая нормальная в
-подгруппа,
- центр группы
,
а
- наименьшая нормальная в
подгруппа, содержащая
.
Через
обозначается
-длина
группы
.
Лемма
4 . Пусть
и
- подгруппы конечной группы
,
обладающие, следующими свойствами:
1)
для всех
;
2)
,
где
.
Тогда
.
Доказательство. См. лемму 1.
Теорема
1 . Пусть
конечная группа
,
где
и
- группы с циклическими подгруппами
индексов
.
Тогда
разрешима,
и
для любого простого нечетного
.
Доказательство.
По теореме из группа
разрешима. Для вычисления
-длины
воспользуемся индукцией по порядку
группы
.
Вначале рассмотрим случай нечетного
.
По лемме VI.6.4 подгруппа Фраттини единична
и в группе
единственная минимальная нормальная
подгруппа. По теореме III.4.5 подгруппа
Фиттинга
- минимальная нормальная подгруппа. Так
как
,
то
-
-группа.
Если
,
то
- абелева группа порядка, делящего
,
а так как
,
то
.
Силовская
-подгруппа
в
метациклическая по теореме III.11.5, поэтому
- элементарная абелева порядка
и
изоморфна подгруппе из
,
в которой силовская
-подгруппа
имеет порядок
.
Так как
для некоторой максимальной в
подгруппы
,
то из леммы 1 получаем что
- силовская в
подгруппа и
.
Рассмотрим
теперь 2-длину группы
.
Ясно, что
и
- единственная минимальная нормальная
в
подгруппа, которая является элементарной
абелевой 2-подгруппой. Пусть
и
-
-холловские
подгруппы из
и
соответственно. По условию теоремы
- циклическая нормальная в
подгруппа,
- циклическая нормальная в
подгруппа. Теперь
-
-холловская
в
подгруппа по теореме VI.4.6, и можно считать,
что
.
Для любого элемента
имеем:
,
a по лемме 4 либо
,
либо
.
Но если
,
то
и
централизует
,
что невозможно. Значит,
,
а так как в
только одна минимальная нормальная
подгруппа, то
и
- 2-группа. Фактор-группа
не содержит нормальных неединичных
2-подгрупп, поэтому подгруппа Фиттинга
имеет нечетный порядок. Но
-холловская
в
подгруппа
циклическая, а по лемме 2 фактор-группа
сверхразрешима и силовская 2-подгруппа
в
абелева по лемме 3, Теперь
по теореме VI.6.6 и
.
Теорема доказана.
Лемма
5 . Конечная
группа с подгруппой Фиттинга индекса
сверхразрешима.
Доказательство.
Проведем индукцией по порядку группы.
Пусть
- конечная группа, в которой подгруппа
Фиттинга
имеет индекс
.
По индукции можно считать, что подгруппа
Фраттини единична и в группе
только одна минимальная нормальная
подгруппа. Поэтому F - минимальная
нормальная в
подгруппа. Пусть
- инволюция из
.
Если
,
то
- нормальная в
подгруппа. Если
,
то
и
- неединичная нормальная в
подгруппа. Итак, в группе
имеется нормальная подгруппа
простого порядка. По индукции
сверхразрешима, значит, сверхразрешима
и группа
.
Лемма
6 . Конечная
группа, являющаяся произведением двух
подгрупп порядков, делящих
,
сверхразрешима.
Доказательство.
Воспользуемся индукцией по порядку
группы. Пусть конечная группа
,
где подгруппы
и
имеют порядки, делящие
,
- простое число. Все фактор-группы группы
удовлетворяют условиям леммы, поэтому
по индукции нетривиальные фактор-группы
группы
сверхразрешимы. Следовательно, подгруппа
Фраттини группы
единична, а подгруппа Фиттинга
- минимальная нормальная в
подгруппа. По лемме 2 подгруппа
нециклическая.
Если
- 2-группа, то
и
изоморфна подгруппе группы
,
поэтому
- группа порядка 3, а группа
имеет порядок 12 и содержит подгруппу
порядка 6. Следовательно,
сверхразрешима.
Пусть
теперь
-
-группа.
Так как
сверхразрешима по индукции, то
2-нильпотентна. Но
,
так как
,
значит,
- 2-группа, которая по лемме 5 имеет порядок
4. Группа
неприводимо действует на подгруппе
,
поэтому
циклическая по теореме Машке. С другой
стороны,
и силовская 2-подгруппа
из
есть произведение двух подгрупп
и
порядков 2. Противоречие. Лемма доказана.
Теорема
2. Если
группы
и
содержат циклические подгруппы нечетных
порядков и индексов
,
то конечная группа
сверхразрешима.
Доказательство.
Воспользуемся индукцией по порядку
группы. По теореме 1 группа
разрешима. Поскольку условия теоремы
переносятся на все фактор-группы, то по
индукции все нетривиальные фактор-группы
группы
сверхразрешимы. Поэтому подгруппа
Фраттини группы
единична, а подгруппа Фиттинга
- единственная минимальная нормальная
в
подгруппа. Ясно, что
имеет непростой порядок. Если
- 2-группа, то
порядка 4 и
изоморфна подгруппе группы
.
Но теперь порядок
делит 12, и
сверхразрешима по лемме 6.
Следовательно,
-
-группа
порядка
.
Силовская
-подгруппа
в
метациклическая по теореме III.11.5, поэтому
- элементарная абелева порядка
и
изоморфна подгруппе группы
,
в которой силовская
-подгруппа
имеет порядок
.
Так как
для некоторой максимальной в
подгруппы
,
то из леммы 1 получаем, что
- силовская в
подгруппа и можно считать, что
,
где
.
Через
- обозначим разность
.
Так как
-холловские
подгруппы
из
и
из
нормальны в
и
соответственно, то
-
-холловская
в
подгруппа. Если
,
то
сверхразрешима по лемме 6. Пусть
.
Для любого элемента
имеем:
и по лемме 4 либо
,
либо
.
Если
,
то из минимальности
получаем, что
и
централизует
,
что невозможно. Значит,
и
.
Но в
единственная минимальная нормальная
подгруппа, поэтому
и
делит
.
Но если
,
то
нормальна в
,
противоречие. Значит,
.
Так
как
сверхразрешима и
-
-холловская
подгруппа в
,
то
нормальна в
и по лемме Фраттини
содержит силовскую 2-подгруппу
из
.
Ясно, что
.
Подгруппа
ненормальна в
,
значит,
,
но теперь
нормальна в
и нормальна в
,
противоречие. Теорема доказана.
Теорема
3 . Пусть
конечная группа
,
где
- циклическая подгруппа нечетного
порядка, а подгруппа
содержит циклическую подгруппу индекса
.
Если в
нет нормальных секций, изоморфных
,
то
сверхразрешима.
Доказательство.
Воспользуемся индукцией по порядку
группы. По теореме 1 группа
разрешима, а так как условия теоремы
переносятся на все фактор-группы, то
подгруппа Фиттинга
- единственная минимальная нормальная
в
подгруппа. Если
- 2-группа, то
содержится в
и поэтому порядок
равен 4, a
изоморфна подгруппе группы
.
Если силовская 3-подгруппа
из
неединична, то
действует на
неприводимо и
- нормальная в
подгруппа, изоморфная
,
противоречие. Если
,
то
- 2-группа и
сверхразрешима.
Следовательно,
-
-группа
порядка
.
Так как силовская
-подгруппа
в
метациклическая по теореме III.11.5, то
- элементарная абелева порядка
и
изоморфна подгруппе из
,
в которой силовская
-подгруппа
имеет порядок
.
Так как
для некоторой максимальной в
подгруппы
,
то из леммы 1 получаем, что
- силовская в
подгруппа и можно считать, что
,
где
,
a
.
Через
обозначим
.
Как и в теореме 2, легко показать, что
-холловская
подгруппа
из
неединична, а
.
Так как
-
-холловская
в
подгруппа и
сверхразрешима, то
нормальна в
и
содержит силовскую 2-подгруппу
из
,
которая совпадает с силовской 2-подгруппой
в
.
Подгруппа
ненормальна в
,
поэтому
.
Но теперь
нормальна в
,
а значит, и в
,
противоречие. Теорема доказана.
3.
Произведение разрешимой и циклической
групп
В настоящей заметке доказывается следующая
Теорема
1. Пусть
конечная группа
является произведением разрешимой
подгруппы
и циклической подгруппы
и пусть
.
Тогда
,
где
- нормальная в
подгруппа,
и
или
для подходящего
.
означает
произведение всех разрешимых нормальных
в
подгрупп.
Следствие.
Если
простая группа
является произведением разрешимой и
циклической подгрупп, то
.
Несмотря
на то, что среди
при нечетном
нет групп факторизуемых разрешимой
подгруппой и циклической, группы
допускают указанную факторизацию для
каждого
.
Из теоремы 1 вытекает
Теорема 2. Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.
Работа
состоит из двух параграфов. В первом
параграфе приводятся необходимые
вспомогательные результаты. Кроме того,
доказывается теорема 3, которая является
обобщением теоремы Виландта о разрешимости
внешней группы автоморфизмов простой
группы, содержащей подгруппу простого
индекса. В
3.2
доказываются теоремы 1 и 2.
Все
обозначения и определения стандартны.
Запись
означает, что конечная группа
является произведением своих подгрупп
и
.
3.1
Вспомогательные результаты
Пусть
- подгруппа группы
.
Тогда
означает наибольшую нормальную в
подгруппу, которая содержится в
,
a
- наименьшую нормальную в
подгруппу, которая содержит
.
Лемма
1. Если
и
содержит подгруппу
,
нормальную в
,
то
.
Лемма
2. Пусть
и
- нормальная в
подгруппа. Если
,
то
.
Доказательство.
Поскольку
,
то
.
Так как
,
то
Лемма
3 . Если
и
абелева, то
.
Доказательство.
Пусть
.
Ясно, что
и
.
Если
,
то
и
.
Таким образом,
и
.
Лемма
4 . Пусть
и
не делит
.
Тогда
не сопряжен ни с одним элементом из
.
Доказательство.
Если
,
то
и
делит
.
Но
по лемме VI.4.5 из, поэтому
.
Противоречие.
Лемма
5 . Пусть
- минимальная нормальная подгруппа
группы
и
.
Если
разрешима, то
и
изоморфна подгруппе из
.
Доказательство.
.
Так как
разрешима, то
и
.
По лемме 1.4.5 из группа
есть группа автоморфизмов
.
Лемма
6 . Пусть
,
где
- собственная подгруппа
,
а
циклическая. Если
,
то справедливо одно из следующих
утверждений:
1)
и
- нормализатор силовской 2-подгруппы, а
;
2)
,
а
;
3)
,
а
.
Доказательство. См. теорему 0.8 из.
Лемма
7 . Группа
при любом
является произведением разрешимой
подгруппы и циклической.
Доказательство.
Если
,
то утверждение следует из леммы 6. Пусть
,
и
- силовская
-подгруппа
в
.
Известно, что
циклическая и в
есть циклическая подгруппа
порядка
.
Так как
и
,
то
.
Лемма
8 . Если
,
то
является произведением разрешимой и
циклической подгрупп.
Доказательство.
Известно, что
,
где
- циклическая группа порядка, делящего
,
и
нормализует подгруппу
,
где
- силовская 2-подгруппа в
.
Так как
,
где
- циклическая группа порядка
,
то
и
разрешима.
Лемма
9 . Группа
является произведением разрешимой
подгруппы и циклической. Группа
не допускает указанной факторизации.
Доказательство.
Группа
имеет порядок
и в ней содержится подгруппа
индекса 2. Так как
дважды транзитивна на множестве из 13
символов, то стабилизатор точки имеет
порядок
и является разрешимой группой. Поэтому
является произведением разрешимой
подгруппы порядка
и циклической подгруппы порядка 13.
Покажем,
что
не содержит подгруппы индекса 13. Допустим
противное и пусть
- подгруппа порядка
.
Так как
дважды транзитивна на смежных классах
по
,
то центр
имеет нечетный порядок по лемме 2.2, а по
лемме Берноайда
,
где
.
Пусть
- подгруппа Фиттинга группы
,
где
.
Известно, что нормализатор силовской
3-подгруппы в
имеет порядок
,
поэтому
.
Так как
разрешима, то
и
изоморфна подгруппе из
.
Предположим,
что
.
Тогда
делит порядок
,
а значит и
.
Но это невозможно, так как
.
Противоречие.
Следовательно,
.
Далее
,
так как
- подгруппа нечетного порядка, поэтому
.
Ясно, что
,
a
и
.
Силовская 2-подгруппа
из
является силовской в
,
значит, она полудиэдральная порядка
16, все инволюции сопряжены и централизатор
каждой инволюции изоморфен
порядка
.
Поэтому
.
как подгруппа из
полудиэдральна при
,
либо циклическая, либо кватернионная,
либо диэдральная порядка 4 или 8. В любом
случае порядок
не делится на 9. Таким образом,
.
Противоречие. Итак,
не содержит подгруппы индекса 13.
Пусть
,
где
- разрешимая подгруппа, а
- циклическая. В
силовокие 13-подгруппы самоцентрализуемы,
поэтому 13 делит порядок
.
Так как в
нет
- холловской подгруппы, то 3 делит порядок
.
Но в
силовская 3-подгруппа имеет экспоненту
3, поэтому в
есть подгруппа
порядка
.
Теперь силовская 13-подгруппа из
не самоцентрализуема. Противоречие.
Лемма 9 доказана.
Теорема
3 . Если
- простая группа, где
- холловская собственная в
подгруппа, а
- абелева
-группа,
то
есть расширение группы, изоморфной
секции из
,
с помощью элементарной абелевой 2-группы.
В частности, если
циклическая, то
есть расширение абелевой группы с
помощью элементарной абелевой 2-группы.
Доказательство.
Из простоты
и леммы Чунихина вытекает, что
и
максишльна в
.
Представление группы
перестановками на смежных классах
подгруппы
будет точным и дважды транзитивным,
следовательно, есть подгруппа перестановок
симметрической группы S степени, равной
порядку
.
Так как
- регулярная и транзитивная группа и
,
то
также транзитивна. Но
по теореме 1.6.5, поэтому
самоцентрализуема в
.
Группа
автоморфизмов
,
индуцированная элементами из
,
называется группой подстановочных
автоморфизмов. Очевидно
,
а по теореме 3 подгруппа
нормальна в
и
- элементарная абелева 2-группа.
По
лемме Фраттини
,
поэтому обозначив
будем иметь
.
Так как
,
то
изоморфна секции из
.
В частности, если
циклическая, то
абелева и
есть расширение абелевой группы с
помощью элементарной абелевой 2-группы.
3.2
Доказательства теорем 1 и 2
Доказательство
теоремы 1 . Предположим, что теорема
неверна и пусть
- контрпример минимального порядка. Так
как
,
то
и
по лемме 3.
Допустим,
что
не максимальна в
и пусть
- прямое произведение минимальных
нормальных в
подгрупп и
- наибольшее. Очевидно,
содержит все минимальные нормальные в
подгруппы. Так как
,
то
и
.
Поэтому
изоморфна подгруппе из
.
Допустим,
что
для некоторого
.
Тогда
и
разрешима. Значит,
.
Пусть
- подгруппа в
,
собственно содержащая
.
Так как
и
- нормальная в
неединичкая подгруппа, то
.
Теперь минимальная нормальная в
подгруппа из
совпадает с
и
,
противоречие. Таким образом,
для любого
.
По индукции
изоморфна подгруппе
,
где
- есть прямое произведение, построенное
из групп
.
Очевидно, что
,
поэтому
также есть прямое произведение,
построенное из групп
.
Следовательно,
обладает этим же свойством и
- подгруппа из
.
Противоречие.
Итак,
максимальна в
.
Поэтому представление
перестановками на множестве смежных
классов подгруппы
будет точным и примитивным. Так как
,
то
в этом представлении регулярна и
дважды транзитивна. Пусть
минимальная нормальная в
подгруппа. Применяя теорему 11.3 и результат
Берноайда, заключаем, что
проста и примитивна, т.е.
максимальна в
.
Так как
,
то
разрешима и
по лемме 5. Таким образом,
изоморфна подгруппе из
.
Предположим,
что
.
Тогда
неразрешима,
и
.
Так как
,
то по индукции
изоморфна подгруппе из
,
а
или
и
из заключения теоремы. Следовательно,
и
по лемме 2.
Пусть
порядок
четен. Тогда
содержит подгруппу индекса 2 по лемме
4.1. По теореме Хольта подгруппа
2-транзитивна и изоморфна
- степень нечетного простого числа или
группа типа Ри в их обычных 2-транзитивных
представлениях. Если
,
то
из заключения теоремы. Внешняя группа
автоморфизмов группы типа Ри имеет
нечетный порядок, поэтому
не содержится в группе автоморфизмов
группы типа Ри.
Пусть
теперь
изоморфна
- простое нечетное число. Тогда
,
где
и
,
где
- силовская
-подгруппа
из
и
.
Из леммы 2 получаем
.
Так как в
все инволюции сопряжены и
имеет четный порядок, то по лемме 4
подгруппа
имеет нечетный порядок, в частности
не делит
.
Предположим,
что существует простое число
,
делящее
и
.
Если
,
то по лемме 2.5 порядок
делит
,
а так как
,
то
делит
.
Если
,
то
делит
и элементарные вычисления и применение
леммы 2.5 показывают, что
делит
.
Так как
,
то в любом случае
.
Известно, что
,
поэтому
и
.
Противоречие с леммой 2.5.
Следовательно,
не может быть изоморфна
.
Случай, когда порядок
четен, рассмотрен полностью.
Пусть
порядок подгруппы
нечетен. Тогда
содержит некоторую силовскую 2-подгруппу
из
.
По теореме О'Нэна [??] подгруппа
изоморфна
или
и
нечетное число.
Пусть
изоморфна
.Тогда
и
делит
.
Поэтому
содержит силовскую 2-подгруппу из
и, используя информацию о подгруппах в
,
получаем, что
делит
,
a
делит
или
.
Теперь
делится на
,
которое делится на
или на
.
Противоречие.
Пусть
изоморфна
.
Так как
имеет нечетный порядок, то силовская
2-подгруппа
из
содержится в
.
Если
,
то
и по лемме 3.3 имеем
.
Если
,
то
нормальна в
,
так как разрешимая группа с силовской
2-подгруппой
имеет 2-длину 1. Итак, в любом случае
.
Но
дважды транзитивна на смежных классах
по
,
поэтому
и
нормальна в
.
Поскольку
и
.
Кроме того,
,
поэтому
- нечетное число, делящее
.
Так как
- циклическая группа нечетного порядка
в
,
то либо
делит
,
либо
делит
.
Поэтому
делится на
,
либо на
.
Очевидно,
при
.
Случай
исключается непосредственно. Следовательно,
неизоморфна
.
Предположим,
что
- нечетное и
.
Так как
- стабилизатор точки и
разрешима индекса
,
то
,
либо
.
Группа
не допускает требуемой факторизации
по лемме 9. Поэтому либо
,
либо
.
Теорема 1 доказана.
Доказательство
теоремы 2 . Пусть
- 2-нильпотентная группа и
- ее силовская 2-подгруппа,
- циклическая. Очевидно, мы можем считать,
что
.
Пусть
- максимальная в
подгруппа, содержащая
.
Так как
,
то
.
Предположим, что
.
Тогда
и группа
непроста. Если порядок
нечетен, то по индукции
разрешима и
,
противоречие. Таким образом,
,
кроме того,
максимальна в
.
Теперь
- дважды транзитивна на множестве смежных
классов по
.
Если порядок
четен, то группа
непроста по лемме 4.1. Пусть порядок
нечетен. Тогда
- силовская в
подгруппа. По теореме Виландта-Кегеля
,
а по лемме 3.3
и
2-разложимая подгруппа. По теореме 1V.2.6
подгруппа
неабелева. Так как из теоремы 1 в случае,
когда порядок
нечетен следует, что силовская 2-подгруппа
в
абелева, то имеем противоречие. Теорема
доказана.
Симметрическая группа пяти символов факторизуется 2-нильпотентной подгруппой порядка 20 и циклической подгруппой порядка 6. Поэтому условие нечетности порядка циклического фактора существенно.
Заключение
В
данной курсовой работе были приведены
некоторые результаты, полученные
Монаховым В. С. (Гомельская лаборатория
института математики), проливающие свет
на такие важные вопросы в теории конечных
групп, как разрешимость и сверхразрешимость
конечных групп, являющихся произведением
двух групп с различными свойствами, а
именно содержащих циклическую подгруппу
индекса
,
содержащих циклические подгруппы
индекса 2, разрешимые и циклические
группы.
Эти полученные данные изложены в теоремах 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3, 3.1, 3.2 и 3.3. Так же представляют интерес данные изложенные в леммах, которые были использованы при доказательстве выше упомянутых теорем. В особенности следует выделить лемму 1.2, которая обобщает лемму А. В. Романоского и теорему 1.3, являющеюся обобщением теоремы Б. Хупперта.
Список использванных источников
1.
Монахов В.С. О произведении двух групп,
одна из которых содержит циклическую
подгруппу индекса
.//
Математические заметки.-1974.-Т.16, №2-с.
285-295
2. Монахов В.С. Произведение разрешимой и циклической групп// Сб. VI всес. симпозиум по теории групп.-Киев: Наукова думка, 1980-с.189-195
3. Монахов В.С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2// Весцi АН Беларусi. сер. фiз.-мат. навук.-1996, №3-с.21-24