Экстремальная задача на индексационных классах

Содержание

Введение

Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах

§ 1. Экстремальная задача

§ 2. Свойства отображения

§ 3. Доказательство теоремы

Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, )

Литература

Введение

В работе вводится понятие индекса функции на [0,) относительно произвольного класса F функций на [0, ), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.

Определение 1. Скажем, что функция (t), tR¹, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A_>1><A_>2><…<A_>k>_>+1>, такие, что

а) ;

б) знаки функции (t) на множествах A_>1>, A_>2>, …, A_>k>_>+1> перемежаются.

Пусть f(t) и g(t) – функции на R¹. Пишем , если функция =g-f имеет k-1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.

Нетрудно видеть, что отношение выполнено тогда и только тогда, когда

а) не существует точки x_>1>, …, x_>k> (-<x_>1><…<x_>k><) такие, что

(-1)^k-i f(x_>i>) > (-1)^k-i g(x_>i>), ;

б) существуют точки y_>1>, …, y_>k> (-<y_>1><…<y_>k><) такие, что

(-1)^k-i f(y_>i>) > (-1)^k-i g(y_>i>), .

Пусть F – некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ) и f, g  F.

Определение 2. Пишем , если для любой функции hF, hg, выполнено одно из отношений: , , , . Пишем , если для любой функции hF, hf, выполнено одно из отношений: , ,, .

Функция f имеет индекс k^- в F, если выполнено отношение и не выполнено . Функция g имеет индекс k⁺ в F, если выполнено и не выполнено .

Через I_>k>^- (I_>k>⁺), k1, обозначим совокупность всех функций с индексом k^- (k⁺) в F.

Пусть U – семейство функций на [0, ).

Через F_>U> обозначим множество функций fF, для которых интегралы

, uU,

абсолютно сходятся.

В случае положим , fF_>U>, AF_>U>, :

_>>, F_>i>(A)={F_>i>(f): fA},

, ,

.

Множество называется моментным пространством класса F относительно системы функций .

Лемма 1. Пусть системы u_>1>(t), …, u_>n>(t) и u_>1>(t), …, u_>n>(t), u_>n>_>+1>(t) образуют T_>+>-системы на [0, ) такие, что . Тогда отношение невозможно для и, если , то

.

Доказательство. Допустим, что , где kn, и A_>1>, …, A_>k> – множества строгого знакопостоянства функции g - f. Для векторов рассмотрим матрицу

.

Так как

, ,

то есть

, (1)

где d_>i>(-1)^k-i, и d_>i>=0, для всех векторов .

Из (1) следует, что detH()=0 для любых . С другой стороны, применив k раз теорему о среднем к H(), получим

, (2)

где 0_>1><_>2><…<_>k><. Так как векторы линейно зависимы, то их можно дополнить до системы линейно независимых векторов . Из (2) получаем .

Пусть теперь и .

Так как

, (3)

где d_>i>=(-1)^n+1-i, , то

,

где H – матрица, записанная в (3) слева, - матрица, получаемая из H удалением (n+1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаем detH>0, . Вместе с равенством d_>n>_>+1>=1 это означает, что d>0.

Определение 3. Скажем, что последовательность {f_>i>}_>i>_>>_>1> функций на [0, ) относительно класса U слабо сходится к функции f , если

для всех uU.

Определение 4. Множество AF_>U> назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fA и множество А имеет вид , где V открыто, при , при .

Множество AF_>U> назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А.

Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если:

1. Класс F равномерно ограничен, то есть существует L>0, такое, что f(t)L при t0, fF;

2. ;

3. Множества I_>k>^- (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;

4. Из любой последовательности {f_>i>}_>i>_>>_>1>I^-_>k>_>+1> (k>n) такой, что

,

можно выделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторой функции .

Пусть система образует T_>+> - систему на [0, ).

Рассмотрим систему функций , такую, что w_>i>=u_>i> для и - T_>+> - системы для mn (см. [1]).

Теорема 1. Пусть система образует T_>+> - систему на [0, ), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ). Тогда

.

Доказательство. Пусть . Согласно условию 2 определения индексационного класса, существует последовательность {f_>j>}_>j>_>>_>1>I_>k>^- такая, что . Зафиксируем произвольное f_>l>.

Если f_>l>I_>k>^-, где kn+1, то положим f_>l>^*=f_>l>.

Пусть k>n+1 и ={} – (k-1, W) окрестность f_>l> в I_>k>^-.

Рассмотрим произвольные и . Допустим, что . Согласно лемме 1, отношения и невозможны для sk-1. Следовательно, и , что невозможно.

Таким образом, отображение непрерывно и взаимно однозначно. Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что - открытое множество в R^k-1, содержащее .

Пусть , и - многочлен по системе , имеющий k-2 нулей x_>1>, …, x_>k>_>-2>. Условие _>k>_>-1>=0 противоречит чебышевости системы . Положим _>k>_>-1>>0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>x_>k>_>-2>.

Имеем

,

где c_>l>ⁱ – i-ая компонента вектора , и, следовательно,

.

Так как константа К не зависит от f, то m_>l>_> >>-.

Кроме того, .

Возьмем последовательность , такую, что

F_>k>_>-1>(f_>lp>)>F_>k>_>-1>(f_>lq>)=m_>l> при p<q и

,

Рассмотрим произвольные f_>lp> и f_>lq>, где p<q. Так как , то отношения и невозможны для sk-2. Отношения и невозможны, так как f_>lp>, f_>lq>I_>k>^-. Из леммы 1 получаем .

Так как , то найдется функция , такая, что F_>k>_>-1>(f_>l>^’)=m_>l>.

Отношение f_>l>^’I_>k>^- невозможно, в силу определения числа m_>l> и принципа инвариативности области. Отношения f_>l>^’I_>m>^- для m<k-1 невозможны, так как . Следовательно .

Продолжая таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию , такую, что . Из условия следует утверждение теоремы 1.

Замечание 1. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ) назовем верхним U-индексационным с дефектом n, если:

1. Класс F равномерно ограничен;

2. ;

3. Множества I_>k>⁺ (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;

4. Для k>n из любой последовательности {f_>i>}_>i>_>>_>1>I_>k>⁺ такой, что

,

можно выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к некоторой функции ;

5. I_>k>⁺F_>U> для kn+1.

Теорема 2. Пусть система образует T_>+>-систему на [0, ), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ). Тогда

.

Определение 6. Систему непрерывных на [0, ) функций назовем T_>+>¹-системой, если она является T_>+>-системой, и, кроме того, системы u_>1>, …, u_>l>_>-1>, u_>l>_>+1>, …, u_>n> также являются T_>+>-системами для .

Лемма 2. Пусть - T_>+>¹-система на [0, ), функции f и g таковы, что

(-1)^n-i F_>i>(f)  (-1)^n-i F_>i>(g), .

Тогда отношения , и , , невозможны.

Доказательство. Допустим, что имеет место отношение и 1pn.

Пусть x_>1>, …, x_>p>_>-1> (-<x_>1><…<x_>p>_>-1><) – точки перемен знака функции ; x_>о>=-, x_>n>=; . Выберем точки x_>n>_>-1><x_>n>_>-2><…<x_>p><x_>p>_>-1> так, чтобы , , . Рассмотрим систему равенств

, (4)

где h_>i>=1. Из условия следует, что h_>n>=1. С другой стороны, из (4) получаем

,

где А – матрица, записанная в (4) слева, A_>n>ⁱ – матрица, получаемая из А удалением i-ой строки и n-го столбца. Так как - T_>+>¹-система на [0, ), то detA>0, detA_>n>ⁱ>0, . Следовательно, h_>n>0. Получили противоречие.

Случай , , рассматривается аналогично.

Теорема 3. Пусть - T_>+>¹-система на [0, ), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ). Тогда

.

Доказательство. Пусть . Возьмем последовательность векторов так, чтобы при и

для , j1.

Согласно теореме 1, для любого найдется последовательность такая, что .

Существует j_>1>, такое, что , где  - какая-либо метрика в Rⁿ, и

, .

Выберем j_>2> так, чтобы и

, .

Продолжая таким образом, получим последовательность такую, что и

(5)

Рассмотрим произвольные и . Отношения и для k>n невозможны, в силу условий .

Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем

,

т. е. существует функция такая, что . Включение противоречит условию , в силу принципа инвариативности области.

Из произвольности следует утверждение теоремы 2.

Глава 1 Неравенство Маркова на индексационных классах

§ 1 Экстремальная задача

Пусть  – некоторый класс функций распределения (ФР) на [a, b], -<a<b<; (t) – (n+1) раз непрерывно дифференцируемая функция на [a, b], причем ^(k)(t)>0 для t[a, b] и ; c_>1>, …, c_>n> – вещественные константы; [a, b].

Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла

на множестве ФР из , удовлетворяющих ограничениям

, .

Для классов _>o> - всех ФР на [a, b] и В_>L> – ФР на [a, b], удовлетворяющих условию , -<x<y<, задача решена в [1].

Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 - 5].

Задача при b решена в [4] для мажоризационных классов.

Анализ задачи на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы видим в рассмотрении классов с иной структурой – индексационных классов ФР.

Ниже предполагается, что  - индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение индексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многие важные классы ФР, например, _>o>, B_>L>, класс унимодальных ФР на [a, b] и др.

Обозначим (k A, ): I_>k>⁺ (I_>k>^-) –множество всех ФР из , имеющих индекс k⁺ (k^-); ; - пространство моментов порядка k; ; ; , .

Основной результат работы содержится в утверждении.

Теорема. Пусть , . Тогда:

,

,

,

.

§ 2 Свойства отображения

Нам понадобятся два факта из [6].

1. Для любого существует и единственная ФР .

2. Если , то множество одноэлементно. Если , то существуют непрерывные, однопараметрические семейства (т. е. при и (значок  обозначает слабую сходимость)) и ФР такие, что ,, , для  и для .

Пусть и , где , a, b.

Функция _>> непрерывна слева на [a, b] и _>>(a)=0 для всех . Так как t>0 при t[a, b], то _>> не убывает по .

Далее, из _>k> при k следует _>>. Следовательно, семейства распределений {} и {} непрерывны.

Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B_>0>(f)<…<B_>m>(f) (под X<Y (X, YR¹) понимаем x<y для всех xX, yY) из [a, b] такие, что (-1)^j f(x)>0 (или (-1)^j+1f(x)>0 при xB_>j>(f), и f(x)=0 при .

Лемма 1. Для любого распределения  () и для любого _>>, , функция _>> - _>>(_>> - ) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака на [a, b].

Доказательство. Предположим, что функция _>> - имеет более n+2 строгих перемен знака. Тогда существуют a<x_>0><x_>1><…<x_>n>_>+3>b такие, что (-1)ⁱ [_>>_>> -] > 0, . Кроме того, _>>(a)=(a)=0. Следовательно, существуют точки y_>0>[a, x_>0>), y_>1>[x_>0>, x_>1>), …, y_>n>_>+3>[x_>n>_>+2>, x_>n>_>+3>) такие, что функция (-1)ⁱ [t - _>>(t)] возрастает в точке y_>i>, , что противоречит условию .

Равенство запишем в виде

_>>tc_>i>, ,

где , , с_>0> = 1.

Очевидно, что последовательности u_>0>, …, u_>k>, , образуют T_>+> - системы на [a, b]. Из условия ^(k)(t)>0 для t[a, b] и следует (см. [1]), что последовательности –u_>0>, …,-u_>k> , также образуют T_>+> - системы. Следовательно, выполнены условия мажоризационной теоремы (см. [4]) и функция _>> - _>>не может иметь n+1 строгих перемен знака.

Пусть функция f(t) имеет k строгих перемен знака на [a, b]. Наряду с множествами B_>i>(f) строгого знакопостоянства рассмотрим множества P_>0>(f)=(-, infB_>1>(f)], P_>i>(f)=[supB_>i>_>-1>(f), infB_>i>_>+1>(f)],

, P_>k>(f)=[supB_>k>_>-1>(f), +).

Зафиксируем ФР . Рассмотрим два класса функций

{_>>_>> - _>>:[0,1]} и {_>>_>> - _>>:[0,1]}.

Число  (число ) назовем: параметром первого типа, если функция _>> (_>>) имеет n+2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция _>> (_>>) отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция _>> (_>>) имеет n+1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция _>> (_>>) имеет n+1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна.

Каждому [0,1] ([0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X_>0>(), …, X_>n>_>+2>() (Y_>0>(), …, Y_>n>_>+2>()) следующим образом. Если  () есть:

параметр первого типа, то

X_>i>()=P_>i>(_>>), (Y_>i>()=P_>i>(_>>), );

параметр второго типа, то

X_>i>()=P_>i-1>(_>>), , X_>0>()=(-, infB_>0>(_>>)],

(Y_>i>()=P_>i>(_>>), , Y_>n+2>()=(supB_>n+1>(_>>), +));

параметр третьего типа, то

X_>i>()=P_>i>(_>>), , X_>n>_>+2>()=[supB_>n>_>+1>(_>>), +)),

(Y_>i>()=P_>i>_>-1>(_>>), , Y_>0>()=(-, infB_>0>(_>>)]).

Таким образом:

(-1)^n-i_>>(t)0 при tIntX_>i>(), , (1)

(-1)^n-i_>>(t)0 при tIntY_>i>(), .

При этом ни для какого i не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XIntX_>i>() и (-1)^n-i_>>(t)0 при tX. Ни для какого i не существует интервала YIntY_>i>() и (-1)^n-i_>>(t)0 при tY.

Заметим также, что X_>i>(0)=Y_>i>_>+1>(0), X_>i>_>+1>(1)=Y_>i>(1).

Определение 2. Отображение Z(): [0, 1]Z()R¹ непрерывно, если из _>i>⁰, x_>i>x⁰, где ⁰, _>i> [0, 1], x_>i>Z(_>i>), i1, следует x⁰Z(⁰).

Лемма 2. Отображения X_>i>(), Y_>i>(), непрерывны.

Доказательство. Пусть _>j>, j. Обозначим через границы отрезка X_>i>(_>j>). Определим a_>0>=-. Возьмем произвольную точку a_>1> сгущения последовательности {a_>1>^(j)}_>j>_>>_>1>. Пусть для удобства . Проделаем ту же операцию с последовательностями {a_>i>^(j)}_>j>_>>_>1>, и {b_>i>^(j)}_>j>_>>_>1>, . Положим b_>n+2>=+.

Итак,

, , (2)

причем -=a_>0><a_>1>b_>0>a_>2>b_>1>…a_>n+1>b_>n>a_>n+2>b_>n+1><b_>n+2>=+.

Из (1) и (2) следует, что для .

(-1)^n-i_>>(t)0 (3)

при t(a_>i>, b_>i>), если a_>i>b_>i>.

Из (3) и следует, что a_>i>b_>i>, , так как в противном случае функция _>> имело бы не более n строгих перемен знака, что противоречит лемме 1. Отсюда и из определения X_>i>() следует [a_>i>, b_>i>]X_>i>(),. Для любого i из x_>j>[a_>i>^(j), b_>i>^(j)] и x_>j>x⁰ вытекает, что x⁰[a_>i>, b_>i>]. Следовательно, x⁰X_>i>().

Непрерывность отображений Y_>i>() доказывается аналогично.

§ 3 Доказательство теоремы

В случае утверждение теоремы очевидно.

Пусть .

Лемма 3. Для любого ФР и любой точки [a, b] существует ФР такая, что _>v>(t)_>>(t) (_>v>(t)_>>(t)) в некоторой окрестности точки .

Доказательство. Если не существует такого i, 0in+2, что n-1 четно и Y_>i>(0), то в некоторой окрестности точки  имеет место _>0>0. В этом случае положим .

Пусть существует i такое, что n-i четно и Y_>i>(0).

Случай I, in+2. a) Предположим, что Y_>i>(1). Пусть . Согласно лемме 2, Y_>i>(^). В силу сделанного предположения, <1 и, следовательно, существует последовательность {_>j>}_>j>_>>_>1> такая, что Y_>i>(_>j>) и _>j>. Пусть для некоторого _>l> не существует такого k, что n-k четно и Y_>k>(_>l>). Тогда в некоторой окрестности точки . В этом случае полагаем . Если же для всех _>j>, j1, существует k_>j> такие, что n-k_>j> четны и , то существует m, mi, такое, что n-m четно и Y_>m>(_>j>) для бесконечного числа элементов последовательности {_>j>}. По лемме 2 Y_>m>(). Так как n-i и n-m четны, то mi-1, mi+1. Вместе с mi это противоречит включению Y_>i>().

б) Предположим, что Y_>i>(1)=X_>i>_>+1>(1). Пусть inf{X_>i>_>+1>()}. Согласно лемме 2, X_>i>_>+1>(). Если , то X_>i>_>+1>(0)=Y_>i>_>+2>(0). Это противоречит условию X_>i>_>+1>(). Поэтому  и дальнейшее рассмотрение аналогично приведенному в а).

Случай II, i=n+2. а) При Y_>n>_>+2>(1) доказательство аналогично доказательству пункта а) случая I.

б) Пусть Y_>n>_>+2>(1). Так как Y_>n>_>+2>(1)Y_>n>_>+1>(1), то Y_>n>_>+1>(1). Точка  не может совпадать с левым концом отрезка Y_>n>_>+1>(1), так как в этом случае множества Y_>n>_>+1>(1) и Y_>n>_>+2>(1) совпадают, что невозможно. Так как Y_>n>_>+1>(1) и не совпадает с левым концом отрезка Y_>n>_>+1>(1), то _>1>(t)0 в некоторой окрестности точки . В этом случае полагаем .

Итак, доказано существование такой ФР , что _>>-_>> в некоторой окрестности точки . Случай _>>-_>> рассматривается аналогично.

Теорема следует из леммы 3 и утверждения:

_>>() и _>>(+0) достижимы. Докажем последнее.

Пусть d=_>>() . Пусть последовательность ФР , i, такова, что . Выберем подпоследовательность последовательности {_>i>}, слабо сходящуюся к некоторой ФР . Покажем, что _>>d. Для произвольного >0 выберем < такое, что _>>-_>>< и - точка непрерывности _>>. Существует номер N такой, что для любого j>N выполнено неравенство _>>()-_>>()<, из которого следует, что _>>() - _>>()<, j>N. Так как _>>()  _>>(), то _>>() - _>>()<, откуда следует _>>( - d. Последнее неравенство влечет _>>d.

Глава 2 О чебышевской экстремальной задаче на [0, )

В настоящей работе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода к решению чебышевской экстремальной задачи на [0, ).

Чебышевская экстремальная задача. Пусть  - выпуклый класс ФР на [0, ), системы u_>0>1 на [0, ) функций образуют T_>+>-системы на [0, ).

Положим (1in, ):

, ,

- моментное пространство класса  относительно системы .

Пусть .

Найти , где .

1⁰. Первый подход заключается в урезании справа класса  в точке x>0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе _>х> решается, и в переносе предельным переходом x решения на класс .

Для любого x>0 введем подкласс класса : _>х>={:x+0)=1}.

Очевидно, для любых x_>1><x_>2>

(1)

Предположим, что для любого x>0 _>х >- индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]).

Примерами таких классов служат: класс всех ФР на [0, ), класс ФР вогнутых на [0, ),класс ФР  на [0, ), удовлетворяющих при 0x<y< неравенству , L>0 и т. д.

Перечисленные выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено включение

(-замыкание множества XRⁿ),

где I_>i>^- - множество всех ФР, имеющих индекс i^- в .

Кроме того, для этих классов справедливо включение , и следовательно,

(2)

Лемма 1. .

Доказательство. Пусть . Из выпуклости множества следует, что точка является внутренней точкой некоторого (n+1)-мерного симплекса, лежащего в , т. е. существуют векторы , и числа _>>>0, …, _>n>>0, _>n>_>+1>>0 такие, что .

Из (2) следует существование последовательностей , таких, что

.

Тогда для достаточно больших k выполнено равенство

,

где , .

Следовательно, .

Из леммы 1 следует, что для достаточно больших x. Так как класс _>x> является индексационным на [0, x], то ([5])

,

,

где , () – ФР с нижним (верхним) индексом n+1 в классе _>x>.

Так как ФР имеет индекс (n+1)^- в  и , то

.

Из (1) следует, что

.

Вид экстремальных ФР и для рассматриваемых классов имеется в [5].

2⁰. Второй подход продемонстрируем на примере класса _>0> всех ФР на 

Лемма 2. Если u_>0>, u_>1>, …, u_>n> – T_>+>-система на , то для всех i и j существуют пределы .

Доказательство. Из определения T_>+>-системы следует, что для произвольных i, j и чисел  функции u_>j>(t) и u_>j>(t)+u_>j>(t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках.

Пусть х – наибольшее решение уравнения u_>j>(t)=0. Рассмотрим уравнение

u_>j>(t)+u_>j>(t)=0, t>x. (3)

Уравнение (u_>i>(t)0, t>x) имеет не более (n+1) решений на (x, ) при любых .

Пусть , .

Допустим, что не существует, т. е. А<B.

Введем последовательности {t_>i>}_>i>_>>_>1>, {_>i>}_>i>_>>_>1>, удовлетворяющие условиям:

а) t_>k>_>k> при k;

б) , ;

в) t_>1><_>><t_>2><_>><…<t_>m><_>m><… .

Пусть c(A, B).

Из-за непрерывности функции на (x, ) уравнение

имеет бесконечное множество решений на (x, ).

Выберем 0j_>0>n так, чтобы для всех и обозначим .

Пусть число t_>0> таково, что при t>t_>0>.

Рассмотрим функцию

Пусть , , .

Легко видеть, что системы v_>0>, v_>1>, …, v_>n> и v_>0>, v_>1>, …, v_>n>,  являются T_>+>-системами на [0, ).

Предположим, что эти системы являются T_>+>-системами также на [0, ], т. е. для любых 0t_>0><t_>1><…<t_>n>_>-1><t_>n><

, ,

где .

Через обозначим множество ФР _>0>, для которых интегралы , , абсолютно сходятся.

Пусть - моментное пространство класса относительно системы .

Рассмотрим класс непрерывных слева и неубывающих на [0, ) функций .

Имеем , т. е. .

Заметим, что отображение является взаимно однозначным, причем .

Таким образом, - множество всех неубывающих, непрерывных слева функций ограниченной вариации на [0, ).

Пусть .

Необходимо найти

. (4)

Из равенств (_>0>^U)

следует, что задача (4) эквивалентна следующей.

Найти

, (5)

где - множество функций , удовлетворяющих равенствам

, , .

Таким образом, задача в классе _>0> сведена к задаче (5), решение которой приведено, например, в [3].

Именно для любого

,

где - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках при нечетном n и в точках при четном n, - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках при нечетном n и в точках при четном n.

Из приведенных выше рассуждений следует, что

,

,

где , ,

 - величина скачка функции в точке .

Литература

Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – Москва: Наука, 1973.

Таталян К.Р. Экстремальные задачи проблемы моментов на классах распределений. – Дисс. на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МИЭМ, 1988.

Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. – Москва: Наука, 1976.

Даниэлян Э.А., Таталян К.Р. О проблеме моментов на мажоризируемых классах. – Ереван: Межвуз. сб. научн. трудов “Прикладная математика”, № 7, 1988.

Манукян В.Р. О проблеме моментов для индексационных классов распределений. – Ереван: ДАН РА, том XCI, № 4, 1990.