Формации конечных групп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Допущена к защите
Зав. кафедрой Шеметков Л.А.
« » 2007 г.
Об одной проблеме теории
Формации конечных групп
Курсовая работа
Исполнитель:
студент группы М-51 А.И. Рябченко
Научный руководитель:
к.ф.- м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов
Гомель 2007
Оглавление
Введение
Вспомогательные факты
Основные результаты
Заключение
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Кроме общепринятой терминологии [1–3], нам потребуются некоторые определения и обозначения работы [4].
Пусть
– некоторое непустое подмножество
множества всех простых чисел;
– дополнение к
во множестве всех простых чисел. Формация
называется
-насыщенной,
если ей принадлежит всякая группа
,
удовлетворяющая условию
,
где
.
Всякая формация считается 0-кратно
-насыщенной.
При
формация
называется
-кратно
-насыщенной
[4], если
,
где все непустые значения
-локального
спутника
являются
-кратно
-насыщенными
формациями.
Для любых двух
-кратно
-насыщенных
формаций
и
полагают
,
а
,
где
– пересечение всех
-кратно
-насыщенных
формаций, содержащих
.
Через
обозначают решетку
-кратно
-насыщенных
формаций, заключенных между
и
.
Длину решетки
обозначают
и называют
-дефектом
формации
.
-Кратно
-насыщенную
формацию
называют
-приводимой,
если она может быть представлена в виде
решеточного объединения некоторых
своих собственных
-кратно
-насыщенных
подформаций в решетке
.
В противном случае формацию
называют
-неприводимой.
Группа
называют критической, если
– группа минимального порядка из
для некоторых формаций
и
.
Критическая группа
называется
-базисной,
если у формации, ею порожденной, имеется
лишь единственная максимальная
подформация
,
причем
.
В работе [4] А.Н. Скибой и Л.А.
Шеметковым была поставлена задача
описания
-кратно
-насыщенных
формаций
-дефекта
(вопрос 5, [4]). Полученные нами теоремы
1–3 завершают описание
-кратно
-насыщенных
формаций такого типа. В частности,
теорема 1 и теорема 2 позволяют
классифицировать
-приводимые
-кратно
-насыщенные
формации, имеющие
-дефект
,
а в теореме 3 получено описание конечных
групп, порождающих
-неприводимые
формации
-дефекта
2 (
).
Отметим, что при
решение данной задачи получено в работе
[5].
Вспомогательные факты
Следствием теоремы 3.4.3 работы [6] является
Лемма 1. Пусть
–
-кратно
-насыщенная
ненильпотентная формация. Тогда в
имеется по крайней мере одна минимальная
-кратно
-насыщенная
ненильпотентная подформация.
Доказательство следующей леммы аналогично доказательству леммы 20.4 [2].
Лемма 2. Пусть
,
и
–
-кратно
-насыщенные
формации, причем
.
Тогда если
и
соответственно
-дефекты
формаций
и
и
,
то
.
Лемма 3 [4]. Для всех
решетка
модулярна.
Аналогично лемме 14 [7] доказывается
Лемма 4. Пусть
,
где
– некоторая
-кратно
-насыщенная
нильпотентная подформация формации
,
– минимальная
-кратно
-насыщенная
ненильпотентная подформация формации
.
Тогда в формации
не существует минимальных
-кратно
-насыщенных
ненильпотентных формаций, отличных от
.
Лемма 5. Пусть
,
и
–
-насыщенная
формации и
.
Тогда
.
Доказательство аналогично лемме 20.3 [2].
Лемма 6 [8]. При
всякая
-кратно
насыщенная формация, имеющая
-дефект
2, приводима.
Лемма 7 [4]. Пусть
–
-кратно
-насыщенная
формация
.
Тогда спутник
является
-значным.
Лемма 8 [9]. Пусть
– такая полная решетка формаций, что
.
Пусть
–
-локальная
формация с каноническим
-локальным
спутником
,
–
-локальная
формация с минимальным
-локальным
-значным
спутником
.
Тогда в том и только в том случае
–
-критическая
формация, когда
,
где
– такая монолитическая группа с монолитом
,
что либо
,
и
–
-критическая
формация для всех
,
либо
и
–
-критическая
формация.
Лемма 9 [4]. Пусть
,
где
,
и пусть
– минимальный
-значный
спутник формации
.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1)
;
2)
для всех
;
3)
,
спутник
является
-значным
и
– некоторый фиксированный элемент из
,
то
,
где
для всех
,
и, кроме того,
;
4)
,
где
и
для всех
.
Лемма 10 [4]. Пусть
такой внутренний
-кратно
-локальный
спутник формации
,
что
,
.
Тогда
,
где
.
Лемма 11 [10]. Тогда и только
тогда
является минимальной
-кратно
-насыщенной
ненильпотентной формацией, когда
,
где
– такая монолитическая группа с цоколем
,
что либо
,
либо
и выполняется одно из следующих условий:
1)
– группа Шмидта с
,
где
– абелева
-группа,
и
– простое число;
2)
– неабелева
-группа,
,
где
,
причем, если
,
то
и
– простая неабелева группа.
Лемма 12 [6]. Пусть
– монолитическая группа с неабелевым
монолитом
.
Тогда если простое число
делит порядок группы
,
то
.
Лемма 13 [1, с. 26]. Пусть
– произвольная непустая формация и
пусть у каждой группы
-корадикал
не имеет фраттиниевых
-главных
факторов. Тогда если
– монолитическая группа из
,
то
.
Лемма 14 [2, с.168]. Пусть
и
– формации, причем
– локальна и
– группа минимального порядка из
.
Тогда
монолитична, ее монолит совпадает с
и если
–
-группа,
то
.
Лемма 15 [2, с.171]. Если в группе
имеется лишь одна минимальная нормальная
подгруппа и
(
– некоторое простое число), то существует
точный неприводимый
-модуль,
где
– поле из
элементов.
Лемма 16 [4]. Пусть
–
-насыщенная
формация и
– ее
-локальный
спутник. Если
,
то
.
Лемма 17 [4]. Пусть
и
– минимальные
-локальные
-значные
спутники формаций
и
соответственно. Тогда
в том и только в том случае, когда
.
Лемма 18 [10]. Пусть
(
),
где
– такая монолитическая группа с
неабелевым монолитом
,
что
и
.
Тогда
имеет единственную максимальную
-кратно
-насыщенную
подформацию
,
причем
.
Основные результаты
Теорема 1. Пусть
–
-кратно
-насыщенная
формация. Тогда в том и только в том
случае
-дефект
формации
равен 1, когда
,
где
–
-кратно
-насыщенная
нильпотентная подформация формации
,
– минимальная
-кратно
-насыщенная
ненильпотентная подформация формации
,
при этом: 1) всякая
-кратно
-насыщенная
нильпотентная подформация из
входит в
;
2) всякая
-кратно
-насыщенная
ненильпотентная подформация
из
имеет вид
Доказательство.
Необходимость.
Пусть
-дефект
формации
равен 1. Так как
не является нильпотентной формацией,
то по лемме 1 в
входит некоторая минимальная
-кратно
-насыщенная
ненильпотентная подформация
.
По условию
– максимальная
-кратно
-насыщенная
подформация в
.
Значит,
.
Достаточность.
Пусть
,
где
–
-кратно
-насыщенная
нильпотентная подформация формации
,
– минимальная
-кратно
-насыщенная
ненильпотентная подформация
.
Понятно, что
.
Пусть
-дефекты
-кратно
-насыщенных
формаций
,
и
равны соответственно
,
и
.
Поскольку
–
-кратно
-насыщенная
нильпотентная подформация формации
,
то
.
Так как
– минимальная
-кратно
-насыщенная
ненильпотентная формация, то ее
-дефект
равен 1. В силу леммы 2 имеет место
неравенство
.
Если
,
то
– нильпотентная формация, что противоречит
условию
.
Таким образом,
-дефект
формации
равен 1.
Докажем теперь
справедливость утверждения 1) второй
части теоремы. Так как
– максимальная
-кратно
-насыщенная
подформация в
,
то, в силу леммы 3, имеет место решеточный
изоморфизм
Следовательно,
– максимальная
-кратно
-насыщенная
подформация в
.
Тогда, поскольку
,
то всякая
-кратно
-насыщенная
нильпотентная подформация из
входит в
.
Докажем
утверждение 2). Используя лемму 4, получаем,
что в формации
нет минимальных
-кратно
-насыщенных
ненильпотентных подформаций, отличных
от
.
Пусть теперь
– произвольная
-кратно
-насыщенная
ненильпотентная подформация из
.
Тогда в силу уже доказанного и леммы 4
получаем, что
.
Следовательно, применяя лемму 3, получаем
.
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть
–
-приводимая
формация,
.
Тогда и только тогда
-дефект
формации
равен 2, когда
удовлетворяет одному из следующих
условий: 1)
,
где
,
и
– различные минимальные
-кратно
-насыщенные
ненильпотентные формации; 2)
,
где
,
–
-неприводимая
формация
-дефекта
2,
,
причем если
,
то
.
Доказательство.
Заметим, что
при
,
справедливость утверждения теоремы
вытекает из теоремы 1.1 [5], а также теоремы
1 работы [11]. Поэтому мы можем считать,
что
.
Необходимость.
Пусть
-дефект
формации
равен 2,
– такая максимальная
-кратно
-насыщенная
подформация формации
,
что
-дефект
формации
равен 1. По теореме 1 получаем
,
где
– минимальная
-кратно
-насыщенная
ненильпотентная формация, а
.
Если в формации
имеется еще одна минимальная
-кратно
-насыщенная
ненильпотентная подформация
,
отличная от
,
то, в силу леммы 4,
.
Значит,
и выполнено условие 1).
Пусть теперь
в формации
нет отличных от
минимальных
-кратно
-насыщенных
ненильпотентных подформаций. Поскольку
–
-приводимая
формация, то в
найдется такая группа
,
что
.
Понятно, что
.
Ввиду леммы 5
-дефект
формации
меньше или равен 2. Поскольку
и
-дефект
формации
равен 1, то
-дефект
формации
не равен 0. Допустим, что
-дефект
формации
равен 1. Тогда по теореме 1 и предположению
о единственности
получаем, что
,
где
.
Значит,
где
.
Но тогда в силу леммы 2
-дефект
формации
равен 1. Противоречие. Поэтому
-дефект
формации
равен 2. Тогда
,
так как иначе
,
что противоречит максимальности формации
в формации
.
Таким образом,
Предположим,
что
–
-неприводимая
формация. Заметим, что если
и
–
-насыщенная
формация, то
является насыщенной формацией.
Действительно, из
-насыщенности
формации
получаем, что для любой группы
из условия
следует, что
.
Но
.
Значит,
.
Тогда получаем, что из условия
следует, что
.
Таким образом,
является насыщенной формацией. Ввиду
леммы 6 всякая
-кратно
насыщенная формация, имеющая нильпотентный
дефект 2, приводима. В этом случае
– приводимая
-кратно
насыщенная формация. Противоречие.
Поэтому
.
Тогда получаем, что формация
удовлетворяет условию 2).
Пусть теперь
–
-приводимая
формация. Воспользуемся индукцией по
числу разрешимых
-кратно
-насыщенных
подформаций однопорожденной формации
.
Обозначим через
максимальную
-кратно
-насыщенную
подформацию формации
,
имеющую
-дефект,
равный 1. Так как
–
-приводимая
формация, то в
существует такая группа
,
что
.
Ввиду максимальности формации
в формации
справедливо
.
По теореме 1 и предположению единственности
получаем, что
,
где
– некоторая нильпотентная
-кратно
-насыщенная
подформация формации
.
Тогда
.
Заметим, что повторяя приведенные выше
рассуждения для
,
получаем, что либо формация
(где
)
удовлетворяет условию 2), и необходимость
доказана, либо формация
является
-приводимой
формацией
-дефекта
2. Понятно, что
,
так как иначе
,
что противоречит максимальности формации
в
.
Поскольку
– собственная
-кратно
-насыщенная
подформация формации
,
то число разрешимых подформаций формации
меньше чем у
.
Ввиду замечания 3 [4] в однопорожденной
формации
имеется лишь конечное множество
разрешимых
-кратно
-насыщенных
подформаций. Поэтому, повторяя описанные
выше действия, через конечное число
шагов мы придем к ситуации, когда либо
формация
(где
)
удовлетворяет условию 2) и необходимость
доказана, либо
,
где
–
-приводимая
формация
-дефекта
2,
– наименьшая неединичная разрешимая
подформация формации
,
такая что
.
Обозначим через
максимальную
-кратно
-насыщенную
подформацию формации
,
имеющую нильпотентный
-дефект,
равный 1. Так как
–
-приводимая
формация, то в
существует такая группа
,
что
.
Ввиду максимальности формации
в формации
справедливо
.
По теореме 1 и предположению единственности
получаем, что
,
где
– некоторая нильпотентная
-кратно
-насыщенная
подформация формации
.
Тогда
Но
по предположению индукции. Следовательно,
формация
не может быть
-приводимой
формацией. Значит,
,
где
,
–
-неприводимая
формация
-дефекта
2. Необходимость доказана.
Достаточность.
Пусть
,
где
,
и
– различные минимальные
-кратно
-насыщенные
ненильпотентные формации. Пусть
,
,
и
-дефекты
формаций
,
,
и
соответственно. Тогда по лемме 2
-дефект
формации
не
превосходит
.
С другой стороны по лемме 5
-дефект
формации
больше
либо равен
.
Таким образом,
-дефект
формации
равен 2.
Аналогично
рассматривается случай, когда
,
где
,
–
-неприводимая
формация
-дефекта
2. Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть
–
-кратно
-насыщенная
формация
.
Тогда и только тогда формации
–
-неприводимая
формация
-дефекта
2, когда
,
где
– такая монолитическая группа с цоколем
,
что выполняется одно из следующих
условий:
1)
,
где
–
-группа,
,
а
– группа, удовлетворяющая одному из
следующих условий:
1.1) циклическая примарная
группа порядка
;
1.2) неабелева группа порядка
простой нечетной экспоненты
;
1.3) монолитическая группа с
цоколем
и
–
-группа;
2)
– неабелева группа,
,
а группа
удовлетворяет
одному из следующих условий:
2.1)
-группа,
где
;
2.2) элементарная абелева
-группа,
;
2.3) подпрямое произведение
групп изоморфных
,
где
– такая монолитическая группа с цоколем
,
что
– неабелева группа,
;
3)
–
-группа,
формация
имеет
-дефект
1,
–
-базисная
группа, где
,
,
а
– такая монолитическая группа с цоколем
,
что выполнено одно из следующих условий:
3.1)
– группа Шмидта с
,
где
– абелева
-группа,
и
– простое число,
;
3.2)
– неабелева группа, причем
;
3.3)
–
-группа.
Доказательство.
Необходимость. Пусть
–
-неприводимая
формация
-дефекта
2,
– максимальная
-кратно
-насыщенная
подформация формации
с каноническим спутником
.
Заметим, что ввиду леммы 7 спутник
является
-кратно
-локальным.
Тогда
является минимальной
-кратно
-насыщенной
не
-формацией.
Пусть
и
– минимальные
-кратно
-локальные
спутники формаций
и
соответственно. В силу замечания 2 [4]
имеем
,
для всех
.
Применяя лемму 8, получим,
что
,
где
– такая монолитическая группа с цоколем
,
что либо
(,
и
–
-критическая
формация для всех
,
либо
и
–
-критическая
формация. По теореме 1
,
где
– минимальная
-кратно
-насыщенная
ненильпотентная подформация формации
,
.
Предположим, что
.
Тогда найдется простое число
.
Пусть
– группа порядка
.
Тогда
.
Так как
– максимальная
-кратно
-насыщенная
подформация формации
и
,
то
.
Но формация
является
-неприводимой
по условию теоремы. Противоречие.
Следовательно,
.
Пусть
и
– минимальные
-кратно
-локальные
спутники формаций
и
соответственно. По лемме 9 формации
и
имеют такие внутренние
-кратно
-локальные
спутники
и
,
принимающие соответственно значения
,
при
,
,
при
,
,
при
,
и
,
при
,
,
при
,
,
при
.
Ввиду леммы 10 справедливо равенство
.
В силу леммы 11
,
где
– такая монолитическая группа с цоколем
,
что либо
,
либо
и выполняется одно из следующих условий:
(1)
–группа Шмидта с
,
где
– абелева
-группа,
и
– простое число;
(2)
– неабелева
-группа
,
где
.
Заметим, что если
,
то любая
-насыщенная
подформация из
является насыщенной. Следовательно,
любая
-кратно
-насыщенная
подформация формации
является
-кратно
насыщенной. По лемме 6 при
всякая
-кратно
насыщенная формация с
-дефектом
2 приводима. Поэтому при
формация
не может быть
-неприводимой
формацией, что противоречит условию.
Таким образом,
.
Допустим, что
– неабелев цоколь группы
.
Пусть
и
.
Тогда по лемме 12 имеем
.
Значит,
Пусть для формации
выполнено условие (1). Предположим, что
.
Так как
,
то имеем
.
Тогда
– минимальная
-кратно
-насыщенная
не
-формация.
Значит,
,
и
-дефект
формации
равен 1 по лемме 11. Противоречие.
Поэтому
.
Используя лемму 9, имеем
.
Следовательно,
.
Покажем, что
.
Действительно, если
,
то найдется такое
,
что
.
Поскольку
,
то
.
Тогда
.
Так как
делит порядок
,
то по лемме 12 имеем
.
Тогда
– минимальная
-кратно
-насыщенная
не
-формация.
Поскольку
и
,
то
.
Так как при этом
и
,
то
.
Но
.
Противоречие. Поэтому
.
По лемме 9 имеем
Следовательно,
и
является минимальной
-кратно
-насыщенной
не
-формацией.
Ясно также, что
,
поскольку в противном случае
-дефект
формации
равен 1 в силу леммы 11.
Если
,
то
.
Значит,
является минимальной
-кратно
-насыщенной
не
-формацией.
Поэтому
.
Значит,
,
и формация
удовлетворяет условию 2.1) теоремы.
Если
,
то
.
Тогда
.
Так как
,
то
,
т.е.
является элементарной абелевой
-группой,
и формация
удовлетворяет условию 2.2) теоремы.
Пусть для формации
выполнено условие (2). Покажем, что
.
Предположим, что существует
.
Тогда
.
Значит,
– минимальная
-кратно
-насыщенная
не
-формация.
Последнее невозможно, так как
.
Поэтому
.
Но
.
Следовательно,
.
Ввиду леммы 12,
.
Так как
,
то
– минимальная не
-формация.
Значит,
.
Но, как нетрудно показать,
.
Если
,
то по лемме 11
-дефект
формации
равен 1. Противоречие. Следовательно,
и
.
Но тогда
Так как при этом группа
является монолитической группой с
неабелевым цоколем
,
то применяя лемму 13 получим, что
– подпрямое произведение групп изоморфных
группе
.
Таким образом, группа
удовлетворяет условию 2.3) теоремы.
Пусть теперь
– такая формация, что
– монолитическая группа с цоколем
,
.
Так как
,
то
.
Но тогда
– минимальная
-кратно
-насыщенная
не
-формация.
Значит,
и по лемме 11 получаем, что
-дефект
формации
равен 1. Противоречие. Таким образом,
данный случай невозможен.
Пусть
– абелева
-группа,
.
Тогда по лемме 14 имеем
.
Пусть формация
удовлетворяет условию (1).
Предположим, что
.
Тогда
.
Значит,
– минимальная
-кратно
-насыщенная
не
-формация.
Пусть
– группа минимального порядка из
.
Тогда
является монолитической группой с
цоколем
.
Ясно, что
и
.
Применяя лемму 15, получаем, что существует
точный неприводимый
-модуль
.
Обозначим через
.
Ввиду леммы 16 группа
.
Так как
,
то
.
Поскольку
и формация
разрешима, то
– абелева
-группа
для некоторого простого числа
.
Но
.
Если
,
то группа
нильпотентна. Поскольку
,
то
– группа простого порядка
.
Но тогда по лемме 11 получаем, что
-дефект
формации
равен 1. Противоречие. Поэтому
.
Так как при этом
,
то
,
что невозможно. Поэтому
.
Но тогда
и
– минимальная
-кратно
-насыщенная
не
-формация.
Рассмотрим группу
.
Тогда
является монолитической группой с
цоколем
.
Поскольку
и формация
разрешима, то
– абелева
-группа
для некоторого простого числа
.
Ясно, что
.
Применяя лемму 15, получаем, что существует
точный неприводимый
-модуль
.
Обозначим через
.
Ввиду леммы 16 группа
.
Так как
,
то
.
Но
.
Значит,
.
Но
– монолитическая группа. Значит,
–
-группа.
Если
,
то
,
что невозможно. Значит,
.
Если
,
то по лемме 11
-дефект
формации
равен 1. Противоречие. Следовательно,
.
Поскольку
,
то
.
Таким образом,
и
.
Тогда
– минимальная не
-формация.
Поскольку группа
нильпотентна, то любая собственная
подгруппа из
принадлежит
.
Таким образом,
– минимальная не
-группа.
Так как при этом
–
-группа,
то
либо циклическая примарная группа
порядка
,
либо неабелева группа порядка
простой нечетной экспоненты
.
Но тогда группа
удовлетворяет условию 1.1) или 1.2) теоремы.
Пусть для формации
выполнено условие (2). Допустим, что
.
Тогда
.
Значит,
– минимальная
-кратно
-насыщенная
не
-формация.
Поскольку
,
то
.
Так как при этом
,
то
.
Если
,
то
,
что невозможно. Значит,
.
Но
.
Следовательно,
.
Противоречие. Таким образом,
.
Тогда
и
– минимальная
-кратно
-насыщенная
не
-формация.
Выберем в
группу
минимального порядка. Тогда
– монолитическая группа с цоколем
и
.
Применяя лемму 15, получаем, что существует
точный неприводимый
-модуль
.
Обозначим через
.
Ввиду леммы 16 группа
.
Так как
,
то
.
Предположим, что
– неабелев
цоколь группы
.
Ввиду того, что
и
то
.
Следовательно, по лемме 13 имеем
.
Поскольку
и
,
то группа
изоморфна группе
.
Но тогда
.
Однако
.
Поэтому
и
-дефект
формации
равен 1. Противоречие. Следовательно,
– абелева
-группа,
для некоторого простого числа
.
Допустим, что
.
Пусть
– группа порядка
.
Тогда
.
Пусть
– точный неприводимый
-модуль
и
.
Применяя лемму 16, получим
.
Ввиду леммы 11 формация
имеет
-дефект
1. Поскольку
и
,
то мы получаем противоречие с леммой
5. Значит,
.
Поскольку
и
то
.
Следовательно, по лемме 13 имеем
Так как
и
,
то группа
изоморфна группе
.
Но
– неабелева
-группа.
Противоречие. Следовательно, данный
случай невозможен.
Пусть формация
такая, что
.
Так как
,
то
.
Но тогда
– минимальная
-кратно
-насыщенная
не
-формация.
Пусть
– группа минимального порядка из
.
Тогда
является монолитической группой с
цоколем
.
Понятно, что
и
.
Применяя лемму 15 получаем, что существует
точный неприводимый
-модуль
.
Обозначим через
.
Ввиду леммы 16 группа
.
Так как
,
то
.
Пусть
– абелева
-группа
для некоторого простого числа
.
Если
,
то
.
Противоречие. Значит,
.
Кроме того, понятно, что
.
Так как в противном случае
и по лемме 11 формация
имеет
-дефект
1, что невозможно. Поскольку
и
,
то
.
Тогда по лемме 13 получим, что
.
Так как
и
,
то группа
изоморфна группе
.
Пусть
– неабелев цоколь группы
.
Тогда так как
и
,
то
.
Применяя теперь лемму 13, заключаем, что
.
Так как
и
получаем, ввиду монолитичности
,
что группы
и
изоморфны.
Кроме того, заметим, что
.
Поскольку иначе найдется группа
простого порядка
,
такая, что
.
Пусть
– точный неприводимый
-модуль
и
.
Применяя лемму 16, получим
.
Ввиду леммы 11 формация
имеет
-дефект
1. Поскольку
и
,
то мы получаем противоречие с леммой
5. Значит,
.
Таким образом, группа
удовлетворяет условию 1.3) теоремы.
Пусть теперь
–
-группа
и пусть формация
удовлетворяет условию (1) или (2). Тогда
или, соответственно,
.
Если
,
то
или
.
Но
–
-группа.
Значит,
.
Противоречие. Поэтому
.
Но тогда
– единственная максимальная подформация
и
–
-базисная
группа. Если
,
то по лемме 11 формация
имеет
-дефект
1. Противоречие. Значит,
.
Так как при этом,
,
то
-дефект
формации
равен 1. Значит,
удовлетворяет условию 3.1) или 3.2) теоремы.
Пусть теперь для формации
выполняется условие
.
Тогда по лемме 8
– минимальная
-кратно
-насыщенная
не
-формация.
Снова применяя лемму 8, получим, что
–
-критическая
формация, …,
– минимальная не
-формация
и
–
-базисная
группа. Если
,
то по лемме 11 формация
имеет
-дефект
1. Противоречие. Значит,
.
Так как при этом,
,
то
-дефект
формации
равен 1. Таким образом, группа
удовлетворяет условию 3.3) теоремы.
Достаточность.
Пусть для формации
выполнено условие 1) теоремы и
– циклическая примарная группа порядка
,
.
Пусть
– минимальный
-кратно
-локальный
спутник формации
.
По лемме 14 имеем
.
Так как
,
то
.
Заметим, что
является единственной максимальной
подформацией формации
,
где
– группа порядка
.
Построим
-кратно
-локальный
спутник
,
принимающий следующие значения
,
при
,
,
при
.
Рассмотрим
-кратно
-насыщенную
формацию
.
Пусть
– минимальный
-кратно
-локальный
спутник формации
.
Тогда так как
,
то, ввиду леммы 17,
.
Пусть
– произвольная собственная
-кратно
-насыщенная
подформация формации
.
И пусть
– минимальный
-кратно
-локальный
спутник формации
.
Если
,
то так как
,
получаем
.
Следовательно,
.
Противоречие. Значит,
.
Тогда, так как
– единственная максимальная подформация
,
то
и
для
,
т.е.
.
По лемме 17 получаем, что
.
Таким образом,
– единственная максимальная
-кратно
-насыщенная
подформация формации
,
т.е.
является
-неприводимой
формацией.
Поскольку
,
то ввиду леммы 15 существует точный
неприводимый
-модуль
,
где
– поле из
элементов. Пусть
.
Тогда, так как
,
то, ввиду леммы 16,
.
Если предположить, что
,
то по лемме 17 получаем
,
где
– минимальный
-кратно
-насыщенный
спутник формации
.
Но тогда
.
Противоречие. Значит,
,
т.е. формация
порождается группой Шмидта и имеет
нильпотентный
-дефект
1. Но тогда
-дефект
формации
равен 2.
Случаи, когда
– неабелева группа порядка
простой нечетной экспоненты
,
и
– монолитическая группа с цоколем
,
где
–
-группа,
рассматриваются аналогично.
Пусть для формации
выполнено условие 2) теоремы. Построим
-значный
-локальный
спутник
,
принимающий следующие значения:
,
при
,
,
при
.
Ясно, что
.
Рассмотрим
-кратно
-насыщенную
формацию
,
порожденную спутником
.
Пусть
– минимальный
-кратно
-локальный
спутник формации
.
Тогда так как
,
то, ввиду леммы 17,
.
Пусть
– произвольная собственная
-кратно
-насыщенная
подформация формации
,
– ее минимальный
-значный
-локальный
спутник. Тогда
для любого
.
Кроме того, как нетрудно показать, имеет
место включение
Поэтому
.
Таким образом,
– единственная максимальная
-кратно
-насыщенная
подформация формации
,
т.е.
является
-неприводимой
формацией.
В силу леммы 11
-дефект
-кратно
-насыщенной
формации
равен 1. Но тогда
-дефект
-неприводимой
формации
равен 2.
Пусть для формации
выполнено условие 3). Построим
-локальный
спутник
– такой, что
и
для любого
.
Так как группа
является
-базисной,
то всякая подформация из
содержится в
.
Следовательно, формация
по лемме 8 является
-критической.
Пусть теперь
– такой
-значный
-локальный
спутник, что
и
для любого
.
Снова применяя лемму 8, получаем, что
формация
является
-критической
и т.д. Построим
-значный
-локальный
спутник
такой, что
и
для любого
.
Опять применяя лемму 8, получим, что
формация
является
-критической.
Заметим также, что ввиду леммы 11
-дефект
-кратно
-насыщенной
формации
равен 1. Следовательно,
-дефект
-неприводимой
формации
равен 2. Теорема доказана.
Заключение
Дано решение проблемы описания
-кратно
-насыщенных
формаций
-дефекта 2,
поставленной А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым
в работе «Кратно
-локальные
формации и классы Фиттинга конечных
групп» (Матем. Труды. – 1999. – Т.2, №2. –
С. 114-147, проблема 5). В частности, установлено
внутреннее решеточное строение
-приводимых
формаций
-дефекта
2;
получено описание конечных групп,
порождающих
-неприводимые
формации
-дефекта
2.
ЛИТЕРАТУРА
Шеметков Л.А. Формации конечных групп. – М., 1978. – 267 с.
Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. – М., 1989. – 256 с.
Скиба А.Н. Алгебра формаций. – Мн.: Беларуская навука, 1997. – 240 c.
Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Кратно
-локальные
формации и классы Фиттинга конечных
групп // Матем. труды. –1999. – Т.2, №2. –
С. 114–147.
Частично локальные формации с заданными системами подформаций: отчет о НИР (заключительный): ГБЦМ 20-07 / УО «Гомельский государственный университет имени Ф.Скорины»; рук. В.Г.Сафонов; исполн.: В.М.Селькин, В.В.Аниськов. – Гомель, 2001. – 69 с. – Библиогр.: с. 66-69. – № ГР 2000419.
Шаблина И.П. Модулярные и
алгебраические решетки
-кратно
-насыщенных
формаций конечных групп: Дис. … канд.
физ.-мат. наук. – Гомель, 2003. – 92 с.
Рябченко А. И О частично насыщенных
формациях с
-дефектом
1 // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук.
– 2008. – № 1 .– С.28–34.
Сафонов В.Г. О минимальных кратно
локальных не
-формациях
конечных групп // Вопросы алгебры.
Гомель: Изд-во Гом-го ун-та, 1995. – Вып.
8. – С. 109–138.
Селькин В.М., Скиба А.Н. О
-критических
формациях // Вопросы алгебры. – Гомель:
Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины, 1999. – Вып. 14. –
С. 127–131.
Рябченко А. И. О минимальных
-кратно
-насыщенных
ненильпотентных формациях // Вестник
Полоцкого государственного университета.
Сер. С. – 2008. – №5. – C.
41–46.
Рябченко А. И. К теории частично насыщенных формаций // Изв. Гом.гос.унив.им.Ф.Скорины. – 2008. – №6(51). Ч.2.– С. 153–160.
1