Двойные интегралы и дифференциальные уравнения второго порядка
Министерство образования Российской Федерации
Институт дистанционного образования
ГОУ ВПО « Тюменский государственный университет »
Контрольная работа
по дисциплине: «Высшая математика»
Тема: «ДВОИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА»
УК (220501.65)/3. сокращенная
Выполнил студент Петренко Н. В.
Нижневартовск 2010
Контрольная работа
Вариант 5
Вычислить интегралы:
где D
– прямоугольник
где D
– область, ограниченная линиями
Найти общее решение уравнений:
Решение контрольной работы.
1.
где D
– прямоугольник
Построим область D:
Сводя двойной интеграл к повторному и расставляя пределы, получаем:
Ответ: I=20.
2.
где D
– область, ограниченная линиями
Построим область D, которая
ограничена ветвью гиперболы у=6/х,
расположенной в первой четверти и прямой
у=7-х. Находим точки пересечения: 6/х=7-х;
,
откуда х=1 и х=6. Имеем две точки (1;6) и
(6;1).
Запишем границы области
D:
Сводя двойной интеграл к повторному и
расставляя пределы, получаем:
=126-72-36-7/2+1/3+6=24-19/6=(144-19)/6=125/6.
Ответ: I=125/6.
Характеристическое
уравнение
имеет
кратные корни k=2, поэтому общее решение
имеет вид:
.
Ответ:
.
Это линейное неоднородное
дифференциальное уравнение (ЛНДУ).
Решением ЛНДУ является сумма решений
соответствующего однородного (ЛОДУ) и
любого частного решения. Решаем ДУ:
у''+y'-2=0. Характеристическое уравнение
имеет корни k =-2 и k=1,
поэтому общее решение однородного ДУ
имеет вид:
.
Частное решение будем искать в виде:
.
Дважды дифференцируем последнее:
.
Подставляем в заданное ДУ и приравниваем
коэффициенты:
,
откуда В=-3, С=-3, D=-4,5. Запишем общее решение
заданного неоднородного ДУ:
.
Ответ:
.