Статистическая обработка результатов прямых многоразовых измерений с независимыми равноточными наблюдениями

Розрахунково-графічне завдання

з теми:

«Статистична обробка результатів прямих багаторазових вимірювань з незалежними рівноточними спостереженнями»

Виконала:

Студентка групиАП-48б

Арсентьєва К.Г.

Харків 2010

Исходные данные

Экспериментально получены результаты серии наблюдений напряжения U постоянного размера. Результаты наблюдений считаются независимыми и равноточными (по условиям эксперимента). В общем случае они могут содержать систематическую и случайную составляющие погрешности измерений. Указана доверительная вероятность P=0,95 результата измерения.

Задание

По результатам многократных наблюдений определить наиболее достоверное значение измеряемой физической величины и его доверительные границы.

Таблица 1

U(1)=170.02	U(17)=170.20
U(2)=170.41	U(18)=170.30
U(3)=169.95	U(19)=169.59
U(4)=170.17	U(20)=169.95
U(5)=169.95	U(21)=169.77
U(6)=170.01	U(22)=169.84
U(7)=170.26	U(23)=169.95
U(8)=190.23	U(24)=159.84
U(9)=169.84	U(25)=170.33
U(10)=169.73	U(26)=169.73
U(11)=169.74	U(27)=169.91
U(12)=170.21	U(28)=170.35
U(13)=169.76	U(29)=170.20
U(14)=169.67	U(30)=169.88
U(15)=169.83	U(31)=169.60
U(16)=170.35	U(32)=170.50

Доверительная вероятность: P= 0, 99

Доверительные границы:

Разрядность: 5 разрядов*

Количество наблюдений: n = 32

Обработка результатов измерений

Анализируем серию наблюдений на наличие промахов. Если они имеются, то их необходимо исключить из дальнейшей обработки.

При анализе обнаружен один промах U(8)=190.23 и U(24)=159.84 (В). Исключим его из результатов измерений.

Таблица 2

U(1)=170.02	U(16)=170.20
U(2)=170.41	U(17)=170.30
U(3)=169.95	U(18)=169.59
U(4)=170.17	U(19)=169.95
U(5)=169.95	U(20)=169.77
U(6)=170.01	U(21)=169.84
U(7)=170.26	U(22)=169.95
U(8)=169.84	U(23)=170.33
U(9)=169.73	U(24)=169.73
U(10)=169.74	U(25)=169.91
U(11)=170.21	U(26)=170.35
U(12)=169.76	U(27)=170.20
U(13)=169.67	U(28)=169.88
U(14)=169.83	U(29)=169.60
U(15)=170.35	U(30)=170.50

Проверим соответствие экспериментального закона распределения нормальному закону.

Для этого используем составной критерий согласия. Он включает в себя два независимых критерия, их обозначают I и II. Первый из этих критериев (критерий I) обеспечивает проверку соответствия распределения экспериментальных данных нормального закона распределения вблизи центра распределения, а второй критерий (критерий II) – на краях распределения. Если при проверке не удовлетворяется хотя бы один из этих критериев, то гипотеза о нормальности распределения результатов наблюдений отвергается.

Для проверки гипотезы о нормальности распределения исходной серии результатов наблюдений по критерию I вычисляют параметр d, определяемый соотношением:

(1),

где (В) – среднее арифметическое результатов наблюдений U_>i>, ;

(В) – смещённая оценка СКО результатов наблюдений U_>i>, .

Для облегчения дальнейших расчетов сведём значения и в таблицу:

Таблица 3

i
1.	0.02	0.0004	0.02
2.	0.41	0.1681	0.41
3.	-0.05	0.0025	0.05
4.	0.17	0.0289	0.17
5.	-0.05	0.0025	0.05
6.	0.01	0.0001	0.01
7.	0.26	0.0676	0.26
8.	-0.16	0.0256	0.16
9.	-0.27	0.0729	0.27
10.	-0.26	0.0676	0.26
11.	0.21	0.0441	0.21
12.	-0.24	0.0576	0.24
13.	-0.33	0.1089	0.33
14.	-0.17	0.0289	0.17
15.	0.35	0.1225	0.35
16.	0.20	0.04	0.20
17.	0.30	0.09	0.30
18.	-0.41	0.1681	0.41
19.	-0.05	0.0025	0.05
20.	-0.23	0.0529	0.23
21.	-0.16	0.0256	0.16
22.	-0.05	0.0025	0.05
23.	0.33	0.1089	0.33
24.	-0.27	0.0729	0.27
25.	-0.09	0.0081	0.09
26.	0.35	0.1225	0.35
27.	0.20	0.04	0.20
28.	-0.12	0.0144	0.12
29.	-0.4	0.16	0.4
30.	0.5	0.25	0.5

Рассчитаем параметр d в соответствии с формулой (1):

Результаты наблюдений U_>i> считаются распределёнными по нормальному закону, если выполняется следующее условие

где , - квантили распределения параметра d. Их находят по таблице П.1 α-процентных точек распределения параметра d по заданному объёму выборки n и принятому для критерия I уровню значимости α_>1>. Выберем α_>1> и α_>2> из условия α≤α_>1>+α_>2>, где α=1-Р=1-0,99=0,01.

α_>1>=0,02 и α_>2>=0,01.

Для n=15,р=0,95, α=0,02

a)Для n=30,P=0.99 .

26	0.8901
30	У
31	0.8827

Проведём интерполяцию:

Y(d )=0.8901+0.8(0.8827-0.8901)=0.8901-0.0059=0.8842

Для n=30,P=0.99

26	0.7040
30	У
31	0.7110

Проведём интерполяцию:

Y( )=0,7040+0,8(0,7110-0,7040)=0,7040+0,0056=0,7096

0,7096<0,8643<0,8842

Распределение результатов наблюдений соответствует критерию I.

По критерию II, распределение результатов наблюдений соответствует нормальному закону распределения, если не более m разностей превзошли значение

где (В) – несмещенная оценка СКО результатов наблюдений U_>i>;

- верхняя квантиль распределения интегральной функции нормированного нормального распределения, соответствующая доверительной вероятности Р_>2>. Значение m и Р_>2> находим по числу наблюдений n и уровню значимости α_>2> для критерия II по таблице П.2 приложения. m=2, Р_>2>=0,99. Затем вычисляем:

По таблице П.3 приложения интегральной функции нормированного нормального распределения находят , соответствующее вычисленному значению функции Ф(): при Ф()=0,995;=2,82;

=2,82*0,2597=0,7323 (В).

Ни одно значение не превосходит величину , следовательно распределение результатов наблюдений удовлетворяет и критерию II, поэтому экспериментальный закон распределения соответствует нормальному закону.

Проведём проверку грубых погрешностей результатов наблюдений (оценки анормальности отдельных результатов наблюдений). Для этого:

а) Составим упорядоченный ряд результатов наблюдений, расположив исходные элементы в порядке возрастания, и выполним их перенумерацию:

Таблица 4

U(1)=169.59	U(16)=169.95
U(2)=169.60	U(17)=169.95
U(3)=169.67	U(18)=170.01
U(4)=169.73	U(19)=170.02
U(5)=169.73	U(20)=170.17
U(6)=169.74	U(21)=170.20
U(7)=169.76	U(22)=170.20
U(8)=169.77	U(23)=170.21
U(9)=169.83	U(24)=170.26
U(10)=169.84	U(25)=170.30
U(11)=169.84	U(26)=170.33
U(12)=169.88	U(27)=170.35
U(13)=169.91	U(28)=170.35
U(14)=169.95	U(29)=170.41
U(15)=169.95	U(30)=170.50

б) Для крайних членов упорядоченного ряда U_>1> и U_>15>, которые наиболее удалены от центра распределения (определяемого как среднее арифметическое Ū этого рядя) и поэтому с наибольшей вероятностью могут содержать грубые погрешности, находим модули разностей =(В) и =(В), и для большего из них вычисляем параметр:

в) Для n=30, из таблицы 4 определим =3,071.

Так как t_>i>< t_>T>, поэтому грубых результатов нет.

Вычислим несмещенную оценку СКО результата измерения в соответствии с выражением:

(В).

Определим доверительные границы случайной составляющей погрешности измерений с многократными наблюдениями в зависимости от числа наблюдений n 30 в выборке, не содержащей анормальных результатов, по формуле: , где Z– коэффициент по заданной доверительной вероятности Р=0,99 ; Z =2,58

(В).

Определим доверительные границы суммарной не исключённой систематической составляющей погрешности результатов измерений с многократными наблюдениями:

(В).

Определим доверительные границы суммарной (полной) погрешности измерений с многократными наблюдениями.

Так как , тогда

В.

Запишем результат измерений с многократными наблюдениями:

U= (170,000±0,151) В; Р=0,99