Определенный интеграл (работа 2)
Определенный интеграл
Содержание
Лекция 1. Определенный интеграл
1. Понятие определенного интеграла
2. Геометрический смысл определенного интеграла
3. Основные свойства определенного интеграла
4. Формула Ньютона–Лейбница
5. Замена переменной в определенном интеграле
6. Интегрирование по частям
Лекция 2. Применение определенных интегралов. несобственные интегралы
1. Площадь криволинейной трапеции
2. Объем тела вращения
3. Длина дуги плоской кривой
4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
5. Несобственные интегралы от неограниченных функций
Литература
Лекция 1. Определенный интеграл
Понятие определенного интеграла
Пусть функция
определена на отрезке
,
.
Выполним следующие операции:
разобьем отрезок
точками
на n
частичных отрезков
;
в каждом из частичных
отрезков
,
выберем произвольную точку
и вычислим значение функции в этой
точке:
;
найдем произведения
,
где
– длина частичного отрезка
,
;
составим сумму
,
(1)
которая называется
интегральной
суммой функции y
= f(x)
на отрезке
[а,
b].
С геометрической точки зрения интегральная
сумма
представляет собой сумму площадей
прямоугольников, основаниями которых
являются частичные отрезки
,
а высоты равны
соответственно (рис. 1). Обозначим
через
длину наибольшего частичного отрезка
;
найдем предел
интегральной суммы, когда
.
Рис. 1
Определение.
Если существует конечный предел
интегральной суммы (1) и он не зависит
ни от способа разбиения отрезка
на частичные отрезки, ни от выбора точек
в них, то этот предел называется
определенным интегралом от функции
на отрезке
и обозначается
.
Таким образом,
.
В этом случае функция
называется интегрируемой на
.
Числа а и b
называются соответственно нижним и
верхним пределами интегрирования,
– подынтегральной функцией,
– подынтегральным выражением,
– переменной интегрирования; отрезок
называется промежутком интегрирования.
Теорема 1. Если
функция
непрерывна на отрезке
,
то она интегрируема на этом отрезке.
Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке
задана непрерывная неотрицательная
функция
.
Криволинейной
трапецией называется фигура, ограниченная
сверху графиком функции y
= f(x),
снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми
x
= a
и x
= b
(рис. 2).
Рис. 2
Определенный интеграл
от неотрицательной функции
с геометрической точки зрения численно
равен площади криволинейной трапеции,
ограниченной сверху графиком функции
,
слева и справа – отрезками прямых
и
,
снизу – отрезком
оси Ох.
3. Основные свойства определенного интеграла
Значение определенного
интеграла не зависит от обозначения
переменной интегрирования:
.
2.
Определенный интеграл с одинаковыми
пределами интегрирования равен нулю:
Если
,
то, по определению, полагаем
Постоянный множитель
можно выносить за знак определенного
интеграла:
Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
.
Если функция
интегрируема на
и
,
то
.
(теорема
о среднем).
Если функция
непрерывна на отрезке
,
то на этом отрезке существует точка
,
такая, что
.
4. Формула Ньютона–Лейбница
Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.
Теорема 2. Если
функция
непрерывна на отрезке
и
– какая-либо ее первообразная на этом
отрезке, то справедлива следующая
формула:
,
(2)
которая называется
формулой
Ньютона–Лейбница.
Разность
принято записывать следующим образом:
,
где символ
называется знаком двойной подстановки.
Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:
.
Нахождение определенных
интегралов с помощью формулы
Ньютона-Лейбница осуществляется в два
этапа: на первом этапе находят некоторую
первообразную
для подынтегральной функции
;
на втором – находится разность
значений этой первообразной на концах
отрезка
.
Пример 1.
Вычислить интеграл
.
Решение. Для
подынтегральной функции
произвольная первообразная имеет вид
.
Так как в формуле Ньютона-Лейбни-ца
можно использовать любую первообразную,
то для вычисления ин-
теграла возьмем
первообразную, имеющую наиболее простой
вид:
.
Тогда
.
Пример 2.
Вычислить интеграл
.
Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
.
5. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 3.
Пусть функция
непрерывна на отрезке
.
Тогда, если: 1) функция
и ее производная
непрерывны при
;
2) множеством значений функции
при
является отрезок
;
3)
,
,
то справедлива формула
,
(3)
которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Заметим, что как и в
случае неопределенного интеграла,
использование замены переменной
позволяет упростить исходный интеграл,
приблизив его к табличному. При этом в
отличие от неопределенного интеграла
в данном случае нет необходимости
возвращаться к исходной переменной
интегрирования – достаточно лишь найти
новые пределы интегрирования
и
(для этого надо решить относительно
переменной t
уравнения
и
)).
На практике часто
вместо подстановки
используют подстановку
.
В этом случае нахождение новых пределов
интегрирования по переменной t
упрощается:
,
.
Пример 3.
Вычислить интеграл
Решение. Введем новую
переменную по формуле
.
Определим
и
.
Возведя в квадрат обе части равенства
,
получим
,
откуда
.
Находим новые пределы интегрирования.
Для этого в формулу
подставим старые пределы
и
.
Получим:
,
откуда
и, следовательно,
;
,
откуда
и, следовательно,
.
Таким образом:
.
Пример 4.
Вычислить интеграл
.
Решение. Воспользуемся
универсальной тригонометрической
подстановкой. Положим
,
откуда
,
.
Найдем новые пределы интегрирования:
если
,
то
;
если
,
то
.
Значит,
.
Следовательно:
.
Пример 5.
Вычислить интеграл
.
Решение. Положим
,
тогда
,
откуда
.
Находим новые пределы интегрирования:
;
.
Имеем:
.
Следовательно:
.
Интегрирование по частям
Теорема 4.
Пусть функции
и
имеют непрерывные производные на отрезке
.
Тогда имеет место следующая формула
интегрирования по частям:
.
(4)
Доказательство
Так как
,
то функция
является первообразной для функции
.
Тогда по формуле Ньютона–Лейбница
получаем
,
откуда
.
Пример 6.
Вычислить
.
Решение. Положим
,
отсюда
.
По формуле (4) находим
.
Пример 7.
Вычислить
.
Решение. Пусть
,
тогда
.
Применяя формулу интегрирования по
частям, получаем
.
Пример 8.
Вычислить
.
Решение. Полагая
,
определяем
.
Следовательно:
[к
полученному интегра-лу снова применяем
формулу интегрирования по частям:
;
следовательно:
]
=
=
.
Лекция 2. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы
Площадь криволинейной трапеции
Пусть функция
неотрицательна и непрерывна на отрезке
.
Тогда, согласно геометрическому смыслу
определенного интеграла, площадь
криволинейной трапеции, ограниченной
сверху графиком этой функции, снизу –
осью
,
слева и справа – прямыми
и
(см. рис. 2) вычисляется по формуле
.
(5)
Пример 9.
Найти площадь фигуры, ограниченной
линией
и осью
.
Решение. Графиком
функции
является парабола, ветви которой
направлены вниз. Построим ее (рис. 3).
Чтобы определить пределы интегрирования,
найдем точки пересечения линии (параболы)
с осью
(прямой
).
Для этого решаем систему уравнений
Получаем:
,
откуда
,
;
следовательно,
,
.
Рис. 3
Площадь фигуры находим по формуле (5):
(кв. ед.).
Если функция
неположительна и непрерывна на отрезке
,
то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной снизу графиком данной
функции, сверху – осью
,
слева и справа – прямыми
и
,
вычисляется по формуле
.
(6)
В случае если функция
непрерывна на отрезке
и меняет знак в конечном числе точек,
то площадь заштрихованной фигуры
(рис. 4) равна алгебраической сумме
соответствующих определенных интегралов:
.
(7)
Рис. 4
Пример 10.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
осью
и графиком функции
при
.
Рис. 5
Решение. Сделаем
чертеж (рис. 5). Искомая площадь
представляет собой сумму площадей
и
.
Найдем каждую из этих площадей. Вначале
определим пределы интегрирования, решив
систему
Получим
,
.
Следовательно:
;
.
Таким образом, площадь
заштрихованной фигуры равна
(кв. ед.).
Рис. 6
Пусть, наконец,
криволинейная трапеция ограничена
сверху и снизу графиками непрерывных
на отрезке
функций
и
,
а слева и справа – прямыми
и
(рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется
по формуле
.
(8)
Пример 11.
Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями
и
.
Решение. Данная
фигура изображена на рис. 7. Площадь
ее вычислим по формуле (8). Решая систему
уравнений
находим
,
;
следовательно,
,
.
На отрезке
имеем:
.
Значит, в формуле (8) в качестве
возьмем x,
а в качестве
–
.
Получим:
(кв. ед.).
Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.
Рис. 7
Пример 12.
Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями
,
,
.
Решение. Сделаем
чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно
рассматривать как криволинейную
трапецию, ограниченную снизу осью
,
слева и справа – прямыми
и
,
сверху – графиками функций
и
.
Так как фигура ограничена сверху
графиками двух функций, то для вычисления
ее площади разобьем данную фигуру прямой
на две части (1 – это абсцисса точки
пересечения линий
и
).
Площадь каждой из этих частей находим
по формуле (4):
(кв. ед.);
(кв. ед.). Следовательно:
(кв. ед.).
Рис. 8
х = (у)
Рис. 9
В заключение отметим,
что если криволинейная трапеция
ограничена прямыми
и
,
осью
и непрерывной на
кривой
(рис. 9), то ее площадь находится по
формуле
.
Объем тела вращения
Пусть криволинейная
трапеция, ограниченная графиком
непрерывной на отрезке
функции
,
осью
,
прямыми
и
,
вращается вокруг оси
(рис. 10). Тогда объем полученного тела
вращения вычисляется по формуле
.
(9)
Пример 13.
Вычислить объем тела, полученного
вращением вокруг оси
криволинейной трапеции, ограниченной
гиперболой
,
прямыми
,
и осью
.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 11).
Из условия задачи
следует, что
,
.
По формуле (9) получаем
.
Рис. 10
Рис. 11
Объем тела, полученного
вращением вокруг оси Оу криволинейной
трапеции, ограниченной прямыми у = с и
у = d,
осью Оу и графиком непрерывной на отрезке
функции
(рис. 12), определяется по формуле
.
(10)
х = (у)
Рис. 12
Пример 14. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х2 = 4у, у = 4, х = 0 (рис. 13).
Решение. В соответствии
с условием задачи находим пределы
интегрирования:
,
.
По формуле (10) получаем:
.
Рис. 13
Длина дуги плоской кривой
Пусть кривая
,
заданная уравнением
,
где
,
лежит в плоскости
(рис. 14).
Рис. 14
Определение.
Под длиной дуги
понимается предел, к которому стремится
длина ломаной линии, вписанной в эту
дугу, когда число звеньев ломаной
стремится к бесконечности, а длина
наибольшего звена стремится к нулю.
Если функция
и ее производная
непрерывны на отрезке
,
то длина дуги кривой
вычисляется по формуле
.
(11)
Пример 15.
Вычислить длину дуги кривой
,
заключенной между точками, для которых
.
Решение. Из условия
задачи имеем
.
По формуле (11) получаем:
.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
При введении понятия
определённого интеграла
предполагалось, что выполняются следующие
два условия:
а) пределы интегрирования
а и
являются конечными;
б) подынтегральная
функция
ограничена на отрезке
.
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.
Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Определение.
Пусть функция
определена и непрерывна на промежутке
,
тогда
(12)
называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом I рода).
Если
существует и конечен, то несобственный
интеграл
называется сходящимся;
если данный предел не существует или
равен
,
то несобственный интеграл называется
расходящимся.
Геометрически
несобственный интеграл
от неотрицательной функции
выражает площадь бесконечной криволинейной
трапеции, ограниченной сверху графиком
функции
,
снизу – осью
,
слева – отрезком прямой
и неограниченной справа (рис. 15).
Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.
Рис. 15
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:
.
(13)
Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:
,
(14)
где с
– любая точка интервала
.
Интеграл
сходится только в том случае, когда
сходятся оба интеграла в правой части
равенства (14).
Пример 16. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решение. а)
,
следовательно,
данный интеграл расходится;
б)
.
Так как при
предел
не существует, то интеграл
расходится;
в)
Значит, несобственный
интеграл
сходится и его значение равно
;
г)
= [выделим в знаменателе полный квадрат:
]
=
[замена:
]
=
Значит, несобственный
интеграл сходится и его значение равно
.
Несобственные интегралы от неограниченных функций
Пусть функция
непрерывна на конечном промежутке
,
но не ограничена на этом промежутке.
Определение.
Несобственным интегралом
от функции у=f(x)
на промежутке
называется предел
,
т.е.
.
(15)
Если предел, стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.
Аналогично вводится
понятие несобственного интеграла от
функции
непрерывной, но не ограниченной на
промежутке
:
.
(16)
Если функция
не ограничена при
,
где
,
и непрерывна при
и
,
то несобственный интеграл от функции
у=f(x)
на отрезке
обозначается
и определяется равенством
.
(17)
Несобственный
интеграл (17) называется сходящимся, если
сходятся оба несобственных интеграла
в правой части равенства (17).
В противном
случае данный интеграл называется
расходящимся.
Пример 17. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а)
;
б)
.
Решение: а) данный
интеграл является интегралом от
неограниченной функции (подынтегральная
функция
не определена в точке
,
при
эта функция неограниченно возрастает).
По определению имеем
[замена:
]
=
,
следовательно,
данный интеграл сходится.
б) по определению
.
Значит, данный интеграл является расходящимся.
Литература
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. I. – М.: Наука, 1982. – 616 с.
2. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.
3. Гусак А.А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).
4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.
5. Яблонский А.И., Кузнецов А.В., Шилкина Е.И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.