Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики (работа 2)
Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
1. Моменты и центры масс плоских
кривых. Если дуга кривой
задана уравнением y=f(x),
a≤x≤b,
и имеет плотность 1)
=(x),
то статические моменты этой дуги M>x>
и M>y>
относительно координатных осей Ox
и Oy
равны
моменты инерции I>Х> и I>у> относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам
а координаты центра масс
и
— по формулам
где l— масса дуги, т. е.
Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох
и Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1.
1) Всюду в задачах, где плотность
не указана, предполагается, что кривая
однородна и
=1.
◄ Имеем:
Следовательно,
►
Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.
◄ Имеем:
Отсюда получаем:
►
В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
Пример 3. Найти
координаты центра масс полуокружности
◄Вследствие симметрии
.
При вращении полуокружности вокруг
оси Ох получается
сфера, площадь поверхности которой
равна
,
а длина полуокружности равна па. По
теореме Гульдена имеем
Отсюда
,
т.е. центр масс C
имеет координаты C
.
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.
Пример 4. Скорость
прямолинейного движения тела выражается
формулой
(м/с). Найти путь, пройденный телом за 5
секунд от начала движения.
◄ Так как путь, пройденный телом
со скоростью
(t)
за отрезок времени [t>1>,t>2>],
выражается интегралом
то имеем:
►
Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту /i? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?
<4| Работа переменной силы / (#), действующей вдоль оси Ох на отрезке [а, Ь], выражается интегралом
2