Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Контрольна робота

З дисципліни: Теорія ймовірностей та математична статистика

Прізвище,ім’я, по-батькові студента

Данiщук Мирослава Евгенiївна

Прізвище та ініціали викладача

Степахно Ірина Василівна

Київ 2009 рік

Зміст

Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Завдання 4

Завдання 5

Завдання 6

Завдання 7

Список використаної літератури

Завдання 1

В ящику 50 куль: 36 жовтих і 14 синіх. З ящика навмання виймають одну кулю. Визначити ймовірність того, що ця куля:

а) жовта; б) синя.

Розв’язання:

Ймовірність того, що з ящика наймання виймають жовту кулю становить відношення кількості жовтих кульок до загального числа кульок:

а) Рч = 36/50 = 0,72

Ймовірність того, що з ящика наймання виймають синю кулю становить відношення кількості синіх кульок до загального числа кульок:

б) Рс = 14/50 = 0,28.

Відповідь: а) 0,72; б) 0,28.

Завдання 2

Імовірність несплати податку для кожного з n підприємців становить p. Визначити ймовірність того, що не сплатять податки не менше m>1> і не більше m>2> підприємців.

n=300; p=0,05; m>1>=25; m>2>=60

n=500; p=0,05; m>1>=10; m>2>=250

Розв’язання:

Якщо випадкова величина попадає в інтервал .

Позначимо шукану імовірність Р>n> (m).

Ми доведемо що має місце наступна формула Бернуллі:

Позначимо через В>m> складна подія, що полягає в тому, що в n досвідах подія А відбулося точно m раз. Запис буде означати, що в першому досвіді подія А відбулося, у другі і третьому - не відбулися і т.п. Тому що досвіди проводяться при незмінних умовах, те

Подія В>m> можна представити у виді суми всіляких подій зазначеного виду, причому в кожнім доданку буква А без риси зустрічається точно m раз. Доданки в цій сумі несумісні й імовірність кожного доданка дорівнює Щоб підрахувати кількість доданків, помітимо, що їх стільки, скільки є способів для вибору m місць для букви А без риси. Але m місць з n для букви А можна вибрати способами. Отже,

Завдання 3

Задано ряд розподілу добового попиту на певний продукт Х. Знайти числові характеристики цієї дискретної випадкової величини:

А) математичне сподівання М (Х);

Б) дисперсію D (X);

В) середнє квадратичне відхилення σ >Х.>

Х

1

3

5

7

11

p

0,10

0,15

0,42

0,25

0,08

Розв’язання.

а) Математичне сподівання величини визначається як:

Запишемо результати в таблиці.

Х

1

3

5

7

11

P

0,10

0,15

0,42

0,25

0,08

Х*Р

0,10

0,45

2,10

1,75

0,88

б) Дисперсія визначається як:

Х

1

3

5

7

11

Р (Х)

0,10

0,15

0,42

0,25

0,08

Х - М (Х)

-4,28

-2,28

-0,28

1,72

5,72

(Х - М (Х)) 2

18,32

5, 20

0,08

2,96

32,72

P (Х) * (Х - М (Х)) 2

1,83

0,78

0,03

0,74

2,62

Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.

D (Х) =6,00.

в) середнє квадратичне відхилення δ>х> знаходиться як корінь квадратний з дисперсії.

Завдання 4

Знаючи, що випадкова величина Х підпорядковується біноміальному закону розподілу з параметрами n, p, записати ряд розподілу цієї величини і знайти основні числові характеристики:

А) математичне сподівання М (Х);

Б) дисперсію D (X);

В) середнє квадратичне відхилення σ >Х. >n=3; p=0,5

Розв’язання.

Біноміальний закон розподілу описується наступним виразом:

Підставивши значення параметрів, отримаємо:

Запишемо ряд розподілу цієї величини:

Таблиця 1

m

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

P>n> (m)

Таблиця 2

Х

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

P>n> (Х)

1.29E-01

9.68E-03

4.84E-04

1.82E-05

5.45E-07

1.36E-08

2.92E-10

5.47E-12

9.12E-14

1.37E-15

Рис.1. Графік біноміального розподілу

а) Математичне сподівання величини визначається як:

Запишемо результати в таблиці 3.

Таблиця 3

Х

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

P>n> (Х)

1.29E-01

9.68E-03

4.84E-04

1.82E-05

5.45E-07

1.36E-08

2.92E-10

5.47E-12

9.12E-14

1.37E-15

ХP (Х)

1.29E-01

1.94E-02

1.45E-03

7.26E-05

2.72E-06

8.17E-08

2.04E-09

4.38E-11

8.21E-13

1.37E-14

б) Дисперсія визначається як:

Таблиця 4

Х

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Сума

Х-M (Х)

0.850

1.850

2.850

3.850

4.850

5.850

6.850

7.850

8.850

9.850

53.500

(Х-M (Х)) 2

0.723

3.423

8.123

14.823

23.523

34.223

46.923

61.623

78.323

97.023

368.725

P>n> (Х)

0.129

0.010

4.84E-04

1.82E-05

5.45E-07

1.36E-08

2.92E-10

5.47E-12

9.12E-14

1.37E-15

0.139

(Х-M (Х)) 2P (m)

0.093

0.033

3.93E-03

2.69E-04

1.28E-05

4.66E-07

1.37E-08

3.37E-10

7.14E-12

1.33E-13

0.131

Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.

D (Х) =0,131.

в) середнє квадратичне відхилення δ>х> знаходиться як корінь квадратний з дисперсії.

Завдання 5

Побудувати графік функції щільності розподілу неперервної випадкової величини Х, яка має нормальний закон розподілу з математичним сподіванням М (Х) =а і проходить через задані точки.

a=5

x

1

2

4

5

f (x)

0,033

0,081

0,081

0,033

a=2

x

0,5

1

3

3,5

f (x)

0,13

0,24

0,24

0,13

Розв’язання.

а) М (Х) =5.

Нормальний закон розподілу описується формулою:

Знайдемо середньоквадратичне відхилення.

Дисперсія визначається як:

,

де М (Х) - математичне сподівання.

Математичне сподівання обчислюється за формулою:

Допоміжні розрахунки представлені в таблиці 5.

Таблиця 5

Допоміжні розрахунки

Сума

x

1

2

4

5

12,00

f (x)

0,033

0,081

0,081

0,033

0,228

16,000

9,000

1,000

0,000

26,000

0,528

0,729

0,081

0,000

5,928

Отже, D (X) = 5,928

Підставивши значення у вираз для ймовірності, отримаємо:

б) М (Х) =2.

Допоміжні розрахунки представлені в таблиці 6.

Таблиця 6

Допоміжні розрахунки

Сума

x

0,5

1

3

3,5

8,00

f (x)

0,13

0,24

0,24

0,13

0,74

2,25

1

1

2,25

6,50

0,29

0,24

0,24

0,29

1,07

Отже, D (X) = 1,07.

Підставивши значення у вираз для ймовірності, отримаємо:

Завдання 6

Задано вибірку, яка характеризує місячний прибуток підприємців (у тисячах гривень).

скласти варіаційний ряд вибірки.

побудувати гістограму та полігон частот, розбивши інтервал на чотири-шість рівних підінтервалів.

обчислити моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду.

Розв’язання.

Складемо варіаційний ряд.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

73

68

70

65

73

71

66

69

78

70

67

67

67

76

71

72

68

74

73

70

Побудуємо інтервальний ряд (4 інтервали) з рівними інтервалами. Ширина інтервалу ряду визначається співвідношенням:

,

де і - відповідно максимальне та мінімальне значення реалізацій випадкових величин.

; ; n = 4.

.

Таблиця 7

І

ІІ

ІІІ

ІV

65,00 - 68,25

68,25 - 71,50

71,50 - 74,75

74,75 - 78,00

65

66

67

67

67

68

68

69

70

70

70

71

71

72

73

73

73

74

76

78

f=7

6

5

2

S=7

13

18

20

Побудуємо гістограму розподілу.

Рис.1. Гістограма розподілу

Побудуємо полігон частот як лінію, що сполучає середини інтервалів

Рис.2. Полігон частот

3) Обчислимо моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду.

Мода М>о> - найпоширеніше значення ознаки, тобто варіанта, яка в ряду розподілу має найбільшу частоту.

Мода визначається, як:

,

де х>о> та h - відповідно нижня межа та ширина модального інтервалу;

- частоти модального, передмодального та післямодального інтервалу.

З таблиці 2.1 найбільше число реалізацій величини з інтервалу 65,00 - 68,25. Це модальний інтервал, ширина якого h=3,25, нижня межа x>o>=65,00, частота f>mo>=7, передмодальна частота f>mo-1>=0, післямодальна частота f>mo+1>=6. Маємо:

Медіана Ме - це варіанта, яка припадає на середину упорядкованого ряду розподілу і ділить його дві рівні за обсягом частини:

,

де f>me> - частота медіанного інтервалу;

S>fme-1> - кумулятивна частота передмедіанного інтервалу:

В інтервальному ряду медіанним буде значення ознаки, для якої кумулятивна частота перевищує або дорівнює половині обсягу сукупності.

Кумулятивна частота S>me3 >= 13, S>me2-1 >= 7, f>me >= 6, х>о >= 68,25, h=3,25.

Підставивши у (2.2), маємо:

Середнє арифметичне обчислюється за формулою:

Дисперсія обчислюється за формулою:

Тому знайдемо спочатку середній квадрат значень.

Ексцес Ek характеризує крутизну кривої розподілу.

,

де - центральний момент четвертого порядку.

У нашому випадку:

Отже, крива розподілу має лівосторонній нахил.

Результати обчислень наведені у табл.8.

Таблиця 8

65,00 - 68,25

68,25 - 71,50

71,50 - 74,75

74,75 - 78,00

Сума

x

66.63

69.88

73.13

76.38

286.00

x2

4 438.89

4 882.52

5 347.27

5 833.14

20 501.81

f

7

6

5

2

20.00

S

7

13

18

20

58.00

dj

0.35

0.30

0.25

0.10

1.00

xjdj

23.32

20.96

18.28

7.64

70.20

xj2dj

1 553.61

1 464.75

1 336.82

583.31

4 938.50

(xcp-m) 3

-45.69

-0.03

25.03

235.46

214.76

(xcp-m) 3dj

-15.99

-0.01

6.26

23.55

13.80

(xcp-m) 4

163.34

0.01

73.20

1 453.94

1 690.50

(xcp-m) 4dj

57.17

0.00

18.30

145.39

220.87

Завдання 7

Перевірити, чи справджується статистична гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності за даними вибірки:

x>i>

2

5

9

11

12

15

18

19

21

m>i>

1

2

3

8

19

18

16

13

9

Рис.1.

Нормальний розподіл задається функцією:

Розрахуємо значення середньоквадратичного відхилення (таблиця 9.1).

.

Таблиця 9.1

x>i>

2

5

9

11

12

15

18

19

21

Всього

m>i>

1

2

3

8

19

18

16

13

9

89

p>і>

0,01

0,02

0,03

0,09

0,21

0, 20

0,18

0,15

0,10

1,00

Σх>і>р>і>

0,02

0,11

0,30

0,99

2,56

3,03

3,24

2,78

2,12

15,16

(х>і> - х>ср>)

-13,16

-10,16

-6,16

-4,16

-3,16

-0,16

2,84

3,84

5,84

-24,42

(х>і> - х>ср>) 2

173,11

103,17

37,91

17,28

9,97

0,02

8,08

14,77

34,14

398,46

За методом χ2-критерію узгодженості Пірсона порівнюється з критичним значенням відносна сума квадратів відхилень дослідного числа попадань в кожний інтервал h>k> від теоретичного їх числа fp>k>, де p>k> -ймовірність попадання величини х в k-й інтервал.

Теоретичний розподіл можна вважати правдоподібним при рівня значущості α, якщо буде виконуватись нерівність:

,

де -квантиль χ2-критерію розподілу Пірсона, що відповідає значенню параметра f=k-3;

p>j>=F (b>k> - a>k>) = -

теоретичне значення попадання параметру в к-й інтервал

Параметри теоретичного розподілу вибираємо, виходячи з принципу максимальної правдоподібності: .

Таблиця 9.2

Результати обчислень перевірки гіпотези про нормальний розподіл

k

Значення

p>k>

f>j>

(f>j>-np>k>) /np>k>

1

2

0,425

1

0,177

2

5

0, 193

2

1,077

3

9

0,092

3

2,619

4

11

0,073

8

8,971

5

12

0,067

19

22,579

6

15

0,060

18

18,997

7

18

0,066

16

12,523

8

19

0,071

13

8,651

9

21

0,088

9

3,856

Сума

112

1,134

89

79,451

Рис.1. Емпіричні дані розподілу

=== 10,48773.

Оскільки 79,45 > 10,4873, то гіпотеза про нормальний закон розподілу не справджується.

Список використаної літератури

  1. Дідиченко М.П. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навчальний посібник для студентів економічних спеціальностей. - Харків, 1996. - 208 с.

  2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособ. для студ. вузов. - 7. изд., стереотип. - М.: Высшая школа, 2001. - 479 с.

  3. Задорожня Т.М., Коляда Ю.В., Мамонова Г.В. Збірник задач з теорії ймовірності та математичної статистики (для студентів економічних спеціальностей): Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / Державна податкова адміністрація України; Академія держ. податкової служби України. - Ірпінь: Академія ДПС України, 2001. - 76 с.

  4. Колемаев В.А. Теория вероятностей в примерах и задачах. Учеб. пособие. - М.: ГУУ, 2001. - 87 с.

  5. Малайчук В.П., Петренко О.М., Рожковський В.Ф. Основи теорії ймовірності і математичної статистики: Навч. посібник / Дніпропетровський національний ун-т. - Д.: РВВ ДНУ, 2001. - 163 с.

  6. Салтыкова О.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие / Восточный ин-т экономики, гуманитарных наук, управления и права. - Уфа: Восточный университет, 2001. - 77 с.

  7. Тимченко Л.С. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навчально-методичний посібник для самостійної роботи студентів економічних спеціальностей. Харків: ХДПУ, 1999. - 140 с.

  8. Трошин Л.И. Теория вероятностей: Учеб. - практ. пособие / Государственный комитет РФ по статистике; Межотраслевой ин-т повышения квалификации руководящих работников и специалистов в области учета и статистики - М.: МИПК учета и статистики, 2001. - 232 с.

  9. Фетисова Т.М., Тарасова О.Ю., Потапов В.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие по решению задач / Южно-Уральский гос. ун-т. Златоустовский филиал. Кафедра высшей математики №3. - Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2000. - 82 с.

  10. Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студ. естеств. спец. вузов. - Минск: Новое знание, 2000. - 206 с.

  11. Филиппенко В.И. Элементы теории вероятностей: Учеб. пособие по курсу "Теория вероятностей" / Криворожский гос. педагогический ин-т. - Кривой Рог, 1993. - 40 с.