Дослідження локальних формацій із заданими властивостями

Курсова робота

Дослідження локальних формацій із заданими властивостями

Введення

Формації, тобто класи груп, замкнуті відносно фактор - груп і під прямих добутків, завжди перебували в поле діяльності дослідників по теорії кінцевих груп. Однак аж до 1963 р. формаційний розвиток теорії кінцевих груп ішло лише по шляху нагромадження фактів, що ставляться до різних конкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація розв'язних груп і її подформації, складені з абелевих, нильпотентних груп.

У курсовій роботі розглядається добуток формацій, операції на класах груп, що приводять до формацій. Розглядаються локальні формації й екрани. Розглядаються найпростіші властивості локальної формації всіх груп з нильпотентним компонентом.

Визначення 1.1 Класом груп називають усяка множина груп, що містить разом з кожною своєю групою й всі групи, ізоморфні .

Якщо група (підгрупа) належать класу , то вона називається групою ( - підгрупою).

Визначення 1.2. Клас груп називається формацією, якщо виконуються наступні умови:

1) кожна фактор - група будь - якої групи з також належить ;

2) із завжди треба .

Якщо формації й такі, що , то називається підформацією формації .

По визначенню, порожня множина є формацією (порожня формація). Множина всіх груп є, звичайно, формацією. Одинична формація – це непустий клас груп, що складає лише з одиничних груп. Формаціями є: клас усіх - груп, клас всіх абелевих груп, клас всіх нильпотентних груп, клас усіх - груп ( – фіксоване простої число), клас всіх нильпотентних - груп, клас всіх розв'язних груп, клас всіх розв'язних - груп. Ми привели поки лише приклади тих формацій, за яких закріплені відповідні позначення.

Лема 1.1. Справедливі наступні твердження:

1) перетинання будь - якої множини формацій також є формацією;

2) якщо – деяка множина формацій, лінійно впорядковане щодо включення , то об'єднання є формацією.

Доказ здійснюється перевіркою.

Визначення 1.3. Нехай – непуста формація. Позначимо через і - корадикалом групи перетинання всіх тих нормальних підгруп з , для яких .

Очевидно, - корадикал будь - якої групи є характеристичною підгрупою. - корадикал групи позначають інакше через і називають - корадикалом. - корадикал будемо називати нильпотентним радикалом; зрозумілі також терміни розв'язний корадикал, - розв'язний корадикал, - корадикал і т.д. - корадикал (або абелев корадикал) – це комутант групи. Так само як і комутант, - корадикал зберігається при гомоморфізмах.

Лема 1.2. Нехай – непуста формація, . Тоді справедливі наступні твердження:

1)

2) якщо те

3) якщо й , те

Доказ. Нехай . Тоді

Звідси треба, що . З іншого боку,

звідки одержуємо . З і треба рівність . Твердження 1) доведено.

Нехай – природний гомоморфізм групи на Очевидно,

звідки треба рівність . Зокрема, якщо , те . Лема доведена.

Визначення 1.4. Нехай і – деякі формації. Якщо , то покладемо Якщо , те позначимо через клас всіх тих груп , для яких Клас називається добутком формацій і .

З визначення 1.4 треба, що добуток формацій є порожньою формацією тоді й тільки тоді, коли принаймні одна з формацій є порожньою. Можна визначити добуток декількох формацій як результат послідовного множення. Якщо задано впорядкований набір формацій причому добуток уже визначений, то Зокрема, якщо для будь - якого те ми приходимо до поняття ступеня

Поняття добутку формацій становить інтерес із погляду побудови формацій.

Теорема 1.1. Добуток будь - яких двох формацій також є формацією.

Лема 1.3. Нехай і – нормальні підгрупи групи . Тоді кожний головний фактор групи - ізоморфний або деякому головному фактору групи , або деякому головному фактору групи

Доказ випливає з розгляду - ізоморфізму

Теорема 1.2. Нехай – деяка формація, – клас всіх тих груп, всі головні фактори яких належать Нехай – об'єднання формацій Тоді – підформація формації

Доказ. З леми 1.3 виводимо, що – формація. З теореми 1.1 і леми 1.1 випливає, що клас є формацією. Якщо – мінімальна нормальна підгрупа групи , то по індукції для деякого натурального . Але тоді або , або – - корадикал групи . Тому що , те звідси випливає, що , і теорема доведена.

Операції на класах груп

Визначення 2.1. Усяке відображення множини всіх класів груп у себе називається операцією на класах груп.

Операції ми будемо позначати, як правило, прямими більшими латинськими буквами. Результат операції , застосованої до класу позначається через Ступінь операції визначається так: Добуток операцій визначається рівностями:

Уведемо операції в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли вкладається як підгрупа в якусь - групу;

тоді й тільки тоді, коли вкладається як нормальна підгрупа в якусь - групу;

тоді й тільки тоді, коли є гомоморфним образом якоїсь - групи;

тоді й тільки тоді, коли співпадає з добутком деякого кінцевого числа своїх нормальних - підгруп;

тоді й тільки тоді, коли має нормальні підгрупи такі, що

тоді й тільки тоді, коли є розширенням - групи за допомогою - групи;

тоді й тільки тоді, коли має нормальну підгрупу таку, що

Якщо , то замість пишуть Оборотний увага на той факт, що якщо – нормальні підгрупи групи , причому для кожного , то Помітимо ще, що операцію можна визначити за допомогою поняття підпрямого добутку. Нагадаємо (див. Каргаполов і Мерзляков [1]), що підгрупа прямого добутку називається підпрямим добутком груп якщо проекція на збігається з Легко бачити, що тоді й тільки тоді, коли є добуток деякого кінцевого числа - груп.

Визначення 2.2. Клас називається замкнутим щодо операції або, більш коротко, - замкнутим, якщо

Формацію можна визначити тепер як клас груп, що одночасно - замкнуть і - замкнуть. - замкнутий клас згідно Гашюцу [3] називається насиченим. - замкнутий клас груп називається гомоморфом. Клас груп називається замкнутим щодо підгруп (нормальних підгруп), якщо він - замкнутий (відповідно - замкнуть).

Лема 2.1. . Якщо клас груп містить одиничну групу й - замкнуть, то

Доказ. Щодо операцій і твердження очевидно. Нехай – довільний клас груп. Ясно, що Якщо , те в найдеться нормальна підгрупа така, що . Група має нормальну підгрупу таку, що й Але тоді Тому що , те, а виходить, Таким чином, , що й потрібно.

Нехай . Якщо , то має нормальну - підгрупу таку, що Група має нормальну - підгрупу таку, що . Тому що й , те з - замкнутості класу треба, що . Виходить, , тобто . Зворотне включення очевидно.

Лема 2.2. Для будь - якого класу справедливо наступне твердження:

Доказ. Якщо , то Нехай Якщо , те, а виходить, . Таким чином, . Нехай . Тоді має такі нормальні підгрупи , що Група має такі нормальні підгрупи , що Тому що , те, що й доводить рівність

Лема 2.3. Для будь - якого класу має місце включення

Доказ. Якщо , то . Нехай і група є підпрямим добутком груп , де . Розглянемо функцію . Функція є гомоморфізмом групи в групу . Ясно, що

є добуток груп , причому . Отже, , і лема доведена.

Лема 2.4.

У роботі Фишера, Гашюца й Хартли [1] уведене наступне поняття, у деякому змісті двоїсте визначенню формації.

Визначення 2.3. Клас груп називається класом Фиттинга, якщо він одночасно - замкнутий і - замкнуть.

Клас Фиттинга ми будемо надалі називати інакше радикальним класом. Через подвійність (нормальна підгрупа – фактор - група) формацію можна було б назвати корадикальним класом.

Визначення 2.4. Нехай непустий - замкнутий клас, що містить 1. Позначимо через і назвемо - радикалом групи добуток всіх її нормальних - підгруп.

Класи є радикальними. - радикал групи – це її підгрупа Фиттинга - радикал позначають інакше через і називають - радикалом. - радикал називають розв'язним радикалом; зрозумілі також терміни - нильпотентний радикал, - замкнутий радикал і т.д. Клас усіх - нильпотентних груп є одночасно радикальним і корадикальним; – це - нильпотентний радикал групи .

Надалі ми будемо вивчати формації, замкнуті щодо тих або інших операцій; зокрема, будуть розглядатися радикальні формації, тобто формації, що є одночасно й класами Фиттинга. Зараз ми звернемося до задачі побудова формацій за допомогою операцій

Теорема 2.1. Нехай і – формації, причому або , або замкнута щодо нормальних підгруп. Тоді – формація, що збігається з добутком

Визначення 2.5. Нехай – деяка множина груп. Нехай – перетинання всіх тих формацій, які містять клас називається формацією, породженої множиною груп

Помітимо, що операцію часто позначають інакше через Якщо те пишуть замість , причому в цьому випадку називають формацією, породженою групою .

Теорема 2.2. Для будь - якого класу має місце рівність:

Доказ. Якщо , те, і твердження вірно. Нехай . Тому що , те клас є - замкнутим. є клас і по лемі 2.2. Використовуючи це й леми 2.3 і 2.4, одержуємо

Останнє означає - замкнутість класу . Отже, – формація, що містить , тому що . Виходить, . Зворотне включення очевидно.

Лема 2.5. Для будь - яких елементів групи виконуються рівності Якщо – підгрупи групи , то виконуються наступні твердження:

1)

2) для будь - якого гомоморфізму групи ; зокрема, якщо група з нормалізує й , те нормалізує й

Лема 2.6 Нехай – підгрупа нильпотентної групи , причому . Тоді

Доказ. Для того щоб довести лему, досить установити, що при будь - якому натуральному виконується включення:

При це вірно, тому що , а виходить, . Припустимо, що включення (*) справедливо при якімсь . Тоді, використовуючи лему 2.5, одержуємо

Тим самим (*) доведено.

Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Якщо – така підгрупа групи , що , то

Доказ. Нехай – нильпотентна нормальна підгрупа групи , а – така підгрупа з , що . Доведемо індукцією по , що . Це вірно, якщо . Тому будемо вважати, що . Розглянемо наступні підгрупи прямого добутку

Очевидно, підгрупа нормалізує й . Позначимо через підгрупу групи , породжену підгрупами . Оскільки проекції на множники прямого добутку рівні , те . Помітимо ще, що , де нормально в і нильпотентна як добуток з .

Нехай – центр підгрупи , . Легко бачити, що , причому й ; аналогічно, і . Але тоді , абелева й нормальна в. Якщо , те, де , і якщо , те, що тягне . Отже, . Якщо абелева, те, і ми маємо

Припустимо тепер, що . Ясно, що . Тому що

те нильпотентна щабля . Тому що , те ізоморфна й має щабель , а тому відповідно до леми 2.6 її нормальне замикання в має щабель . Тому що нормалізує й , те нормальна в. Отже, , причому . По індукції

Для групи і її нильпотентної нормальної підгрупи щабля теорема також вірна по індукції. Тому

Теорема доведена.

Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формація, породжена розв'язною групою, містить лише кінцеве число підформацій.

Доказ. Нехай – підформація формації . Якщо , то по теоремі 2.3 має місце , що й потрібно.

Екрани

Недоліком поняття групової функції є те, що не завжди ущільнення - центрального ряду нормальними підгрупами є - центральним рядом.

Визначення 3.1. Відображення класу всіх груп у множину класів груп назвемо екраном, якщо для будь - якої групи виконуються наступні умови:

1) – формація;

2) для будь - якого гомоморфізму групи ;

3) .

З умови 2) випливає, що екран приймає однакове значення на ізоморфних групах, тобто є груповою функцією в змісті визначення 3.1. Крім того, видно, що якщо – екран, те кожний f - центральний ряд після видалення повторень може бути ущільнений до f - центрального головного ряду, а виходить, клас груп, що володіють f - центральними рядами, співпадає з формацією .

Лема 3.1. Нехай – екран, – група операторів групи , – деяка нормальна - припустима підгрупа з . Якщо володіє нормальним - припустимим рядом, фактори якого - центральні відносно , то один з таких рядів проходить через .

Доказ. Нехай даний ряд, що задовольняє умові леми:

Нехай . Тоді ряд

буде шуканим. У цьому неважко переконатися, використовуючи визначення екрана й - ізоморфизми:

Лема 3.2. Справедливі наступні твердження:

1) перетинання будь - якої непустої множини екранів також є екраном;

2) об'єднання будь - якого непустого ланцюга екранів також є екраном.

Доказ. Перше твердження очевидно. Нехай непуста множина екранів є ланцюгом, тобто лінійно впорядковано (з відношенням часткової впорядкованості , уведеним у визначенні 3.5). Тоді для будь - якої групи множина формацій лінійно впорядковано щодо включення, а отже, через лему 1.1 об'єднання є формацією. Тим самим лема доведена.

Визначення 3.2. Екран назвемо:

1) p - однорідним, якщо він p - постійний і для будь - якої групи і її силовської p – підгрупи має місце ;

2) однорідним, якщо він p - однорідний для будь - якого простого p;

3) локальним, якщо він є локальною груповою функцією;

4) композиційним, якщо для будь - якої групи має місце , де пробігає всі фактори групи

5) порожнім, якщо для будь - якої неодиничної групи ;

6) - екраном, якщо для будь - якої групи .

- екран при будемо називати одиничним екраном.

Легко бачити, що кожний локальний екран є однорідним, а кожний композиційний екран є примарно постійним.

Приклад 3.1. Нехай і – непусті формації, причому , а групова функція така, що для кожної групи й для будь - який групи . Тоді – однорідний екран, що не є ні локальним, ні композиційним.

Приклад 3.2. Нехай – непуста формація, а групова функція така, що для будь - який групи виконуються умови:

1) , якщо не має абелевих композиційних факторів;

2) , якщо має хоча б один абелев композиційний фактор.

Тоді – композиційний екран, що не є однорідним.

Зауваження 1. Локальний екран повністю визначається своїми значеннями на підгрупах. Щоб побудувати локальний екран , досить кожному простому числу поставити у відповідність деяку формацію , а потім для будь - якої групи покласти , де пробігає .

Зауваження 2. Щоб побудувати композиційний екран , потрібно кожній простій групі поставити у відповідність деяку формацію , а потім для будь - якої групи покласти , де пробігає всі композиційні фактори групи .

Лема 3.3. Справедливі наступні твердження: 1) перетинання будь - якої непустої множини однорідних екранів знову є однорідним екраном;

2) перетинання будь - якої непустої множини локальних екранів знову є локальним екраном;

3) перетинання будь - якої непустої множини композиційних екранів знову є композиційним екраном.

Доказ. Нехай екран є перетинанням множини екранів . Припустимо, що всі екрани є локальними, тобто для будь - яких і має місце рівність:

де пробігає всі підгрупи групи . Тоді

а виходить, – локальний екран.

Лема 3.4. Об'єднання будь - якого непустого ланцюга примарно постійних екранів є примарно постійним екраном.

Доказ. Нехай – деякий ланцюг екранів, – її об'єднання, . По лемі 3.3 функція є екраном, причому ясно, що постійність тягне постійність екрана . Припустимо, що все є однорідними екранами. Тоді, якщо – будь - яка група й , те . Отже,

що й доводить однорідність екрана .

Екрани формацій

Кожної групової функції відповідає формація .

Лема 3.5. є непустою формацією для будь - якої групової функції .

Визначення 3.3. Нехай – деяка формація. Якщо – такий екран, що , то формація називається східчастою формацією, причому в цьому випадку будемо говорити, що

– екран формації ,

має екран ,

екран визначає формацію ,

визначається екраном .

Формація має одиничний екран. Одинична формація має порожній екран.

Визначення 3.4. Екран назвемо внутрішнім, якщо – внутрішня групова функція, тобто для будь - якої неодиничної групи .

Лема 3.6. Кожна східчаста формація має принаймні один екран.

Доказ. Нехай – екран формації . Визначимо функцію в такий спосіб: для будь - якої групи . Легко бачити, що – екран, причому . Якщо й – головний фактор групи , то . Тому що клас - замкнуть, те, а виходить, - центральний Таким чином, . Отже, , тобто – шуканий внутрішній екран.

Лема 3.7. Нехай – екран формації . Тоді є екраном формації .

Доказ. Нехай – довільний головний фактор групи . Нехай . Тому що , те . Виходить, , тобто - в. Звідси треба, що .

Обернено, якщо , те головний ряд групи буде - центральним для будь - якого , тобто . Отже, .

Лема 3.8. Перетинання будь - якої непустої множини екранів формації знову є екраном формації . Крім того, якщо в є хоча б один внутрішній екран, те – внутрішній екран.

Доказ. Те, що – екран формації , безпосередньо треба з леми 3.7. Нехай у є внутрішній екран . Тоді для будь - якої групи . Виходить, – внутрішній екран.

Формація з однорідним екраном

Теорема 3.1. (Шеметков) Усяка формація, що має принаймні один однорідний екран, є локальною формацією.

Доказ. Нехай формація має однорідний екран. Через лему 3.6 формація має внутрішній однорідний екран . Побудуємо локальний екран , що задовольняє наступній умові: для будь - якого простого . Тоді й, отже, . Припустимо, що формація має групи, що не входять в , і виберемо серед всіх таких груп групу , що має найменший порядок. Тоді є єдиною мінімальною нормальною підгрупою групи . Тому що , те для кожного має місце

Якщо неабелева, то й . Якщо ж – - група, то виходить, що - центральна в. А це суперечить тому, що . Теорема доведена.

Локальна формація

Неодинична формація, що має локальний екран, містить деякі неодиничні групи.

Визначення 4.1. Формація називається локальної, якщо вона має хоча б один локальний екран.

Визначення 4.2. Нехай – внутрішній локальний екран формації , що є максимальним елементом множини всіх внутрішніх локальних екранів формації . Тоді називається максимальним внутрішнім локальним екраном формації .

Теорема 4.1. (Картер і Хоукс [1], Шмид [5]). Локальна формація має єдиний максимальний внутрішній локальний екран , причому задовольняє наступній умові: для будь - якого простого числа p.

Визначення 4.3. Нехай – локальна формація. Мінімальний елемент множини всіх локальних екранів формації назвемо мінімальним локальним екраном формації .

Теорема 4.2. Локальна формація має єдиний мінімальний локальний екран, що є до того ж внутрішнім екраном.

Доказ. Нехай – множина всіх локальних екранів формації , причому . Позначимо через перетинання множини екранів . У множині є внутрішній екран, тому – внутрішній екран формації . По лемі 3.4 екран є локальним. Через лему 3.8 – шуканий екран.

Побудова локальних формацій

1. Формація всіх груп. Формація має локальний екран таким, що для будь - якого простого .

2. Формація одиничних груп. Формація має порожній екран, що, мабуть, локальний.

3. Формація нильпотентних - груп. Нехай – формація всіх нильпотентних - груп, – такий локальний екран, що для кожного для кожного . Очевидно, – мінімальний локальний екран формації .

4. Формація - груп. Нехай – формація всіх - груп, – такий локальний екран, що для кожного для кожного . Очевидно, –локальний екран формації .

5. Формація - нильпотентних груп. Нехай – формація всіх - нильпотентних груп ( – фіксоване простої число), – такий локальний екран, що для будь - якого простого числа , відмінного від . Покажемо, що – екран формації . Головний ряд - нильпотентної групи - центральний. Нехай . Потрібно встановити, що - нильпотентна. Нехай – мінімальна нормальна підгрупа групи . По індукції - нильпотентна. Якщо – - група, то звідси треба, що й - нильпотентна. Якщо ж - група, те, тобто . Якщо тепер – - підгрупа з , то через підгрупа - нильпотентна, а виходить, і - нильпотентна. Тим самим показано, що .

Теорема 5.1. У кожній - групі підгрупа збігається з перетинанням у всіх головних - факторів групи .

Наслідок 5.1.1. У будь - якій групі підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням у всіх головних факторів групи .

Наслідок 5.1.2. Для кожної - розв'язної групи має місце включення .

Наслідок 5.1.3. (Фиттинг). для будь - якої розв'язної групи .

Наслідок 5.1.4. (Чунихин [3]). Комутант - групи - нильпотентний.

6. Формація - замкнутих груп. Нехай – формація всіх - замкнутих груп ( – деяка фіксована множина простих чисел), – такий локальний екран, що для кожного для кожного . Покажемо, що – екран формації .

Очевидно, . Припустимо, що клас не порожній, і виберемо в ньому групу найменшого порядку. Тоді має єдину мінімальну нормальну підгрупу , причому не є - групою. Нехай . Тому що , те, а виходить, . Тому – абелева - група. Тому що - замкнута, те й - замкнута, тобто має нормальну - підгрупу . Ясно, що . Тому що , те . Легко бачити, що , а виходить, і група - замкнута. Тим самим показано, що .

7. Формація - дисперсивних груп. Нехай – деяке лінійне впорядкування множини всіх простих чисел, – формація всіх - дисперсивних груп. Покажемо, що локально.

Розглянемо всілякі множини простих чисел, що володіють наступною властивістю: для всіх . Нехай – формація всіх - замкнутих груп. Очевидно, . Тому що формації локальні, то по лемі 3.4 формація також є локальною.

8. Формація - розв'язних груп. Нехай – формація всіх - розв'язних груп, – такий локальний екран, що для будь - якого простого . Неважко помітити, що – максимальний внутрішній локальний екран формації . Зокрема, формація є локальною.

9. Формація - груп. Нехай – формація всіх - груп. Позначимо через формацію всіх абелевих груп експоненти, що ділить . Побудуємо локальний екран такий, що для кожного для кожного . Покажемо, що . Ясно, що . Нехай , – мінімальна нормальна підгрупа групи . По індукції . Якщо – - група, то - понад розв'язна. Нехай порядок ділиться на деяке число . Тоді, якщо , те

Звідси треба, що – - група.

Лема 5.1. Нехай – деяка що не приводиться абелева група автоморфизмів - групи й . Тоді – циклічна група порядку, що ділить . Крім того, – найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню .

Доказ. Будемо вважати, що – аддитивна абелева група. Тоді можна розглядати як правий векторний простір розмірності над полем з елементів. Нехай – комутативне підкольцо кільця , породжене елементами й . Через умову є правим - модулем (визначення, пов'язані з - модулями, див. у Кертиса й Райнера [1]). По лемі Шура, – тіло. Тому що комутативне, те . Легко бачити, що множина всіх ненульових елементів із замкнуто щодо операції множення й, отже, є групою. Тому – поле. Тому що - модуль не приводимо, те для будь - якого ненульового ; але тоді відображення , є - гомоморфізмом - модуля на . Тому що ядро є ідеал поля , те – ізоморфізм. Отже, . Відомо, що мультиплікативна група кінцевого поля циклічна. Тому циклічна й ділить .

Нехай – найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню . Тоді ділить . Добре відомо, що поле порядку містить порядку . Тому що циклічна група містить точно одну підгрупу кожного можливого порядку й ділить, то . Але тоді й . Лема доведена.

10. Формація . Нехай – непуста формація, – такий локальний екран, що для будь - якого простого . Застосовуючи наслідок 7.1.1 можна побачити, що – екран формації . Зокрема, формації і є локальними формаціями.

Нехай – локальний екран деякої підформації з . Застосовуючи леми 3.3 і 4.3, бачимо, що є локальним - екраном формації . Таким чином, кожна локальна підформація формації має внутрішній локальний - екран. Зокрема, будь - яка локальна підформація формації має внутрішній локальний - екран.

Локальні формації із заданими властивостями

Нехай – деяка операція, – локальний екран формації . Природно виникають два питання:

1) чи Буде - замкнутої, якщо - замкнута для будь - якого простого ?

2) чи Буде - замкнутої для будь - якого простого , якщо - замкнута?

Ми дамо позитивну відповідь на ці питання в деяких конкретних випадках.

Теорема Слепова 1 Нехай – деякий клас груп, – максимальний внутрішній локальний екран формації , – фіксоване простої число. Тоді справедливі наступні твердження:

1) якщо , те ;

2) якщо , те .

Доказ. Будемо доводити обоє твердження одночасно. Нехай – одна з операцій , . Припустимо, що . Нехай – (нормальна) підгрупа групи й . Розглянемо регулярне сплетення , де , – елементарна абелева - група. По лемі 3.11. Тому що , те . Розглянемо головний ряд групи :

Нехай . Тому що й , те

для кожного . Отже, , де . По властивості регулярного сплетення . Отже, , і по лемі 3.10 підгрупа є - групою. Тому що й формація є по теоремі 3.3 - замкнутої, то ми одержуємо, що . Теорема доведена.

Теорема Подуфалова, Слепова 2 Нехай – максимальний внутрішній локальний екран формації . Формація - замкнута ( - замкнута) тоді й тільки тоді, коли для будь - якого простого формація - замкнута (відповідно - замкнута).

Доказ. Необхідність. Припустимо, що - замкнуто ( - замкнута). Думаючи й застосовуючи теорему 1, ми одержуємо, що - замкнуто ( - замкнута) для будь - якого простого .

Достатність. Нехай для будь - якого простого формація є - замкнутою ( - замкнутої). Нехай – підгрупа (нормальна підгрупа) неодиничної групи . Покажемо, що . Тому що , те володіє - центральним головним рядом

Нехай . Тому що

те, де . Нехай . За умовою й . Звідси, через , випливає, що . Тим самим установлено, що ряд

є - центральним рядом групи . Теорема доведена.

Для будь - якого натурального числа - замкнутий клас містить, по визначенню, кожну групу , у вигляді добутку нормальних - підгруп. Послабляючи цю вимогу, ми приходимо до наступного визначення.

Визначення. Клас груп назвемо слабко - замкнутим, , якщо містить усяку групу , що має нормальних - підгруп з попарно взаємно простими індексами.

Легко помітити, що якщо й – підгрупи групи причому й взаємно прості, те .

Теорема Слепова 3 Нехай – локальний екран формації й нехай для деякого натурального числа виконується наступна умова: для будь - якого простого формація або збігається з , або входить в і є слабко - замкнутою. Тоді слабко - замкнута.

Доказ. Припустимо, що теорема невірна. Тоді існують групи, що не входять в , але нормальних - підгруп з попарно взаємно простими індексами. Виберемо серед всіх таких груп групу найменшого порядку. Таким чином, не належить , але має нормальні - підгрупи з попарно взаємно простими індексами. Ясно, що всі підгрупи неодиничні.

Нехай – мінімальна нормальна підгрупа групи . У підгрупи мають попарно взаємно прості індекси й належать . Тому що для теорема вірна, те . Ясно, що – єдина мінімальна нормальна підгрупа групи , причому й для кожного . Через теорему 4.3. Тому що , те найдеться таке , що . Розглянемо , де пробігає все - головні фактори групи . Тому що , те, . Можливі два випадки.

Випадок 1. Нехай . Тоді неабелева й . Звідси й з одиничності випливає, що . Але тоді й, отже, можна розглядати як деяку групу групи , що діє тотожно на всіх - головних факторах групи . По добре відомій теоремі Ф. Холу нильпотентна. Тому що до того ж нормальна в , те . Але тоді для будь - якого , а тому що формація слабко - замкнута за умовою, те . Але тоді , тому що й за умовою . Одержали протиріччя.

Випадок 2. Нехай . Тоді входить в і є - групою. Тому що , те абелева. Нехай – максимальна підгрупа групи , не утримуюча . Тоді , , , . Звідси, через одиничність , містимо, що , a виходить, . По лемі 3.10 є - групою. Але тоді і є - групою, причому . Ми одержуємо, таким чином, що для кожного . Але тоді , тому що слабко - замкнута. Останнє означає, що - центральна в , що суперечить рівності . Знову одержали протиріччя.

Теорема доведена.

Наслідок 4 Нехай група має дві нормальні - понад розв'язні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді - понадрозв'язна.

Для того щоб одержати цей наслідок, досить помітити, що побудований екран задовольняє умові теореми 3 при .

Наслідок 5 Нехай група має дві нормальні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді понад розв'язна .

Теорема Слепова 6 Нехай формація має такий локальний екран , що для будь - якого простого формація або збігається з , або входить в і є - замкнутою. Тоді - замкнута.

Доказ. Повторюємо з очевидними змінами доказ теореми 3.

Теорема Слепова 7 Нехай – максимальний внутрішній локальний екран формації . Формація - замкнута (слабко - замкнута, ) тоді й тільки тоді, коли для будь - якого простого формація - замкнута (відповідно слабко - замкнута).

Доказ. Достатність випливає з теорем 3 і 6. Нехай - замкнута (слабко - замкнута, ). Нехай , де – нормальні - підгрупи (нормальні - підгрупи з попарно взаємно простими індексами). Тому що , те . Покажемо, що .

Нехай , де , – елементарна абелева - група. для кожного . Тому що - замкнута (слабко - замкнута), те звідси випливає, що . Якщо – перетинання в усіх - головних факторів групи , то

Тому що , те по лемі 3.10 підгрупа є - групою. Але тоді , тому що по теоремі 3.3 має місце рівність .

Теорема доведена.

Лема Чунихина 8 Нехай , , . Тоді . Зокрема, якщо й , те непроста.

Доказ. З рівності треба, що

Отже, . Звідси, через для кожного , одержуємо . Лема доведена.

Теорема Виландт 9 Група розв'язна, якщо вона має три розв'язні підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.

Доказ. Нехай група має розв'язні підгрупи , і з попарно взаємно простими індексами. Тоді . Нехай – мінімальна нормальна підгрупа з . Тому що розв'язно, те, – простої число. Через умову теореми, не ділить одночасно й . Нехай, для визначеності, не ділить . Це значить, що силовська - підгрупа з є силовською - підгрупою групи . Через теорему Силова , де . Тому що й , те по лемі 8 . Таким чином, – неодинична розв'язна нормальна підгрупа групи . У фактор - групі індекси підгруп , і попарно взаємно прості. По індукції розв'язна, але тоді й розв'язна. Теорема доведена.

Випливаючи Крамеру, уведемо наступне визначення.

Визначення. Клас груп називається - замкнутим ( – натуральне число), якщо містить усяку групу , що має - підгруп, індекси яких у при попарно взаємно прості.

По визначенню, порожня формація - замкнута для кожного . Єдиної - замкнутою непустою формацією, відмінної від , умовимося вважати .

Лема 10 Нехай і – - замкнуті класи груп. Тоді також - замкнуть.

Доказ очевидно.

Наступна лема доведена Крамером.

Лема 11 Нехай формація втримується в і - замкнута, . Тоді формація є - замкнутою.

Доказ. Нехай група має - підгрупи , ,…,,індекси яких у попарно взаємно прості. Тому що , те по теоремі 9 група розв'язна. При будь - якому гомоморфізмі групи образи підгрупи належать і мають попарно взаємно прості індекси. Тому можна вважати, що - корадикал групи є її єдиною мінімальною нормальною підгрупою. Ясно, що є - групою для якогось . Підгрупа Фиттинга групи також є - групою. Індекс будь - якої підгрупи, що не містить , ділиться на . Тому втримується принаймні в підгрупах нашої системи підгруп . Будемо вважати, що , . Тому що є - групою, те й , . Звідси й з наслідку випливає, що , . Тому що , те ми одержуємо, що , . Скориставшись - замкнутістю формації , ми приходимо до того, що .

Лема доведена.

Теорема Крамер 12 Нехай – такий локальний - екран формації , що для будь - якого простого формація - замкнута, . Тоді - замкнута.

Доказ. Тому що – - екран, то для будь - якого простого , а виходить, . Нехай . Через лему 4.5. Якщо , те й - замкнута; якщо ж , те по лемі формація - замкнута. У кожному разі - замкнута. По лемі - замкнута. Застосовуючи лему 10, ми бачимо, що й формація - замкнута. Теорема доведена.

Тому що формація має одиничний екран, що задовольняє умові теореми 12 при , те ми одержуємо

Наслідок Кегель 13 Група нилъпотентна, якщо вона має три нильпотентні підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.

Цей факт випливає також і з наступного результату Кегля.

Лема 14 Клас усіх - замкнутих груп - замкнуть.

Доказ таке ж, як і в теореми 9.

Лема 15 Кожна формація нильпотентних груп є - замкнутою.

Доказ. Нехай – деяка формація нильпотентних груп. Нехай група має - підгрупи , і з попарно взаємно простими індексами. Тоді по наслідку 13 група нильпотентна. Якщо – найвищий ступінь простого числа , що ділить , то ділить для деякого , тому що не може ділити одночасно індекси всіх підгруп , і . Якщо ділить, то силовська - підгрупа із входить в і є силовскою - підгрупою групи . Тим самим показано, що всі силовські підгрупи нильпотентної групи є - групами. Тому що – формація, те звідси треба, що .

Лема доведена.

Лема 16 Нехай – якийсь - замкнутий гомоморф - замкнутих груп. Тоді клас - замкнуть.

Доказ. Нехай група має - підгрупи , і з попарно взаємно простими індексами. По лемі 14 має нормальну силовску - підгрупу . Оскільки є силовскої - підгрупою в і – гомоморф, те . У групі індекси підгруп , і попарно взаємно прості. Тому через - замкнутість маємо . Лема доведена.

Лема 17 Для будь - якого простого й будь - якої формації нильпотентних груп клас є - замкнутою формацією.

Доказ. По лемі 15 клас - замкнуть. По лемі 16 клас - замкнуть і по теоремі 1.1 Ошибка! є формацією.

Теорема 18 Нехай – локальна підформація формації , – максимальний внутрішній локальний екран формації . Якщо для будь - якого простого формація - замкнута, , то - замкнута.

Доказ. Нехай . Через теорему 3.3 і леми 4.5, . Формація - замкнута. По лемі 10 формація - замкнута. Теорема доведена.

Теорема Крамер 19 Будь - яка локальна підформація формації є - замкнутою.

Доказ. Нехай – локальна підформація формації . має внутрішній локальний - екран . Нехай – максимальний внутрішній локальний екран формації . Тоді по теоремі 3.3 для будь - якого простого має місце рівність . Тому що , те по лемі 17 формація - замкнута. Тоді по теоремі 18 формація - замкнута. Теорема доведена.

Наслідок Д рк 20 Нехай група має чотири підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.

Висновок

У даній курсовій роботі ми дали визначення формації, добутку формацій, а також операцій на класах груп. Познайомилися з поняттям екрана, радикального й корадикального класів. У роботі розглянули ситуацію: кінцеві розв'язні групи з нормальною максимальною підгрупою, що належить локальної формації формації всіх груп з нильпотентним комутантом. Розглядали тільки кінцеві й розв'язні групи.

Теорія кінцевих груп ніколи не випробовувала недоліку в загальних методах, ідеях і невирішених проблемах, все - таки достаток отриманих результатів з неминучістю привело до необхідності розробки нових загальних методів і крапок, що систематизують, зору. Поштовх, зроблений роботою Гашюца, викликав цілу лавину досліджень і привів до виникнення нового напрямку - теорії формацій.

Література

1 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.І. Основи теорії груп. – К., 2003

2 Кертис Ч., Райнер И. Теорія подань кінцевих груп і асоціативних алгебр. – К., 2006

3 Чунихин С.А. О - властивості кінцевих груп. –К., 2001

4 Шеметков Л.А. Формація кінцевих груп. – К., 2002