Беселеві функції

Курсова робота

"Беселеві функції"

1. Беселеві функції з будь-яким індексом

Рівняння Лапласа в циліндричних координатах

Щоб пояснити походження Беселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:

. (1)

Якщо перейти до циліндричних координат по формулах:

, , ,

те рівняння (1) прикмет наступний вид:

. (2)

Нехай є рішення згаданого виду. Підставляючи його в (2), одержимо:

звідки (після ділення на )

Записавши це у вигляді:

знайдемо, що ліва частина не залежить від , права не залежить від , ; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна . Звідси:

; ;

В останній рівності ліва частина не залежить від , права не залежить від ; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна . Звідси:

, ;

, .

Таким чином, , , повинні задовольняти лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:

(3)

, ,

з яких друге й третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.

Обернено, якщо , , задовольняють рівнянням (3), тобто рішення рівняння (2). Справді, підставляючи в ліву частину (2) і ділячи потім на , одержимо:

Таким чином, загальний вид всіх трьох рішень рівняння (2), які є добутком трьох функцій, кожна з яких залежить від одного аргументу, є , де , , – будь-які рішення рівнянь (3) при будь-якому виборі чисел , .

Перше з рівнянь (3) у випадку , називається рівнянням Беселя. Думаючи в цьому випадку , позначаючи незалежну змінну буквою (замість ), а невідому функцію – буквою (замість ), знайдемо, що рівняння Беселя має вигляд:

. (4)

Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє більшу роль у додатках математики. Функції, йому задовольняючі, називаються Беселевими, або циліндричними, функціями.

Беселеві функції першого роду

Будемо шукати рішення рівняння Беселя (4) у вигляді ряду:

Тоді

Отже, приходимо до вимоги

або до нескінченної системи рівнянь

яка розпадається на дві системи:

Перша з них задовольниться, якщо взяти … У другій системі можна взяти довільно; тоді … однозначно визначаються (якщо не є цілим негативним числом). Взявши

знайдемо послідовно:

і як рішення рівняння (4) одержимо ряд:

Цей ряд, що формально задовольняє рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень і, отже, є рішенням рівняння (4) в області (у випадку цілого в області ).

Функція

(5)

називається бесселевой функцією першого роду з індексом . Вона є одним з рішень рівняння Беселя (4). У випадку цілого ненегативного індексу одержимо:

, (5`)

і, зокрема,

. (5``)

Загальне рішення рівняння Беселя

У випадку нецілого індексу функції і є рішеннями рівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, тому що початкові члени рядів, що зображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різні ступені . Таким чином, у випадку нецілого індексу загальне рішення рівняння Беселя є:

. (6)

Якщо (ціле негативне число), то функція, обумовлена формулою (5) (з огляду на, що дорівнює нулю для …), приймає вид:

(5```)

або, після заміни індексу підсумовування на ,

, (7)

звідки видно, що задовольняє разом з рівнянню Беселя

Але формула (6) у випадку цілого вже не дає загального рішення рівняння (4).

Думаючи

( – не ціле) (8)

і доповнюючи це визначення для (ціле число) формулою:

, (8`)

одержимо функцію , що задовольняє рівнянню Беселя (4) і у всіх випадках лінійно незалежну від (у випадку , де – ціле). Функція називається беселевою функцією другого роду з індексом . Загальне рішення рівняння Беселя (4) можна записати у всіх випадках у вигляді:

. (9)

2. Формули приведення для Беселевих функцій

Маємо:

; ;

, ;

Отже,

. (10)

Таким чином, операція (що складається в диференціюванні з наступним множенням на ), застосована до , підвищує в цьому вираженні індекс на одиницю й міняє знак. Застосовуючи цю операцію раз, де – будь-яке натуральне число, одержуємо:

. (10`)

Маємо:

;

Отже,

. (11)

Таким чином, операція , застосована до , знижує в цьому вираженні індекс на одиницю. Застосовуючи цю операцію раз, одержуємо:

. (11`)

З виведених формул можна одержати деякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:

; ; .

Звідси, зокрема, треба, що . Використовуючи (11), одержимо:

; ; .

По членне додавання й вирахування отриманих рівностей дає:

, (12)

. (13)

Формула (13) дозволяє виразити всі Беселеві функції із цілими індексами через , . Дійсно, з (13) знаходимо (думаючи ):

, (13`)

звідки послідовно одержуємо:

, …………………

3. Беселеві функції з напівцілим індексом

Беселеві функції, загалом кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом , де – ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.

Маємо:

отже,

Але , значить:

. (14)

Далі

отже,

Але , тому

. (15)

За допомогою (10') знаходимо:

а з огляду на (14)

отже, при цілому позитивному

. (14`)

За допомогою (11') знаходимо:

але в силу (15)

і, отже, при цілому позитивному

. (15`)

4. Інтегральне подання Беселевих функцій із цілим індексом

Виробляюча функція системи функцій

Розглянемо систему функцій (з будь-якою загальною областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:

Складемо ряд

де – комплексна змінна. Припустимо, що при кожному (приналежному області визначення розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність . Зокрема, це кільце може являти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.

Функція

(16)

(де x лежить в області визначення функцій системи , – усередині кільця збіжності, що відповідає розглянутому значенню ) називається виробляючою функцією системи .

Обернено, нехай задана функція , де пробігає деяку множину, перебуває усередині деякого кільця, що залежить від , із центром 0 і утримуючого усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо при кожному аналітичне відносно усередині відповідного кільця, тобто виробляюча функція деякої системи функцій. Справді, розклавши при кожному функцію в ряд Лорана по ступенях :

знайдемо, що система коефіцієнтів цього ряду буде шуканою системою .

Формули для коефіцієнтів ряду Лорана дозволяють виразити функції розглянутої системи через виробляючу функцію. Застосовуючи ці формули й перетворюючи потім інтеграл уздовж одиничної окружності в простий інтеграл, одержимо:

. (17)

Виробляюча функція системи Беселевих функцій із цілими індексами

Покажемо, що для системи Беселевих функцій першого роду із цілими індексами (…) виробляюча функція є:

Маємо:

, ,

звідки після по членного перемножування цих рівностей знайдемо:

(тому що в передостанній внутрішній сумі й були зв'язані залежністю , то ми могли покласти , одержавши підсумовування по одному індексі ). В останній внутрішній сумі підсумовування виробляється по всіх цілих , для яких , отже, при це буде ; при це буде . Таким чином, у всіх випадках внутрішня сума є в силу формул (5`) і (5```). Отже,

, (18)

але це й доводить, що є виробляюча функція для системи .

Виведемо деякі наслідки з формули (18). Думаючи в ній , одержимо:

звідки після поділу дійсної й мнимої частини (з огляду на, що )

(18`)

(18``)

Заміняючи в (18`) і (18``) на , знайдемо:

, (18```)

. (18````)

Інтегральне подання Jn(x)

Тому що, по доведеному, при маємо , те по формулі (17) одержуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):

де прийнято в увагу, що є парна функція від є непарна функція від . Отже, доведено, що для будь-якого цілого числа

. (19)

Формула (19) дає подання Беселевих функцій із цілим індексом у вигляді певного інтеграла, що залежить від параметра . Ця формула називається інтегральним поданням Беселя для , права частина формули називається інтегралом Беселя. Зокрема, при знайдемо:

. (19`)

5. Ряди Фур'є-Беселя

Розглянемо на якому-небудь інтервалі (кінцевому або нескінченному) два диференціальних рівняння

, , (20)

де й – безперервні функції на . Нехай і – ненульові рішення цих рівнянь. Множення на й на й наступне вирахування дають

Нехай і належать і , тоді після інтегрування в межах від до одержимо

. (21)

Якщо й – сусідні нулі рішення , то між і зберігає постійний знак, нехай, наприклад, на (, ) (у противному випадку варто замінити на ), тоді , (рівність нулю виключено, тому що – ненульове рішення диференціального рівняння другого порядку). Якщо на , то повинна, принаймні, раз звертатися в нуль між і , тому що інакше збереже постійний знак на (,). Нехай, наприклад, на (,) (у противному випадку заміняємо на ), і тоді з (21) одержимо протиріччя, тому що ліва частина ≤0, а права >0. У такий спосіб доведена теорема порівняння Штурму: якщо P(x)<Q(x) на розглянутому інтервалі I і якщо y і z – ненульові рішення рівнянь (20), те між кожними двома сусідніми нулями y(x) перебуває принаймні один нуль z(x).

З теореми порівняння Штурму випливають нижченаведені наслідки. Якщо на , то кожне ненульове рішення рівняння може мати на не більше одного нуля (це легко бачити, якщо покласти й взяти ). Якщо на (де ), то для всяких двох сусідніх нулів і () кожного ненульового рішення рівняння маємо (це легко бачити, якщо покласти , взяти й помітити, що нулями будуть тільки числа виду , ціле). Якщо на (де ), то для всяких двох сусідніх нулів кожного ненульового рішення рівняння маємо (це легко бачити, якщо покласти й взяти ). Із сказаного випливає, що якщо на , те для всяких двох сусідніх нулів і () кожного ненульового рішення рівняння маємо .

Викладене показує, що якщо безперервно на й перевищує деяке позитивне число поблизу +∞, те кожне ненульове рішення рівняння має на нескінченно багато нулів. Якщо ще поблизу не звертається в нуль, то ці нулі утворять нескінченну зростаючу послідовність , що має межею +∞, а якщо, крім того, , де , те .

Розглянемо рівняння Беселя

на інтервалі . Підстановка приводить до рівняння

Очевидно, і мають ті самі нулі. Тому що , де – ціла функція, то не має нулів на при досить малому , і тому що при , те при кожному нулі на утворять нескінченну зростаючу послідовність

причому .

Якщо , то задовольнить рівнянню

на інтервалі (0, +∞). Підстановка приводить до рівняння

і, отже, задовольняє цьому рівнянню. Таким чином, при будь-яких позитивних і маємо

, де ,

звідки

отже,

, де . (22)

Нехай тепер . Розкладання по ступенях починається зі члена, що містить , розкладання по ступенях починається зі члена, що містить , тому що коефіцієнт при дорівнює нулю, що легко бачити, виходячи з формули (5). Отже, з (22) при одержимо

тобто

, (23)

звідки видно, що якщо і є різними нулями функції , те

. (23`)

Цим доведено, що при система функцій

на інтервалі є ортогональної щодо ваги .

Переходячи до межі при в співвідношенні

і використовуючи правило Лопиталя, одержимо при всякому

, (24)

отже, якщо є нулем функції , те

. (24`)

Таким чином, при кожному всякій безперервній функції на , що задовольняє вимозі

поставлений у відповідність ряд Фур'є-Беселя

, (25)

коефіцієнти якого визначаються формулами

. (25`)

Можна довести, що система функцій на , ортогональна щодо ваги , замкнута. Зокрема, якщо ряд Фур'є-Беселя (25) рівномірно сходиться до його безперервної функції, що породжує.

Можна показати, що якщо й безперервна на й функція, то ряд Фур'є-Беселя цієї функції сходиться до неї при .

6. Асимптотичне подання Беселевих функцій із цілим індексом для більших значень аргументу

Нехай – позитивна функція й – яка-небудь функція для досить більших значень . Запис

при

означає, що найдуться такі числа й M, що при маємо .

Подібний запис уживається й в інших аналогічних випадках. Наприклад, якщо – позитивна функція й – яка-небудь функція, визначені для досить малих позитивних значень , то запис

при

означає, що найдуться такі числа й , що на .

Допоміжна лема

Якщо двічі безупинно диференцюєма на , то для функції

має місце асимптотичне подання

при .

Доведемо цю лему. Заміняючи на , одержимо:

.(26)

Розглянемо інтеграл, що фігурує в правої частини формули (20). Заміняючи на , знайдемо:

але, замінивши на , одержимо:

Якщо позитивно, убуває й прагнути до нуля при , то й , а отже, і є при , тому

при ,

звідки

при .

Отже, одержуємо асимптотичне подання:

при . (27)

Розглянемо тепер інтеграл, що фігурує в другому складати^ся правої частини формули (20). Маємо:

Очевидно, двічі безупинно на , але існують і , тому стає безупинно диференцуєма на . Інтегрування вроздріб дає:

де перший доданок правої частини є при , а інтеграл у другому мажорирується інтегралом, що складається при нижній межі

який сходиться, тому що

при ;

отже, другий доданок є теж при .

Отже, маємо:

при . (28)

З (26), (27), (28) одержуємо шукане асимптотичне подання:

при . (29)

Із цієї формули, переходячи до сполучених величин, знайдемо ще:

при . (29')

Формули (29) і (29`) вірні й для функцій .

Висновок асимптотичної формули для Jn(x)

Заміняючи на , одержимо:

(з огляду на, що є парна функція від , а є непарна функція від ). Підстановка дає:

де є, мабуть, поліном n-й ступеня (поліном Чебишева), тому що з формули Муавра видно, що є поліном n-й ступеня відносно . Але

і, заміняючи в першому із цих інтегралів на , одержимо:

Тому що й на мають похідні всіх порядків, то до двох останніх інтегралів застосовні формули (29) і (29`), і ми одержуємо:

;

але ; , отже,

Отже, маємо шукане асимптотичне подання беселевої функції першого роду із цілим індексом для більших значень аргументу:

при . (30)

Ця формула показує, що з точністю складається до порядку, що, є загасаючою гармонікою із хвилею постійної довжини й амплітудою, що убуває обернено пропорційно квадратному кореню з абсциси.