Системы линейных уравнений и неравенств
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные вопросы лекции: основные понятия и определения теории систем уравнений; система n линейных уравнений с n неизвестными; метод обратной матрицы; метод Крамера; метод Гаусса; теорема Кронекера-Капелли; система n линейных уравнений с m неизвестными; однородные системы линейных уравнений; фундаментальная система решений; структура общего решения.
Система m линейных уравнений с nпеременными имеет вид:
или
(1)
где a>11>, a>12>, … , a>mn>— произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и b>1>,b>2>, … , b>m> - свободными членами уравнений.
Решением системы(1) называется такая совокупность nчисел х>1>, х>2>, ... , х>n >, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Запишем систему (1) в матричной форме. Обозначим:
;
В=(b>1>, b>2>,
… , b>n>)т;
Х=(x>1>,
x>2>, … , x>n>)т
где А— матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, X — матрица-столбец переменных; В — матрица-столбец свободных членов.
На основании определения равенства матриц систему (1) можно записать в виде:
А*Х=B (2)
А матрица состоящая из А, В, Х матриц называется расширенной матрицей:
-
расширенная матрица.
Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных — заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Рассмотрим решение системы (1) m линейных уравнений с nпеременными в общем виде:
(3)
Если m=n, то рассмотрим расширенную матрицу. Учитывая правую часть, приведем данную матрицу к треугольному виду:
Ситема линейных уравнении соотвествующее данной матрице запишем в следуюшем виде
(4)
Если в данном уравнении c>nn>≠0, c>n-1n-1>≠0, ... , c>33>≠0, c>22>≠0, a>11>≠0 то, в первую очередь найдем
x>n>, а затем постепенно поднимаясь находим остольные решения - x>n-1>, … , x>3>, x>2>, x>1>.
Формула Крамера
Теорема Крамера. Пусть |A|— определитель матрицы системы А, а Δ>j> — определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если Δ ≠0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
(5)
Формулы (5) получили название формул Крамера.
Метод обратной матрицы
Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных, т.е. m=n. Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель Δ=|A| называется определителем системы.
(1) уравнение можно записать в матричном виде
А*Х=B (6)
,
,
.
Умножая слева обе части матричного равенства (6) на матрицу А-1,получим А-1(АХ)=А-1В. Так как А-1(АХ)=( А-1А)Х=ЕХ=Х,то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец
Х=А-1*B (7).
Система n линейных уравнений с n переменными
Решение системы n линейных уравнений с n переменными находять ниже укаженными методами:
Метод обратной матрицы;
Формула Крамера;
Метод Гаусса.
Теорема Кронекер – Капелли. Система m линейных уравнений с n переменными
Теорема Кронекера—Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.
Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.
1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система (1) имеет единственное решение.
2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система (1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.
Системы линейных однородных уравнений
Система mлинейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородныхуравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид:
(8)
Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (или тривиальное) решение (0; 0; ...; 0).
Систему (8) можно записать а виде:
А*Х=0 (9).
Если в системе (8) m=n, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы и формул Крамера. Ненулевые решения, следовательно, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.
Иначе: система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при r(A)<n.