Типовой расчет (работа 2)

1. Бросаются 2 кости. Определить вероятность того, что на верхних гранях:

а) сумма очков не превосходит 12; б) произведение числа очков не превосходит 12; в) произведение числа очков делится на 12.

+	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

а).Пусть событие А – сумма числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12,то есть указанная сумма меньше или равна 12. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:

где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания.

Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события А:

m = 36. В результате получаем

Таким образом, искомая вероятность равна 1 .

б) Пусть событие В – произведение числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12.

×	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18	24	30	36

Вероятность события В находим с помощью классического определения вероятности:

где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события В, n – общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания.

Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m = 23. В результате получаем:

Таким образом, искомая вероятность равна 0,6389.

в) Пусть событие С – произведение числа очков, выпавших на двух костях, делится на 12.

Вероятность события С находим с помощью классического определения вероятности:

где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события В, n – общее число равновозможных исходов испытания. Воспользуемся таблицей, полученной в пункте б).

Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m = 7. В результате получаем:

Таким образом, искомая вероятность равна 0,1944.

Ответ: а) 1; б) 0,6389, в) 0,1944.

2. Имеются n изделий 4^-х сортов, причём , где i= 1, 2, 3, 4. Для контроля берутся m изделий, где . Определить вероятность того, что среди m изделий m_>1> – первого сорта, m_>2> – второго сорта, m_>3> – третьего сорта, m_>4> – четвёртого сорта

Дано: n_>1> = 3, n_>2> = 3, n_>3> = 4, n_>4> = 2, m_>1> = 2, m_>2> = 1, m_>3> = 2, m_>4> = 2.

Решение.

Пусть событие А – среди m изделий 2 изделия – первого сорта, 2 изделия – второго сорта, 2 изделия – третьего сорта, 1 изделие – четвёртого сорта.

Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:

где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания.

Находим m – число исходов, благоприятствующих появлению события А. 2 изделия первого сорта можно выбрать из 3 изделий способами, 1 изделие второго сорта можно выбрать из 3 изделий способами, 2 изделие третьего сорта можно выбрать из 4 изделий способами, 2 изделия четвёртого сорта можно выбрать из 2 изделий способами. Воспользуемся теоремой умножения, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А равно:

Находим n – общее число равновозможных исходов испытания.

(2+1+2+2)=7 изделий из изделий можно выбрать способами, то есть:

Отсюда, искомая вероятность равна:

Ответ: Р(А) = 0,0795.

3. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди m билетов l выигрышных.

Дано: n = 10, l = 5, m =7 , k = 7.

Решение.

Пусть событие А - среди 7 билетов 5 выигрышных. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:

Находим m. Из 7 выигрышных билетов 5 билета можно выбрать способами, а 2 безвыигрышных билетов из 3 билетов можно выбрать способами. Тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А, используя теорему умножения, будет равно:

m = ×=

Находим n. . Из 10 билетов 7 билета можно выбрать способами, тогда

n =

Отсюда, искомая вероятность равна:

Ответ: Р(А) = 0,525.

4. В лифт k-этажного дома сели n пассажиров (n < k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а)все вышли на разных этажах; б) по крайней мере двое сошли на одном этаже.

Дано: k = 7, n = 4.

Решение.

а) Событие А – все пассажиры вышли на разных этажах.

Событие А_>1> – первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.

Событие А_>2> – второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.

Событие А_>3> – третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.

Событие А_>4> – четвертый пассажир вышел на любом из оставшихся трех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.

Вероятность события А находим по теореме умножения, поскольку события А_>1>, А_>2>, А_>3>, А_>4> являются зависимыми. Тогда:

где: , , , .

Отсюда:

б) Событие В – по крайней мере двое сошли на одном этаже.

Событие В_>1> – первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.

Событие В_>2> – второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.

Событие В_>3> – третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.

Событие В_>4> – четвертый пассажир вышел на любом из трех этаже, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.

Вероятность события В находим по теореме умножения, поскольку события В_>1>, В_>2>, В_>3>, В_>4> являются зависимыми. Тогда:

где: , , , .

Отсюда:

Ответ: а) 0,2778; б) 0,2778.

5. В двух партиях К_>1> и К_>2> % доброкачественных изделий на удачу выбирают по одному изделию из каждой партии Какова вероятность того, что среди двух изделий:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно бракованное и одно доброкачественное.

Дано: К_>1> = 39%, К_>2> = 78%.

Решение.

Обозначим события:

Событие А – из первой партии наудачу вынули доброкачественное изделие;

Событие B - из второй партии наудачу вынули доброкачественное изделие

Вероятности этих событий соответственно равны: р_>1> = 0,39 и р_>2> = 0,78.

а) Пусть событий С – среди двух изделий хотя бы одно бракованное.

Рассмотрим противоположное событие - среди двух изделий нет бракованных, то есть эти два изделия доброкачественные. Вероятность события находим, используя теорему умножения:

Р() = р_>1>· р_>2> = 0,39 · 0,78 = 0,3042

Отсюда, вероятность искомого события Р(С) найдём по формуле:

Р(С) = 1 - Р() = 1 – 0,3042 = 0,6958.

б) Пусть событий D – среди двух изделий два бракованных.

Вероятность события D находим, используя теорему умножения:

Р(D) = q_>1> · q_>2> = (1 - р_>1>) · (1 - р_>2>) = (1 - 0,39)·(1 - 0,78) = 0,1342.

в) Пусть событий Е - одно бракованное и одно доброкачественное. Здесь необходимо рассмотреть два события: Событие - из первой партии вынули доброкачественное изделия, а из второй – бракованное; Событие - из первой партии вынули бракованное изделие, а из второй – доброкачественное.

Тогда:

Е = +

или Р(Е) = Р() + Р()

Вероятность события Е находим, используя теорему сложения и умножения:

Р(Е) = р_>1> · q_>2> + q_>1> · р_>2> = 0,39 · 0,22 + 0,61 · 0,78 = 0,5616

Ответ: а) 0,6958; б) 0,1342; в) 0,5616.

6. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле: первым стрелком равна P_>1> = 0,39, а вторым стрелком - P_>2> = 0,45. Первый стрелок сделал n_>1> = 3 выстрелов, а второй стрелок – n_>2> = 2 выстрелов. Определить Вероятность того, что цель не поражена.

Решение.

Пусть событие А - цель не поражена. Чтобы цель была не поражена, необходимо, чтобы первый стрелок, сделав 3 выстрела, ни разу не попал, и, чтобы второй стрелок, сделав 2 выстрела, тоже ни разу не попал.

Рассмотрим гипотезы:

Событие А_>1> – первый стрелок промахнулся 3 раза.

Событие А_>2> - второй стрелок промахнулся 2 раза.

Вероятность того, что первый стрелок промахнется при одном выстреле равна:

q_>1>= 1 - p_>1>= 1- 0,39 = 0,61,

а вероятность того, что второй стрелок промахнется при одном выстреле равна: q_>2>= 1 - p_>2>= 1- 0,45=0,55.

Тогда вероятность событий А_>1> и А_>2> находим по формуле Бернулли:

Тогда:

Тогда искомая вероятность события А, используя теорему умножения, равна:

Р(А) = Р(А_>1>)×Р(А_>2>) = 0,227 · 0,3025 = 0,0687.

Ответ: 0,0687.

7. Из ламп n_>i> принадлежат i^-й партии (i = 1, 2, 3) бракованные лампы в первой партии составляют 6%, во второй – 5%, а в третьей – 4%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа - бракованная.

Дано: n_>1> = 620, n_>2> = 190.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают одну лампу.

Пусть событие А - выбранная лампа – бракованная. Рассмотрим гипотезы:

Событие Н_>1> – выбранная лампа принадлежит 1^-й партии,

Событие Н_>2> – выбранная лампа принадлежит 2^-й партии,

Событие Н_>3> – выбранная лампа принадлежит 3^-й партии.

Вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н_>1>, Н_>2>, Н_>3> с помощью классического определения вероятности:

Для события Н_>1> имеем: m_>1> = 620 (количество ламп в первой партии), n =1000 (общее количество ламп); тогда вероятность события Н_>1> равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н_>2> и Н_>3>.

Для события Н_>2> имеем: m_>2> = 190, n =1000.

Для события Н_>3> имеем: m_>3> = 1000 - m_>1> – m_>2>= 1000 – 620 –190 = 190, n =1000.

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н_>1>, Н_>2>, Н_>3> соответственно наступили, то есть вероятности , и , по формуле:

где: k_>i> – число процентов бракованных ламп в i^-й партии. Тогда

Подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:

= 0,62 · 0,06 + 0,19 · 0,05 + 0,19 · 0,04 = 0,0543.

Ответ: Р(А) = 0,0543.

8. В первой урне N_>1> белых и M_>1> чёрных шаров, во второй N_>2> белых и M_>2> чёрных шаров. Из первой урны во вторую переложили К шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.

Дано: N_>1> = 20, M_>1> = 1, N_>2> = 40, M_>2> = 7, К = 15.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из второй урны шар после перекладывания из первой урны во вторую 15 шаров.

Пусть событие А - выбранный шар – белый.

Рассмотрим гипотезы:

Событие Н_>1> – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 15 белых и ни одного чёрного;

Событие Н_>2> – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 14 белых и 1 чёрный; Так как события Н_>1>, Н_>2> образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н_>1>, Н_>2> с помощью классического определения вероятности:

где: m_>i> – число исходов, благоприятствующих появлению события H_>i>, n – общее число равновозможных исходов испытания.

В первой урне находится (N_>1> + M_>1>) = 20+1 =21 шар, тогда общее число равновозможных исходов испытания равняется числу способов, которыми можно вынуть 15 шаров из 21, то есть

n =

Находим вероятность гипотезы Н_>1>. 15 белых шаров из 20 можно выбрать способами, а 0 чёрных из 1 - способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н_>1>, используя теорему умножения, будет равно:

m = ×=

Отсюда, вероятность события Н_>1> равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н_>2>.

Для события Н_>2> имеем:

m_>2>=×=

Отсюда, вероятность события Н_>2> равна:

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н_>1>, Н_>2> соответственно наступили, то есть вероятности , с помощью классического определения вероятности:

где: m_>i> – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Н_>i> соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.

При наступлении события Н_>1> во второй урне станет (40+15)=55 белых и 7 чёрных шаров, всего в урне 62 шара, тогда для события A | Н_>1> имеем:

m_>1> = 55, a n = 62, отсюда

При наступлении события Н_>2> во второй урне станет (40+14)=54 белых и (7+1)=8 чёрных шаров, всего в урне 62 шаров, тогда для события A | Н_>2> имеем:

m_>2> = 54, a n = 62, отсюда

Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:

=0,2857×0,8871 + 0,7143×0,871 = 0,8756

Ответ: Р(А) = 0,8756.

9. В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые, и гашенные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марки - чистые.

Дано: k = 7, l = 5, m = 2, n = 2.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из альбома после гашения 2 марки.

Пусть событие А - все 2 марки - чистые.

Рассмотрим гипотезы:

Событие Н_>1> – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 2 чистые и ни одной гашеной марки;

Событие Н_>2> – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 1 чистую и 1 гашеную марки;

Событие Н_>3> – из альбома извлекли и подвергли спецгашению ни одной чистой и 2 гашеные марки.

Так как события Н_>1>, Н_>2>, Н_>3> образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н_>1>, Н_>2>, Н_>3> с помощью классического определения вероятности:

Из альбома можно вынуть 2 марки из (k + l) = (7 + 5) = 12 марок - способами, тогда общее число равновозможных исходов испытания равно:

n =

Находим вероятность гипотезы Н_>1> 2 чистые марки из 7 можно выбрать способами, а 0 гашенных из 5 - способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н_>1>, используя теорему умножения, будет равно:

m = ×=

Отсюда, вероятность события Н_>1> равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н_>2> и Н_>3>:

Для события Н_>2> имеем:

m_>2>=×=

Отсюда, вероятность события Н_>2> равна:

Для события Н_>3> имеем:

m_>3>=×=

Отсюда, вероятность события Н_>3> равна:

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н_>1>, Н_>2>, Н_>3> соответственно наступили, то есть вероятности , и с помощью классического определения вероятности:

При наступлении события Н_>1> в альбоме станет (7-2)=5 чистых и (5+2)=7 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н_>1> имеем: m_>1> = - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 5. n = - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда

При наступлении события Н_>2> в альбоме станет (7-1)=6 чистых и (5+1)=6 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н_>2> имеем: m_>2> = - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 6. n = - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда

При наступлении события Н_>3> в альбоме станет (7-0)=7 чистых и (5+0)=5 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н_>3> имеем: m_>3> = - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 7. n = - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда

= 0,3182 · 0,1515 + 0,5303 · 0,2273 + 0,1515 · 0,3182 = 0,217.

Ответ: Р(А) = 0,217.

10. В магазин поступают однотипные изделия с 3-х заводов, причем i–й завод поставляет m_>i>_>>% изделий. Среди изделий i–го завода n_>i> % - первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Найти вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом?

Дано: m_>1> = 60%, m_>2> = 10%, m_>3> = 30%, n_>1> = 80%, n_>2> = 90%, n_>3> = 80%, j = 3.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу покупают одно изделие.

Рассмотрим событие А – изделие оказалось первосортным.

Рассмотрим гипотезы:

Событие H_>1> – наудачу купленное изделие изготовлено на 1-ом заводе.

Событие H_>2> – наудачу купленное изделие изготовлено на 2-ом заводе.

Событие H_>3> – наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе.

По условию задачи необходимо найти вероятность события Н_>3>|А, то есть события состоящего в том, что наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе, если известно, что она первосортное.

Так как события H_>1>, H_>2> и H_>3> образуют полную группу событий, и событие А может наступить с одним из этих событий, то для нахождения вероятности события воспользуемся формулой Байеса:

где полная вероятность события А, которая может быть определена по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н_>1>, Н_>2>, Н_>3> с помощью классического определения вероятности:

Для события Н_>1> имеем: m_>1> = 60% (количество изделий, изготовленных на 1-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н_>1> равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н_>2> и Н_>3>.

Для события Н_>2> имеем: m_>2> = 10% (количество изделий, изготовленных на 2-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н_>2> равна:

Для события Н_>3> имеем: m_>3> = 30% (количество изделий, изготовленных на 3-ем заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н_>3> равна:

Контроль:

где: k_>i> –число стандартных изделий, изготовленных на i – заводе, m_>i> – общее число изделий, изготовленных на i – заводе. Тогда

= 0,6 × 0,8 + 0,1 × 0,9 + 0,3 × 0,8 = 0,81.

Отсюда, по формуле Байеса получим: .

Ответ: .

11. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет n раз. Определить вероятность того, что решка выпадает m раз.

Дано: n = 5, m = 3.

Решение.

Испытание состоит в бросании монеты.

Вероятность выпадения решки в каждом испытании постоянна: р = 0,5 , а выпадения герба – q = 1 – p = 1 -0,5 = 0,5. Всего монета бросается (n + m) = 5 + 3= 8 раз. Следовательно, указанный эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли. Тогда искомую вероятность находим по формуле:

Отсюда, искомая вероятность равна:

Ответ: 0,2187.

12. На каждый лотерейный билет с вероятностью р_>1> может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р_>2> – мелкий выигрыш, и с вероятностью р_>3> билет может оказаться без выигрыша . Куплено n билетов.

Определить вероятность получения n_>1> крупных выигрышей и n_>2> мелких.

Дано: n = 14, n_>1> = 2, n_>2> = 4, р_>1> = 0,2, р_>2> = 0,2.

Решение.

Событие А – среди 14 билетов получено 2 крупных выигрыша и 4 мелких.

Рассмотрим события:

Событие А_>1> – выпал крупный выигрыш.

Событие А_>2> – выпал мелкий выигрыш.

Событие А_>3> – билет оказался без выигрыша.

Вероятности этих событий соответственно равны: р_>1> = 0,2, р_>2> = 0,2, р_>3> = 1 - 0,2 – 0,2 = 0,6.

Вероятность события А находим по формуле полиномиального распределения вероятностей:

Отсюда:

Ответ: .

13. Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р .

Определить вероятность того, что число m наступлений событий удовлетворяет следующему неравенству: k_>1> ≤ m.

Дано:n = 100, p = 0,8, k_>1> = 70.

Решение.

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

где: Ф(х) – функция Лапласа,

По условию, n=100, p= 0,8, q = 1- p = 1- 0,8 = 0,2 , k_>1> = 70, k_>2> = 100. Вычислим х` и x``:

Учитывая, что функция Лапласа нечетна, то есть Ф(-х) = - Ф(х), получим

По таблице приложения 2 найдем: Ф(5) = 0,5; Ф(2,5)= 0,4938.

Искомая вероятность равна:

Р_>100>() = 0,5 + 0,4938 = 0,9938.

Ответ: 0,9938.

14. Дана плотность распределения _>>случайной величины Х.

Найти параметр γ, функцию распределения случайной величины Х. математическое ожидание М(х), дисперсию D(x), вероятность выполнения неравенства -2< x < 0.