Проверка истинности моделей множественной регрессии

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И.И. ПОЛЗУНОВА

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ РЕГИОНАЛЬНЫМ РАЗВИТИЕМ

Расчётное задание

по дисциплине: Эконометрика

Проверка истинности моделей множественной регрессии

Выполнил:

Филатов М.И.

2010

Исходные данные

	Численность студентов (на 1000 человек населения)	Динамика Валового Внутреннего Продукта (в постоянных ценах)	Динамика валового накопления основного капитала (в постоянных ценах)
	x1	y	x2
Россия	64	131,2	103
Австралия	50	123	169
Австрия	29	117	115
Азербайджан	22	177,3	103,4
Армения	34	184,1	263,5
Беларусь	195	164,9	162,2
Бельгия	39	115	120
Венгрия	42	139	178
Германия	28	110	102
Грузия	42	169,3	112,4
Дания	40	114	134
Италия	34	111	125
Казахстан	61	163,4	126,7
Канада	42	121	156
Киргизия	46	134,7	83,3
Китай	15	184	420
Мексика	22	122	175
Нидерланды	33	119	129
Норвегия	47	120	130
Польша	54	140	154
Республика Молдова	34	129,1	134,1
Румыния	32	115	132
Соединенное Королевство Великобритания	38	122	146
США	58	117	143
Таджикистан	21	116,4	143,5
Украина	51	122,7	122,6
Финляндия	58	130	154
Франция	36	115	129
Швеция	48	121	129
Япония	32	105	91¹

Все данные взяты за 2003 год. Данные взяты из статистического сборника Регионы России Социально-экономические показатели.

2003. Федеральная служба государственной статистики Построение модели множественной регрессии

Расчет параметров

Рассчитаем необходимые параметры:

Признак	Ср. знач.	СКО	Характеристики тесноты связи	β>i>	b>i>		Коэф-ты частной корр.	F-критерий фактический	Табличный F-критерий
y	131,77	22,74	R>yx1x2>=0,5963
x1	44,9	30,41	r>yx1>=0,2152	0,2639	0,1973	0,0672	r>yx1>>х2>=0,3112	F>x1>>факт>=2,8954	4,21
x2	146,19	60,57	r>yx2>=0,5353	0,5583	0,2097	0,2326	r>yx>>2х1>=0,5695	F>x>>2факт>=12,95	4,21
			r>x1x2>=-0,0872		a=92,26		r>x1>>х2у>=-0,2453	F>факт>=7,45	3,35

Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

t_>y>_> >=2639t_>x>_>1>+0,5583t_>x>_>2>

Уравнение множественной регрессии в естественной форме:

y_>теор> =92,26+0,1973x_>1 >+0,2097x_>2>

Рассчитаем по этой формуле теоретические значения динамики ВВП и определим среднюю ошибку аппроксимации. Она равна 9,5254.

Выбор фактора, оказывающего большее влияние

1. Динамика валового накопления основного капитала оказывает большее влияние на динамику ВВП, чем численность студентов, так как

|β_>2>|=0,5583 > |β_>1>|=0,2639.

2. С помощью средних коэффициентов эластичности можно оценить относительную силу влияния динамики валового накопления основного капитала (х_>2>) и числа студентов (х1) на динамику ВВП (у):

=0,0672, =0,2326,

следовательно, с увеличением валового накопления основного капитала на 1% от их среднего значения, динамика ВВП возрастает на 0,23% от своего среднего значения. А при увеличении числа студентов на 1% от своего среднего значения, динамика ВВП увеличится на 0,067% от своего среднего значения. Очевидно, что сила влияния второго фактора (динамики валового накопления основного капитала) на результативный признак (динамику ВВП) значительно больше, чем сила влияния первого фактора (числа студентов).

3.Сравнивая коэффициенты парной и частной корреляции

r>yx1>	0,2152	r>yx2>	0,5353
r>yx1x2>	0,3112	r>yx2x1>	0,5695

Коэффициенты парной и частной корреляции отличаются незначительно что говорит о слабой межфакторной связи. Связь между динамикой валового накопления основного капитала и динамикой валового внутреннего продукта (связь прямая и средне тесная) выше, чем связь между числом студентов и динамикой ВВП (связь прямая слабая).

4. По коэффициенту множественной корреляции: R_>уx1x2>=0,5963 можно сделать вывод, что зависимость динамики ВВП от динамики валового накопления основного капитала и числа студентов характеризуется как средне тесная, в которой 59,63% вариации результативного признака определяется вариацией учтённых в модели факторов. Прочие факторы, не включённые в модель, составляют соответственно 35,56% от общей вариации.

4. Так как F – критерий Фишера превышает табличное значение:

F_>факт>=7,45_> >>F_>табл>=3,35

то можно говорить о статистической значимости и надёжности уравнения регрессии.

5. Сравнивая частные F – критерии фактические с пороговой константой F_>табл>=4,21, делаем вывод: F_>х2факт>=12,95 > F_>табл>, следовательно статистически подтверждена целесообразность включения в модель динамики валового накопления основного капитала, после числа студентов, т.к. этот фактор оказывает большее влияние.

Построение парных моделей регрессии

Представим данные полученные при построении парных моделей в таблице:

Модель	Aср.	r (ρ)	Уравнение	F>факт>
Линейная	10,89	0,5353	у=102,38+0,201х>1>	11,24
Степенная	11,008	0,4934	у=38,26×х>1>0,2481	9,01
Показательная	10,47	0,5350	у=106,53×1,001х1	11,23
Гиперболическая	12,59	0,3786	у=165,92-4546,04/х>1>	4,68

Определение лучшей модели

1. Недопустимую ошибку аппроксимации имеют все 4 модели, однако у показательной модели она наименьшая, это говорит о том что линейная модель лучше аппроксимирует исходные данные чем остальные модели.

2. У линейной модели теснота связи самая сильная по сравнению с другими моделями. Это говорит о том, что показательная модель лучше подходит к нашим данным.

3. Проверив гипотезу о стат. значимости и надежности, получив значения F_>факт> больше табличного во всех случаях, получаем, что все 4 уравнения являются стат. значимыми и надежными. Хотя линейная модель имеет наибольшее F_>факт> по сравнению с другими моделями, это говорит о большей точности линейной модели.

По двум показателям линейная модель лучше остальных, это говорит о том, что линейная модель лучше аппроксимирует исходные данные. Однако множественная модель, на мой взгляд, лучше аппроксимирует данные, чем линейная, потому что множественная модель имеет допустимую ошибку аппроксимации и большую тесноту связи.

Проверка предпосылок МНК

1.Первую предпосылку проверим путём вычисления суммы значений остатков:

x1	x2	y	x1x2	yx1	yx2	y^x	y-y^x
64	103	131,2	6592	8396,8	13513,6	126,48	4,72
50	169	123	8450	6150	20787	137,56	-14,56
29	115	117	3335	3393	13455	122,09	-5,09
22	103,4	177,3	2274,8	3900,6	18332,82	118,28	59,02
34	263,5	184,1	8959	6259,4	48510,35	154,21	29,89
195	162,2	164,9	31629	32155,5	26746,78	164,75	0,15
39	120	115	4680	4485	13800	125,11	-10,11
42	178	139	7476	5838	24742	137,87	1,13
28	102	110	2856	3080	11220	119,17	-9,17
42	112,4	169,3	4720,8	7110,6	19029,32	124,11	45,19
40	134	114	5360	4560	15276	128,25	-14,25
34	125	111	4250	3774	13875	125,18	-14,18
61	126,7	163,4	7728,7	9967,4	20702,78	130,86	32,54
42	156	121	6552	5082	18876	133,25	-12,25
46	83,3	134,7	3831,8	6196,2	11220,51	118,80	15,90
15	420	184	6300	2760	77280	183,27	0,73
22	175	122	3850	2684	21350	133,29	-11,29
33	129	119	4257	3927	15351	125,82	-6,82
47	130	120	6110	5640	15600	128,79	-8,79
54	154	140	8316	7560	21560	135,20	4,80
34	134,1	129,1	4559,4	4389,4	17312,31	127,08	2,02
32	132	115	4224	3680	15180	126,25	-11,25
38	146	122	5548	4636	17812	130,37	-8,37
58	143	117	8294	6786	16731	133,69	-16,69
21	143,5	116,4	3013,5	2444,4	16703,4	126,49	-10,09
51	122,6	122,7	6252,6	6257,7	15043,02	128,03	-5,33
58	154	130	8932	7540	20020	135,99	-5,99
36	129	115	4644	4140	14835	126,41	-11,41
48	129	121	6192	5808	15609	128,78	-7,78
32	91	105	2912	3360	9555	117,65	-12,65
						сумма	0,0000

2.Случайный характер остатков. Проверим графически:

Из графика зависимости остатков ε_>i> от теоретических значений результативного признака видно, что точки распределены случайно, следовательно, ε_>i>_> >представляют собой случайные величины и МНК оправдан.

3. Наличие гомоскедастичности. Воспользуемся методом Гольдфельда – Квандта. Число исключаемых центральных наблюдений примем равным 8. Тогда в каждой группе будет по 11 наблюдений. Результаты расчетов представим в таблице:

x1	x2	y	x1x2	yx1	yx2	y^x	y-y^x	Ai	(y-y^x)^2
46	83,3	134,7	3831,8	6196,2	11220,51	132,15	2,55	1,8961	6,52
32	91	105	2912	3360	9555	128,41	-23,41	22,2973	548,13
28	102	110	2856	3080	11220	127,98	-17,98	16,3451	323,27
64	103	131,2	6592	8396,8	13513,6	139,08	-7,88	6,0058	62,09
22	103,4	177,3	2274,8	3900,6	18332,82	126,24	51,06	28,7972	2606,87
42	112,4	169,3	4720,8	7110,6	19029,32	133,02	36,28	21,4308	1316,41
29	115	117	3335	3393	13455	129,22	-12,22	10,4468	149,40
39	120	115	4680	4485	13800	132,65	-17,65	15,3447	311,40
51	122,6	122,7	6252,6	6257,7	15043,02	136,51	-13,81	11,2549	190,71
34	125	111	4250	3774	13875	131,48	-20,48	18,4460	419,23
61	126,7	163,4	7728,7	9967,4	20702,78	139,87	23,53	14,4012	553,73
							0,0000	15,1514	6487,74

x1	x2	y	x1x2	yx1	yx2	y^x	y-y^x	Ai	(y-y^x)^2
21	143,5	116,4	3013,5	2444,4	16703,4	119,32	-2,92	2,5060	8,51
38	146	122	5548	4636	17812	124,14	-2,14	1,7530	4,57
58	154	130	8932	7540	20020	131,22	-1,22	0,9407	1,50
54	154	140	8316	7560	21560	130,25	9,75	6,9625	95,01
42	156	121	6552	5082	18876	127,90	-6,90	5,7020	47,60
195	162,2	164,9	31629	32155,5	26746,78	166,75	-1,85	1,1203	3,41
50	169	123	8450	6150	20787	133,47	-10,47	8,5103	109,57
22	175	122	3850	2684	21350	128,35	-6,35	5,2041	40,31
42	178	139	7476	5838	24742	134,04	4,96	3,5697	24,62
34	263,5	184,1	8959	6259,4	48510,35	155,95	28,15	15,2883	792,18
15	420	184	6300	2760	77280	195,01	-11,01	5,9854	121,29
							0,0000	5,2311	1248,57

Величина R=0,1924 (1248,57/6487,74), меньше табличного значения F-критерия, следовательно, наличие гомоскедастичности и отсутствие гетероскедастичности.

4.Отсутствие автокорреляции. Тест Дарбина–Уотсона:

x1	x2	y	y^	lу-у^l	(lу-у^l/у)*100	у-у^	ei-ei-1	(ei-ei-1)^2	(у-у^)^2
64	103	131	126,48	4,715497	3,594	-4,715	-4,7155	22,2	22,24
50	169	123	137,56	14,55865	11,836	14,559	19,27414	371,5	211,95
29	115	117	122,09	5,093094	4,353	5,093	-9,46555	89,6	25,94
22	103	177	118,28	59,02032	33,288	-59,020	-64,1134	4110,5	3483,40
34	264	184	154,21	29,88682	16,234	-29,887	29,13349	848,8	893,22
195	162	165	164,75	0,151302	0,092	-0,151	29,73552	884,2	0,02
39	120	115	125,11	10,11485	8,796	10,115	10,26615	105,4	102,31
42	178	139	137,87	1,133281	0,815	-1,133	-11,2481	126,5	1,28
28	102	110	119,17	9,170267	8,337	9,170	10,30355	106,2	84,09
42	112	169	124,11	45,18646	26,690	-45,186	-54,3567	2954,7	2041,82
40	134	114	128,25	14,24733	12,498	14,247	59,43379	3532,4	202,99
34	125	111	125,18	14,17636	12,771	14,176	-0,07097	0,0	200,97
61	127	163	130,86	32,53879	19,914	-32,539	-46,7152	2182,3	1058,77
42	156	121	133,25	12,25437	10,128	12,254	44,79316	2006,4	150,17
46	83,3	135	118,80	15,89794	11,802	-15,898	-28,1523	792,6	252,74
15	420	184	183,27	0,725914	0,395	-0,726	15,17202	230,2	0,53
22	175	122	133,29	11,29077	9,255	11,291	12,01669	144,4	127,48
33	129	119	125,82	6,817621	5,729	6,818	-4,47315	20,0	46,48
47	130	120	128,79	8,790167	7,325	8,790	1,972546	3,9	77,27
54	154	140	135,20	4,796736	3,426	-4,797	-13,5869	184,6	23,01
34	134	129	127,08	2,015804	1,561	-2,016	2,780932	7,7	4,06
32	132	115	126,25	11,24923	9,782	11,249	13,26503	176,0	126,55
38	146	122	130,37	8,368454	6,859	8,368	-2,88077	8,3	70,03
58	143	117	133,69	16,68649	14,262	16,686	8,318035	69,2	278,44
21	144	116	126,49	10,08938	8,668	10,089	-6,59711	43,5	101,80
51	123	123	128,03	5,32814	4,342	5,328	-4,76124	22,7	28,39
58	154	130	135,99	5,992662	4,610	5,993	0,664522	0,4	35,91
36	129	115	126,41	11,40967	9,921	11,410	5,417008	29,3	130,18
48	129	121	128,78	7,777864	6,428	7,778	-3,63181	13,2	60,50
32	91	105	117,65	12,65349	12,051	12,653	4,875628	23,8	160,11
								19110,43	10002,65

Исходя из статистики Дарбина-Уотсона, можно сделать вывод, что автокорреляция отсутствует, так как 1,91 находится в промежутке (1,339;2,661) (d_>2>; 4-d_>2>). Следовательно, значения остатков распределены независимо друг от друга. Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии.

Таким образом, не все предпосылки выполнились, это говорит о недостаточной надежности уравнения множественной регрессии. Возможно, можно было бы и получить надежную модель, если исключить из данных страны значение динамики ВВП, которых сильно отличается от других.