Гипергеометрическое уравнение

Министерство образования РФ

Тульский государственный педагогический университет имени Л.Н.Толстого

кафедра математического анализа

Курсовая работа по математике

"Гипергеометрическое уравнение"

Выполнила:

студентка ф-та МиМ,

группы 3В,

Куркова Д.Н.

Проверила:

Исаева Г.Р.

Тула-2006

Содержание

Введение

Гипергеометрическое уравнение

1.1 Определение гипергеометрического ряда. Гипергеометрическая функция

1.2 Свойства гипергеометрической функции

1.3 Гипергеометрическое уравнение

Представление функций через гипергеометрическую

Вырожденная функция

Дифференциальное уравнение для вырожденной гипергеометрической функции. Вырожденная гипергеометрическая функция второго рода

Представление различных функций через вырожденные гипергеометрические функции

Литература

Введение

В связи с широким развитием численных методов и возрастанием роли численного эксперимента в большой степени повысился интерес к специальным функциям. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического явления для выяснения относительной роли отдельных эффектов исходную задачу часто приходится упрощать для того, чтобы можно было получить решение в легко анализируемой аналитической форме. Во-вторых, при решении сложных задач на ЭВМ удобно использовать упрощенные задачи для выбора надежных и экономичных вычислительных алгоритмов. Очень редко при этом можно ограничиться задачами, приводящими к элементарным функциям. Кроме того, знание специальных функций необходимо для понимания многих важных вопросов теоретической и практической физики.

Наиболее часто употребляемыми функциями являются так называемые специальные функции математической физики: классические ортогональные полиномы (полиномы Якоби, Лагерра, Эрмита), цилиндрические, сферические и гипергеометрические. Теории этих функций и их приложениям посвящен целый ряд исследований. Гипергеометрические функции применяются в различных разделах математического анализа, в частности, при решении дифференциальных уравнений и при рассмотрении других специальных функций. С помощью гипергеометрических функций выражаются не только сферические, эллиптические, но и ряд других, в том числе и элементарные функции. В работе рассматриваются определение гипергеометрического ряда и гипергеометрической функции, доказывается, и выводятся некоторые элементарные свойства гипергеометрической функции, функциональные и специальные функциональные соотношения, представление различных функций через гипергеометрическую, вырожденная функция 1 и 2 рода, дифференциальное уравнение для вырожденной гипергеометрической функции и его интегралы, представление различных функций через вырожденные гипергеометрические функции.

1. Гипергеометрическое уравнение

1.1 Определение гипергеометрического ряда

Гипергеометрическим рядом называется степенной ряд вида

где z – комплексная переменная, , , - параметры, которые могут принимать любые вещественные или комплексные значения (0,-1,-2,…), и символ обозначает величину = =1

Если и – нуль или целое отрицательное число, ряд обрывается на конечном числе членов, и сумма его представляет собой полином относительно z. За исключением этого случая, радиус сходимости гипергеометрического ряда равняется единице, в чем легко убедиться с помощью признака сходимости Даламбера: полагая

z^k

имеем

когда k, поэтому гипергеометрический ряд сходится при <1 и расходится при >1.

Сумма ряда

F(, , ,z) = , <1 (1.1)

называется гипергеометрической функцией.

Данное определение гипергеометрической функции пригодно лишь для значений z, принадлежащих кругу сходимости, однако в дальнейшем будет показано, что существует функция комплексного переменного z, регулярная в плоскости с разрезом (1, ) которая при <1 совпадает с F(, , ,z). Эта функция является аналитическим продолжением F(, , ,z) в разрезанную плоскость и обозначается тем же символом.

Чтобы выполнить аналитическое продолжение предположим сначала что R()>R()>0 и воспользуемся интегральным представлением

(1.2)

k=0,1,2,..

Подставляя (1.2) в (1.1) находим

F(, , ,z) = = =,

причем законность изменения порядка интегрирования и суммирования вытекает из абсолютной сходимости.

Действительно, при R()>R() >0 и <1

= F(, R(),R(),)

На основании известного биноминального разложения

=(1-tz)^-^a(1.3)

0t1,<1

поэтому для F(, , ,z) получается представление

F(, , ,z)= (1.4)

R()>R() >0 и <1

Покажем, что интеграл в правой части последнего равенства сохраняет смысл и представляет регулярную функцию комплексного переменного z в плоскости с разрезом (1, ).

Для z принадлежащих области , (R – произвольно большое, и произвольно малые положительные числа), и 0 < t < 1 подынтегральное выражение есть регулярная функция z и непрерывная функция t ; поэтому достаточно показать что интеграл сходится равномерно в рассматриваемой области. Доказательство следует из оценки

(М – верхняя граница модуля функции (1-tz)^-^a, непрерывной в замкнутой области , , 0t 1), которая показывает, сходимость интеграла будет мажорированной, то есть при R()>R() >0 интеграл сходится.

Таким образом, условие <1 в (1.4) может быть отброшено, и искомое аналитическое продолжение гипергеометрической функции в разрезанную плоскость дается формулой

F(, , ,z)= (1.5)

R()>R() >0;

В общем случае, когда параметры имеют произвольные значения, аналитическое продолжение F(, , ,z) плоскость с размером (1, ) может быть получено в форме контурного интеграла, к которому приводит суммирование ряда (1.1) с помощью теории вычетов.

Более элементарный метод продолжения, не дающий, однако, возможность получить в явной форме общее аналитическое выражение гипергеометрической функции, заключается в использовании рекуррентного соотношения (1.6)

F(, , ,z) = +

справедливость которого может быть установлена подстановкой в него ряда (1.1). После подстановки и приведения подобных членов коэффициент при z^kв правой части (1.6) будет

+- = ={--}= =(

Путем повторного применения этого тождества можно представить функцию F(, , ,z) с произвольными параметрами (0,-1,-2,…) в виде суммы

F(, , ,z)= F(+s, +p, +2p, z) (1.7)

где р – целое положительное число (, , ,z) – полином относительно z. Если выбрать число р достаточно большим, так, чтобы R()>-p и R(-)>-p, то аналитическое продолжение каждой из функций F(+s, +p, +2p, z) может быть выполнено по формуле (1.5). Подставляя полученные выражения в (1.7) получим функцию, регулярную в плоскости с разрезом (1, ), которая при <1 совпадает с суммой гипергеометрического ряда (1.1) и, следовательно, является искомым аналитическим продолжением.

Гипергеометрическая функция F(, , ,z) играет важную роль в анализе и его приложениях. Введение этой функции дает возможность получить решение многих интересных проблем теоретического и прикладного характера, к которым, в частности, относится задача конформного отображения треугольника, ограниченного пересекающимися прямыми или дугами окружностей, различные задачи квантовой механики и так далее.

Большое число специальных функций может быть выражено через функцию F(, , ,z), что позволяет рассматривать теорию этих функций как соответствующие специальные случаи общей теории, данной в настоящем пункте.

1.2 Элементарные свойства гипергеометрической функции

В настоящем разделе мы рассмотрим некоторые свойства гипергеометрической функции, которые непосредственно вытекают из ее определения с помощью ряда (1.1).

1. Принимая во внимание, что члены ряда не изменяются при перестановке параметров и имеем соотношение симметрии

F(, , ,z)= F(,,,z), (2.1)

2. Дифференцируя рассматриваемый ряд почленно, находим

F(, , ,z)===

== F(+1, +1, +1,z)

Таким образом, F(, , ,z)= F(+1, +1, +1,z) (2.2)

3. Повторное применение этой формулы приводит к равенствам

F(, , ,z)= F(+m, +m, +m,z) (2.3)

m=1,2,…

Положим в дальнейшем для сокращения записи

F(, , ,z)= F,

F(1, , ,z)= F(1),

F(, 1, ,z)= F(1),

F(, , 1,z)= F(1).

Функции F(1), F(1), F(1) называются смежными с F.

4. Мы покажем, что F и любые две смежные функции связаны между собой рекуррентным соотношением с коэффициентами, являющимися линейными функциями переменного z. В качестве основных соотношений этого типа могут быть выбраны равенства (2.4), (2.5), (2.6) соответственно.

(--)F+(1-z)F(+1)-(- )F(-1)=0,

(--1)F+F(+1)-(- 1)F(-1)=0,

(1-z)F-F(-1)+(- )F(+1)=0.

Подставляя ряд (1.1) в (2.4) имеем (2.4)

(--)F+(1-z)F(+1)-(- )F(-1)=

=(--)+(1-z)-(-

) =

={(--)+-(- )-

}z^k=

={(--)(+k-1)+(+k)(+k-1)-(-)(-1)- ----

(-k-1)k} z^k=0,

так как

z==

=(+1)...( +k-1)

=(+1)...( +k-1)( +k)

=(-1) (+1)...( +k-2)

=(+1)…( +k-2)

= (+1)…( +k-2) ( +k-1)

=(-1) (+1)...( +k-3)

Формулы (2.5) и (2.6) доказываются аналогичным способом:

(--)F+ F (+1)-(- 1)F(-1)=

={ (--1) + -(- 1) =

={--1 ++ k-(+k-1)}z^k=0,

(1-z)F-F (-1)+(- )zF(+1)=

={ -- +(- )}z^k

={(+ k -1)(+ k-1)- (+ k -1)k-(-1)(+ k-1)

+(-)k}z^k=0,

Из (2.4)-(2.6) и свойства симметрии (2.1) следует три других равенства:

(--)F+ (1-z)F(+1)-(- )F(-1)=0, (2.7)

(--1)F+ F (-1)-(- 1)F(-1)=0, (2.8)

(1-z)F-F (-1)+(- )zF(+1)=0. (2.9)

(--)F+ (1-z)F(+1)-(- )F(-1)=

={(--)+--(-

)} z^k =

={(--)(+k-1)+(+ k -1)(+k)-(+k-1)k -(-)(-

1)}z^k=0,

(--1)F+ F (-1)-(- 1)F(-1)=

={(--1) + -(- 1) } z^k =

={--1+( + k )- (+k-1)}z^k=0,

(1-z)F-F (-1)+(- )zF(+1)=

={- - +(- )} z^k

={(+k-1)( +k-1)-k(+k-1)- (+k-1)(-1)+k

(-)}z^k=0.

Остальные рекуррентные соотношения получаются из (2.4) – (2.9) путем исключения из соответствующей пары формул общей смежной функции. Например, комбинируя (2.5) и (2.8) или (2.6) и (2.9) получаем

(-)F-F (+1)+F(+1)=0 (2.10)

(-)(1-z)F+(-)F (-1)-( -)F(-1)=0 (2.11)

и так далее

(-)F-F (+1)+F(+1)=

={(-)++} z^k=

={-- (+k)+ ( +k)} z^k =0.

(-)(1-z)F+(-)F (-1)-(-)F(-1)=

={(-)-(-)+(-)-(-

)} z^k=

={(-)(+k-1)(+k-1)-(-)(+k-1)k+(-)(-1)(+k-1)-

(-)(+k-1)(-1)}z^k=0.

Кроме распространенных рекуррентных соотношений существуют аналогичные соотношения, связывающие гипергеометрическую функцию вида F(, , ,z) с какой – либо парой родственных функций вида F(+1, +m, +n,z), где l,m,n – произвольные целые числа.

Простейшими рекуррентными соотношениями этого типа являются

F(, , ,z)-F(, , -1,z)= F(+1, +1, +1,z) (2.12)

F(, +1, ,z)- F(, , ,z)= F(+1, +1, +1,z) (2.13)

F(, +1, +1,z)- F(, , ,z)= F(+1, +1, +2,z) (2.14)

F(-1, +1, ,z)- F(, , ,z)= F(, +1, +1,z) (2.15)

К данному классу относятся также равенство (1.6)

Формулы (2.12) и (2.15) доказываются подстановкой в них ряда (1.1) или выводятся на основе уже известных рекуррентных соотношений для смежных функций.

1.3 Гипергеометрическое уравнение

Заметим, что гипергеометрическая функция u= F(, , ,z) является интегралом линейного дифференциального уравнения

z(1-z) +[ -(++1)] -u=0 (2.16)

регулярным в окрестности точки z=0.

Уравнение (2.16) называется гипергеометрическим и включает, как частные случаи, многие дифференциальные уравнения, встречающихся в приложениях.

Если привести это уравнение к стандартной форме, разделив его на коэффициент при второй производной, то коэффициенты полученного уравнения будут регулярными функциями переменного z в области 0<<1 <1, имеющимися при z=0 полюс первого порядка или обыкновенную точку, в зависимости от значений параметров , , .

Из общей теории линейных дифференциальных уравнений следует, что в таком случае рассматриваемое уравнение должно иметь частное решение вида

u=z^s z^k (2.17)

где s – надлежащее выбранное число, 0, степенной ряд сходится при <1

u= z^k⁺^s

= (k+s)z^k⁺^s-¹

=(k+s)(k+s-1)z^k^+s-2

Подставляя (2.17) в уравнение (2.16) находим

z(1-z) ( z^k⁺^s+[ -(++1)z] ( z^k⁺^s- z^k⁺^s=0,

z(1-z)(z^k⁺^s-1(k+s)(k+s-1))+[-(++1)z](z^k⁺^s-1(k+s))-

z^k⁺^s=

=(z^k⁺^s-1(k+s)(k+s-1))-(z^k⁺^s(k+s)(k+s-1))+(z^k⁺^s-1(k+s))-

- z^k⁺^s(++1)(k+s))- z^k⁺^s=

= z^k⁺^s-1(k+s)(k+s-1+)- z^k⁺^s(s+k+)(s+k+)=0,

откуда для определения показателя s и получается система уравнений

s(s-1-)=0,

(s+k)(s+k-1+) - (s+k-1+)(s+k-1+)=0,

k=1,2,…,

первое из которых дает s=0 или s=1-

Предположим, что 0,-1,-2,… и выберем s=0

Тогда для вычисления коэффициентов получим реккурентное соотношение

= k=1,2,…,

откуда, если принять =1, следует

= k=0,1,2,…,

где для сокращения записи введено обозначение

=(+1)…( +k-1),

=1, k=1,2,…,

Таким образом первое частное решение уравнения (2.16) при 0,-1,-2,… будет

u== F(, , ,z)= z^k, <1 (2.18)

Аналогично, выбирая s=1- получаем в предположении, что 2,3,4,…

= k=1,2,…,

откуда, если взять =1 находим

k=0,1,2,…,

Таким образом, при 2,3,4,… уравнение (2.16) имеет второе частное решение

u== =F(1-+,1-+,2-,z), (2.19)

<1,

Если не является целым числом (0,1, 2,…), то оба решения (2.18-2.19) существуют одновременно и линейно независимы между собой, так, что общее решение уравнения (2.17) может быть представлено в форме

u=A F(, , ,z)+B F(1-+,1-+ ,2- ,z), (2.20)

где А и В произвольные постоянные <1,

2. Представление различных функций через гипергеометрическую

Гипергеометрическая функция F(, , ,z) приводится к полиному, когда =0,-1,-2,… или =0,-1,-2. Например,

F(, 0, ,z)= z^k==1,

так как

=0(0+1)(0+2)…..(0+k-1)=0.

F(, -2, ,z)= z^k= z⁰+z+ z² =

=1-2z+z²,

так как

=1, =-2,

=(-2)(-1)=2, =(-2)(-1)0=0, =(-2)(-1)01=0

и так далее.

Преобразование

F(, , ,z)=(1-z F(-,-, ,z)

-=0=

показывает, что гипергеометрическая функция при -=0,-1,-2,… или -=0,-1,-2,… выражается через алгебраические функции. В частности,

F(, , ,z)= (1-z, (3.1)

Придавая параметрам , специальные значения, находим

(1-z)^v= F(-v, 1, 1,z)

(1-z= F(, 1, 1,z) (3.2)

(1-z)ⁿ= F(-n, , ,z)

n=0,1,2,…

Чтобы получить представление логарифмической функции, воспользуемся разложением

ln(1-z)= - =-z <1

откуда следует

ln(1-z)=-zF(1,1,2,z) . (3.3)

Аналогичным образом выводятся формулы для обратных круговых функций:

arctg z=zF(,1, ,-z²) (3.4)

arcsin z=zF(,, ,z²)

arctg z=(-1)^k=z=z=

=z=z =z=zF(,1, ,-

z²),

так как =1*2*…*k=k!

arcsin z=z+=z[1+]=

=z[1+]=z[1+]=z[1+] =

=z[1+]=z[1+= zF(,, ,z²).

3. Вырожденная гипергеометрическая функция

Наряду с гипергеометрической функцией F(,,,z), важную роль в теории специальных функций играет так называемая вырожденная гипергеометрическая функция F(, ,z).

Чтобы определить эту функцию, заметим, что степенной ряд

где z – комплексное переменное, и - параметры, которые могут принимать любые вещественные или комплексные значения, исключая =0,-1,-2,… и символ обозначает величину

= =1

сходится при любых конечных z.

Так как, если обозначить через общий член ряда, то

=0, когда k.

Вырожденная гипергеометрическая функция F(, ,z) определяется как сумма рассматриваемого ряда

F(, ,z)= , 0,-1,-2,…, < (4.1)

Из данного определения вытекает, что F(, ,z) функция комплексного переменного z.

Если положить

f(, ,z)= F(, ,z)= , (4.2)

то f(, ,z) при фиксированном z будет целой функцией от и . Действительно, члены ряда (6.2) являются целыми функциями этих переменных, и ряд сходится равномерно в области <A, <C.

Полагая , имеем для достаточно больших k

Отсюда следует, что при заданном z функция F(, ,z)

представляет целую функцию и мероморфную функцию с простыми полюсами в точках =0,-1,-2,…

Функция F(,,z) весьма часто встречается в анализе, причем главное ее значение состоит в том, что многие специальные функции могут рассматриваться как ее частные случаи, что в значительной мере облегчает построение теории этих функций и придает ей общий и компактный характер.

Связь функции F(,,z) с гипергеометрической функцией дается соотношением

F(,,z)=lim F(,,,). (4.3)

Из определения вырожденной гипергеометрической функции непосредственно вытекают равенства

F(,,z)= F(+1,+1,z) (4.4)

F(,,z)= F(+m,+m,z) m=1,2,... (4.5)

и рекуррентные соотношения

(--1)F+F (+1)-(-1)F(-1)=0 (4.6)

F-F( -1)-zF(+1)=0 (4.7)

(-1+z)F+(-)F(-1)-( -1)F(-1)=0 (4.8)

(+z)F-F(+1)-( - )zF(+1)=0 (4.9)

(-)F(-1)+(2-+z)F-F(+1)=0 (4.10)

(-1)F(-1)- (-1+z)F+(-)zF(+1)=0 (4.11)

связывающие функцию F F(,,z) с двумя любыми смежными функциями

F(1) F(1,,z) и F( 1) F(,1,z)

Формулы (4.6) и (4.7) доказываются путем подстановки ряда (4.1) остальные рекуррентные соотношения получаются из них в результате простых алгебраических операций.

(--1)F+F (+1)-(-1)F(-1)=

={(--1) + -(-1) }z^k=

={--1+(+k)- (+k-1)} z^k=

= {--1++k- -k+1)} z^k=0

F-F( -1)-zF(+1)=

={--} z^k=

={(+k-1)-( -1)-k} z^k=

= {+k----k} z^k=0.

Повторное применение рекуррентных формул приводит к линейным соотношениям, связывающим функцию F(,,z) с родственными функциями F(+m,+n,z), где m,n- заданные целые числа. Примерами подобных соотношений могут служить равенства:

F(,,z) = F(+1,,z)- F(+1,+1,z) (4.12)

F(,,z)= F(,+1,z) + F(+1,+1,z) (4.13)

4. Дифференциальное уравнение для вырожденной гипергеометрической функции. Вырожденная гипергеометрическая функция второго рода

Покажем, что вырожденная гипергеометрическая функция является частным решением дифференциального уравнения

z +(-z) - u=0, (5.1)

где 0,-1,-2,…

u= F(,,z)= z^k

=z^k^-1

=z^k^-2

Действительно, обозначая левую часть уравнения l(u) и пологая u= = F(,,z), имеем

l() = z^k^-2+(-z) z^k^-1- z^k=

=[-]+ [k+-k-]0.

Чтобы получить второе линейное независимое решение рассматриваемого уравнения, предположим, что , и выполним подстановку .

Уравнение (5.1) преобразуется тогда в уравнение того же вида

z +(-z) -=0

с новыми значениями параметров =1+, =2-. Отсюда следует, что при 2,3,… функция также является решением уравнения (5.1).

Если 0, 1, 2,… оба решение () имеют смысл и линейно независимы между собой, поэтому общий интеграл уравнения (5.1) может быть представлен в виде

u= F(,,z)+B F(1+-,2-,z) (при =1 u= ) (5.2)

0, 1, 2,…

Чтобы получить выражение общего интеграла в форме, пригодной для любых значений (кроме =0,-1,-2,…), удобнл ввести вырожденную гипергеометрическую функцию второго рода

G,,z)= F(,,z)+ F(1+-,2-,z) (5.3)

0, 1, 2,…

Формула (5.3) определяет функцию G,,z) для любых , отличных от целого числа. Покажем, что при n+1 (n=0,1,2,…) правая часть (5.3) стремиться к определенному пределу. Для доказательства заменим гипергеометрические функции соответствующими рядами и воспользуемся соотношением теории Г-функции. Тогда получим (5.4)

G,,z)= [-]=

=()

Мы имеем

n=0,1,2,…

===

поэтому выражение в правой части (5.4) при n+1 принимает неопределенный вид и стремится к пределу, значение которого может быть найдено по правилу Лопиталя. В соответствии с этим результатом положим

G(,,z)= G,,z)= (-1)ⁿ⁺¹[] (5.5)

n=0,1,2,…

Выполнив вычисления, находим:

=[],

=[]+

откуда для G(,n+1,z) получается явное выражение в форме ряда (5.6)

G(,n+1,z)= []+

+ ,

n=0,1,2,… , 0,-1,-2,… ,

Здесь - логарифмическая производная Г-функция, и для случая n=0 пустая сумма принимается равной 0.

Если =-m (m=0,1,2,…), то предельный переход n+1 (n=0,1,2…) в формуле (5.3) приводит к выражению

G(-m,n+1,z)= F(-m,n+1,z), (5.7)

m=0,1,2,… , n=0,1,2,…

Из (5.3) непосредственно следует, что вырожденная гипергеометрическая функция второго рода удовлетворяет функциональному соотношению

G(,,z)= G(-+1,2-,z), (5.8)

На основании этой формулы можно определить функцию G(,,z) при , равному нулю или целому отрицательному числу, при помощи равенства

G(,1-n,z)= G(,,z)= zⁿG(+n,n+1,z) (5.9)

n=1,2,… ,

Таким образом, функция имеет смысл при любых значениях ее параметров. Из донного определения вытекает, что G(,,z) регулярная функция от z в плоскости с разрезом (-,0) и целая функция и .

Покажем, что функция G(,,z) является решением дифференциального уравнения (5.1).

При 0, 1, 2,… доказательство следует непосредственно из (5.3). Для целых требуемый результат может быть обоснован путем применения принципа аналитического продолжения.

Если 0, 1, 2,… интегралы F(,,z) и G(,,z) линейно независимы между собой, в чем легко убедиться, составив вронскиан этой пары решений.

Из (5.1) следует W{F,G}=Ce^z. Сравнивая обе части этого равенства при z0, находим C=.