Построение математических моделей (работа 1)
Содержание
Задание 1
Задание 2
Список литературы
Вариант 6
Задание 1
Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х, млн. руб.) за последние 10 лет (табл. 1).
Таблица 1
|
Время, t |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
|
Выручка, у |
3,0 |
2,9 |
3,0 |
3,1 |
3,2 |
2,8 |
2,9 |
3,4 |
3,5 |
3,6 |
|
Объем
капитало- |
1,1 |
1,1 |
1,2 |
1,4 |
1,4 |
1,4 |
1,3 |
1,6 |
1,3 |
1,4 |
Построить поле корреляции.
Найти
параметры уравнения линейной регрессии
;
дать экономическую интерпретацию
параметров а и b.
Составить уравнения нелинейных регрессий:
гиперболической
;
степной
;
показательной
Для каждой из моделей:
найти коэффициент парной корреляции (для нелинейных регрессий – индекс корреляции);
найти коэффициент детерминации;
проверить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F – критерия Фишера;
найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.
Составить сводную таблицу вычислений; выбрать лучшую модель; дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
По лучшей модели составить прогноз на следующие два года показателя у (выручка), если х (объем капиталовложений) увеличивается на 10% по сравнению с последним годом.
Построить графики уравнений регрессии; отметить точки прогноза.
РЕШЕНИЕ:
ПОСТРОИМ ПОЛЕ КОРРЕЛЯЦИИ
Поле корреляции – точечный график, осями X и Y которого сопоставлены изучаемые признаки (рис. 1).
Рис. 1
Точки на графике поля корреляции находятся довольно хаотично, что говорит о слабой зависимости объема капиталовложений Х и выручки Y.
НАЙДЕМ
ПАРАМЕТРЫ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ
Расчет неизвестных параметров выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая ее, относительно неизвестных параметров а и b.
Система нормальных уравнений имеет вид:
Необходимые расчеты представлены в таблице 2.
Построена линейная модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений:
В линейном регрессии коэффициент регрессии показывает направление связи между переменной Y и фактором X. А также, указывает насколько в среднем изменяется значение результативного признака Y, если фактор увеличить на единицу измерения.
b = 0,843, т.е. при увеличении объема капиталовложений (Х) на 1 млн. руб. выручка предприятия (Y) в среднем увеличится на 0,843 млн. руб.
Таблица 2
Вспомогательные вычисления для нахождения параметров линейной модели
|
t |
Y |
X |
X2 |
X*Y |
|
1998 |
3,0 |
1,1 |
1,21 |
3,3 |
|
1999 |
2,9 |
1,1 |
1,21 |
3,19 |
|
2000 |
3,0 |
1,2 |
1,44 |
3,6 |
|
2001 |
3,1 |
1,4 |
1,96 |
4,34 |
|
2002 |
3,2 |
1,4 |
1,96 |
4,48 |
|
2003 |
2,8 |
1,4 |
1,96 |
3,92 |
|
2004 |
2,9 |
1,3 |
1,69 |
3,77 |
|
2005 |
3,4 |
1,6 |
2,56 |
5,44 |
|
2006 |
3,5 |
1,3 |
1,69 |
4,55 |
|
2007 |
3,6 |
1,4 |
1,96 |
5,04 |
|
Σ |
31,4 |
13,2 |
17,64 |
41,63 |
РАССЧИТАЕМ:
коэффициент парной корреляции.
Коэффициент парной корреляции показывает направление и тесноту линейной связи.
>
>
Т. е. связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия прямая и слабая.
Таблица 3
Вспомогательная таблица для расчета коэффициента парной корреляции, средней относительной ошибки аппроксимации
|
t |
Y |
X |
|
|
|
|
A |
|
1998 |
3,0 |
1,1 |
0,048 |
0,020 |
0,031 |
2,955 |
0,015 |
|
1999 |
2,9 |
1,1 |
0,048 |
0,058 |
0,053 |
2,955 |
0,019 |
|
2000 |
3,0 |
1,2 |
0,014 |
0,020 |
0,017 |
3,039 |
0,013 |
|
2001 |
3,1 |
1,4 |
0,006 |
0,002 |
-0,003 |
3,207 |
0,035 |
|
2002 |
3,2 |
1,4 |
0,006 |
0,004 |
0,005 |
3,207 |
0,002 |
|
2003 |
2,8 |
1,4 |
0,006 |
0,116 |
-0,027 |
3,207 |
0,146 |
|
2004 |
2,9 |
1,3 |
0,000 |
0,058 |
0,005 |
3,123 |
0,077 |
|
2005 |
3,4 |
1,6 |
0,078 |
0,068 |
0,073 |
3,376 |
0,007 |
|
2006 |
3,5 |
1,3 |
0,000 |
0,130 |
-0,007 |
3,123 |
0,108 |
|
2007 |
3,6 |
1,4 |
0,006 |
0,212 |
0,037 |
3,207 |
0,109 |
|
Σ |
31,4 |
13,2 |
0,216 |
0,684 |
0,182 |
0,530 |
коэффициент детерминации
Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака Y под влиянием фактора Х, включенного в модель.
22,42% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений, на 77,58% влиянием прочих факторов, не учтенных в модели.
Рис. 2
F – критерий Фишера
Для проверки значимости уравнения регрессии в целом найдем расчетное значение критерия Фишера:
Расчетное значение статистики Фишера сравниваем с табличным
F(α; d.f.>1>; d.f.>2>), где
α – уровень значимости (для большей надежности примем его равным 0,05);
Число степеней свободы d.f.>1> = k = 1, где k – число факторов в модели;
Число степеней свободы d.f.>2> = n – k – 1 = 10 – 1 – 1 = 8
F (0.05; 1; 8) = 5,318.
В силу того, что F(расч.) = 2,312 < F(табл.)= 5,318, то уравнение в целом можно считать статистически незначимым.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации:
Фактические значения выручки отличаются от расчетных, полученных по модели на 5,3%. Ошибка небольшая, модель считается точной
НАЙДЕМ
ПАРАМЕТРЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
РЕГРЕССИИ
Расчет неизвестных параметров выполним методом наименьших квадратов (МНК).
Система нормальных уравнений имеет вид:
Необходимые расчеты представлены в таблице 4.
>Таблица 4>
>Вспомогательная таблица для расчетов показателей по гиперболической модели>
|
t |
Y |
X |
1/Х |
1/Х^2 |
Y/X |
|
|
A |
|
1998 |
3,0 |
1,1 |
0,909 |
0,826 |
2,727 |
2,940 |
0,004 |
0,020 |
|
1999 |
2,9 |
1,1 |
0,909 |
0,826 |
2,636 |
2,940 |
0,002 |
0,014 |
|
2000 |
3,0 |
1,2 |
0,833 |
0,694 |
2,500 |
3,047 |
0,002 |
0,016 |
|
2001 |
3,1 |
1,4 |
0,714 |
0,510 |
2,214 |
3,215 |
0,013 |
0,037 |
|
2002 |
3,2 |
1,4 |
0,714 |
0,510 |
2,286 |
3,215 |
0,000 |
0,005 |
|
2003 |
2,8 |
1,4 |
0,714 |
0,510 |
2,000 |
3,215 |
0,172 |
0,148 |
|
2004 |
2,9 |
1,3 |
0,769 |
0,592 |
2,231 |
3,137 |
0,056 |
0,082 |
|
2005 |
3,4 |
1,6 |
0,625 |
0,391 |
2,125 |
3,341 |
0,004 |
0,017 |
|
2006 |
3,5 |
1,3 |
0,769 |
0,592 |
2,692 |
3,137 |
0,132 |
0,104 |
|
2007 |
3,6 |
1,4 |
0,714 |
0,510 |
2,571 |
3,215 |
0,148 |
0,107 |
|
Σ |
31,4 |
13,2 |
7,672 |
5,962 |
23,983 |
0,533 |
0,549 |
Построена гиперболическая модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений:
РАССЧИТАЕМ:
индекс корреляции:
Связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия в гиперболической модели слабая
коэффициент детерминации
22,13% изменения выручки предприятия в гиперболической модели происходит под влиянием изменением объема капиталовложений и на 77,87% под влиянием факторов, не включенных в модель.
F – критерий Фишера
Проверим значимость уравнения
F(расч.) = 2,274< F(табл.)= 5,318, т.е. уравнение в целом можно считать статистически незначимым.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации:
Ошибка меньше 7%, модель можно считать точной.
Рис. 3
НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ СТЕПЕННОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ
Произведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.
Сделаем замену переменной Y = lg y, A = lg a, X = lg x. Тогда Y = A + b ∙ X – линейная модель парной регрессии. Можно применить МНК.
Необходимые расчеты представлены в таблице 5.
Построена
степенная модель зависимости выручки
предприятия «АВС» от объема капиталовложений:
>Таблица 5>
Вспомогательная таблица для расчетов показателей по степенной модель
|
t |
y |
x |
Y = lg y |
X = lg x |
X2
= |
X*Y
= |
|
|
A |
|
1998 |
3,0 |
1,1 |
0,477 |
0,041 |
0,002 |
0,020 |
2,946 |
0,003 |
0,018 |
|
1999 |
2,9 |
1,1 |
0,462 |
0,041 |
0,002 |
0,019 |
2,946 |
0,002 |
0,016 |
|
2000 |
3,0 |
1,2 |
0,477 |
0,079 |
0,006 |
0,038 |
3,035 |
0,001 |
0,012 |
|
2001 |
3,1 |
1,4 |
0,491 |
0,146 |
0,021 |
0,072 |
3,200 |
0,010 |
0,032 |
|
2002 |
3,2 |
1,4 |
0,505 |
0,146 |
0,021 |
0,074 |
3,200 |
0,000 |
0,000 |
|
2003 |
2,8 |
1,4 |
0,447 |
0,146 |
0,021 |
0,065 |
3,200 |
0,160 |
0,143 |
|
2004 |
2,9 |
1,3 |
0,462 |
0,114 |
0,013 |
0,053 |
3,120 |
0,048 |
0,076 |
|
2005 |
3,4 |
1,6 |
0,531 |
0,204 |
0,042 |
0,108 |
3,350 |
0,002 |
0,015 |
|
2006 |
3,5 |
1,3 |
0,544 |
0,114 |
0,013 |
0,062 |
3,120 |
0,145 |
0,109 |
|
2007 |
3,6 |
1,4 |
0,556 |
0,146 |
0,021 |
0,081 |
3,200 |
0,160 |
0,111 |
|
Σ |
31,4 |
13,2 |
4,955 |
1,178 |
0,163 |
0,592 |
|
0,532 |
0,531 |
РАССЧИТАЕМ:
индекс корреляции:
Связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия в степенной модели слабая.
коэффициент детерминации
Степенная модель всего на 13,44% детерминирует зависимость выручки предприятия от объема капиталовложений. 86,56% детерминации происходит под влиянием факторов не учтенных в модели.
F – критерий Фишера
Проверим значимость уравнения
F(расч.) = 1,242 < F(табл.)= 5,318, т.е. уравнение степенной модели в целом можно считать статистически незначимым.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации:
Ошибка меньше 7%, степенную модель можно считать точной.
Рис. 4
НАЙДЕМ
ПАРАМЕТРЫ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ
Произведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.
Сделаем замену переменной Y = lg y, A = lg a, В = lg b. Тогда Y = A + B ∙ x – линейная модель парной регрессии. Можно применить МНК.
Необходимые расчеты представлены в таблице 6.
Таблица 6
>Вспомогательная таблица для расчетов показателей по показательной модели>
|
t |
y |
x |
Y = lg y |
x2 |
x*Y
= |
|
|
A |
|
1998 |
3,0 |
1,1 |
0,477 |
1,21 |
0,525 |
2,953 |
0,002 |
0,016 |
|
1999 |
2,9 |
1,1 |
0,462 |
1,21 |
0,509 |
2,953 |
0,003 |
0,018 |
|
2000 |
3,0 |
1,2 |
0,477 |
1,44 |
0,573 |
3,032 |
0,001 |
0,011 |
|
2001 |
3,1 |
1,4 |
0,491 |
1,96 |
0,688 |
3,196 |
0,009 |
0,031 |
|
2002 |
3,2 |
1,4 |
0,505 |
1,96 |
0,707 |
3,196 |
0,000 |
0,001 |
|
2003 |
2,8 |
1,4 |
0,447 |
1,96 |
0,626 |
3,196 |
0,157 |
0,141 |
|
2004 |
2,9 |
1,3 |
0,462 |
1,69 |
0,601 |
3,113 |
0,045 |
0,073 |
|
2005 |
3,4 |
1,6 |
0,531 |
2,56 |
0,850 |
3,369 |
0,001 |
0,009 |
|
2006 |
3,5 |
1,3 |
0,544 |
1,69 |
0,707 |
3,113 |
0,150 |
0,111 |
|
2007 |
3,6 |
1,4 |
0,556 |
1,96 |
0,779 |
3,196 |
0,163 |
0,112 |
|
Σ |
31,4 |
13,2 |
4,955 |
17,640 |
6,565 |
|
0,531 |
0,524 |
Построена
показательная модель зависимости
выручки предприятия «АВС» от объема
капиталовложений:
РАССЧИТАЕМ:
индекс корреляции:
Связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия в степенной модели очень слабая.
коэффициент детерминации
В показательной модели изменение выручки на 22,30% обусловлено изменением объема капиталовложений, на 77,70% - влиянием факторов, не включенных в модель.
F – критерий Фишера
Проверим значимость уравнения
F(расч.) = 2,297 < F(табл.) = 5,318, т.е. показательное уравнение в целом можно считать статистически незначимым.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации:
Ошибка меньше 7%, показательную модель можно считать точной.
Рис. 5
СОСТАВИМ СВОДНУЮ ТАБЛИЦУ ВЫЧИСЛЕНИЙ (таблица 7)
Таблица 7
|
Пар- аметры |
Модель |
|||
|
линейная |
гиперболическая |
степенная |
показательная |
|
|
|
|
|
|
|
|
R>yx> |
0,4735 |
0,4705 |
0,3666 |
0,4723 |
|
R>yx>2 |
0,2242 |
0,2213 |
0,1344 |
0,2230 |
|
F>расч> |
2,31 |
2,27 |
1,24 |
0,78 |
|
A, % |
5,30 |
5,49 |
5,31 |
5,24 |
Все модели имеют примерно одинаковые характеристики. Но большее значение индекса корреляции, коэффициента детерминации, F – критерия Фишера и меньшее значение средней относительной ошибки аппроксимации имеет линейная модель. Т.е. она лучше и точнее из всех построенных моделей описывает зависимость выручки от объема капиталовложений.
Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.
СДЕЛАЕМ ПРОГНОЗ НА СЛЕДУЮЩИЕ ДВА ГОДА показателя у
(выручка), если х (объем капиталовложений) увеличивается на 10 % по сравнению с последним годом.
Лучшей
является линейная модель вида
Сначала найдем прогнозные значения показателя х (объем капиталовложений). В 2007 году объем капиталовложений составил 1,4 млн. руб. Следовательно, в 2008 году он составит – 1,4 ∙ 1,1 = 1,54 млн. руб., а в 2009 году - 1,54 ∙ 1,1 = 1,69 млн. руб.
Подставим
прогнозные значения х в уравнение
регрессии
Это будут точечные прогнозы результата у (выручка предприятия).
В 2008 году выручка предприятия составит: 2,028+0,843*1,54 = 3,33 (млн. руб.)
В 2009 году: 2,028+0,843*1,69 = 3,46 (млн. руб.)
Рис. 6
Задание 2
Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х>1>, млн. руб.) и основных производственных фондов (х>2>, млн. руб.) за последние 10 лет (табл. 8)
Таблица 8
|
Время, t |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
|
Выручка, у |
3,0 |
2,9 |
3,0 |
3,1 |
3,2 |
2,8 |
2,9 |
3,4 |
3,5 |
3,6 |
|
Объем
капитало- |
1,1 |
1,1 |
1,2 |
1,4 |
1,4 |
1,4 |
1,3 |
1,6 |
1,3 |
1,4 |
|
Основные |
0,4 |
0,4 |
0,7 |
0,9 |
0,9 |
0,8 |
0,8 |
1,1 |
0,4 |
0,5 |
Построить матрицу коэффициентов парной корреляции. Сделать соответствующие выводы о тесноте связи результата у и факторов х>1> и х>2>. Установить, проявляется ли в модели мультиколлинеарность.
Построить
линейную модель множественной регрессии
;
дать экономическую интерпретацию
параметров b>1> и b>2>.
Построить
степенную модель множественной регрессии
;
дать экономическую интерпретацию
параметров β>1> и β>2>.
Для каждой из моделей:
найти коэффициент множественной корреляции;
найти коэффициент детерминации;
проверить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F – критерия Фишера;
найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.
Составить сводную таблицу вычислений; выбрать лучшую модель.
Пояснить экономический смысл всех рассчитанных характеристик.
Найти частные коэффициенты эластичности и β – коэффициенты.
По линейной модели регрессии сделать прогноз на следующие два года показателя у (выручка), в зависимости от х>1> (объема капиталовложений) и х>2> (основных производственных фондов).
РЕШЕНИЕ:
ПОСТРОИМ МАТРИЦУ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ.
Для этого рассчитаем коэффициенты парной корреляции по формуле:
Необходимые расчеты представлены в таблице 9.
-
связь между выручкой предприятия Y и объемом капиталовложений Х>1> слабая и прямая;
-
связи между выручкой предприятия Y и основными производственными фондами Х>2> практически нет;
-
связь между объемом капиталовложений Х>1> и основными производственными фондами Х>2 >тесная и прямая;
Таблица 9
Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов парных корреляций
|
t |
Y |
X1 |
X2 |
(y-yср)2 |
(х1-х1ср)2 |
(x2-x2ср)2 |
(y-yср)* |
(y-yср)* |
(х1-х1ср)* |
|
1998 |
3,0 |
1,1 |
0,4 |
0,0196 |
0,0484 |
0,0841 |
0,0308 |
0,0406 |
0,0638 |
|
1999 |
2,9 |
1,1 |
0,4 |
0,0576 |
0,0484 |
0,0841 |
0,0528 |
0,0696 |
0,0638 |
|
2000 |
3,0 |
1,2 |
0,7 |
0,0196 |
0,0144 |
1E-04 |
0,0168 |
-0,0014 |
-0,0012 |
|
2001 |
3,1 |
1,4 |
0,9 |
0,0016 |
0,0064 |
0,0441 |
-0,0032 |
-0,0084 |
0,0168 |
|
2002 |
3,2 |
1,4 |
0,9 |
0,0036 |
0,0064 |
0,0441 |
0,0048 |
0,0126 |
0,0168 |
|
2003 |
2,8 |
1,4 |
0,8 |
0,1156 |
0,0064 |
0,0121 |
-0,0272 |
-0,0374 |
0,0088 |
|
2004 |
2,9 |
1,3 |
0,8 |
0,0576 |
0,0004 |
0,0121 |
0,0048 |
-0,0264 |
-0,0022 |
|
2005 |
3,4 |
1,6 |
1,1 |
0,0676 |
0,0784 |
0,1681 |
0,0728 |
0,1066 |
0,1148 |
|
2006 |
3,5 |
1,3 |
0,4 |
0,1296 |
0,0004 |
0,0841 |
-0,0072 |
-0,1044 |
0,0058 |
|
2007 |
3,6 |
1,4 |
0,5 |
0,2116 |
0,0064 |
0,0361 |
0,0368 |
-0,0874 |
-0,0152 |
|
Σ |
31,4 |
13,2 |
6,9 |
0,684 |
0,216 |
0,569 |
0,182 |
-0,036 |
0,272 |
|
Средн. |
3,14 |
1,32 |
0,69 |
|
|
|
|
|
|
Также матрицу коэффициентов парных корреляций можно найти в среде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗ ДАННЫХ, инструмента КОРРЕЛЯЦИЯ.
Матрица коэффициентов парной корреляции имеет вид:
|
|
Y |
X1 |
X2 |
|
Y |
1 |
|
|
|
X1 |
0,4735 |
1 |
|
|
X2 |
-0,0577 |
0,7759 |
1 |
Матрица парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный признак у (выручка) имеет слабую связь с объемом капиталовложений х>1>, а с Размером ОПФ связи практически нет. Связь между факторами в модели оценивается как тесная, что говорит о их линейной зависимости, мультиколлинеарности.
ПОСТРОИТЬ
ЛИНЕЙНУЮ МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ
Параметры модели найдем с помощью МНК. Для этого составим систему нормальных уравнений.
Расчеты представлены в таблице 10.
Решим систему уравнений, используя метод Крамера:
Таблица 10
Вспомогательные вычисления для нахождения параметров линейной модели множественной регрессии
|
y |
x>1> |
x>2> |
x>1>2 |
x1*x>2> |
x>2>2 |
y*x>1> |
y*x>2> |
|
3,0 |
1,1 |
0,4 |
1,21 |
0,44 |
0,16 |
3,3 |
1,2 |
|
2,9 |
1,1 |
0,4 |
1,21 |
0,44 |
0,16 |
3,19 |
1,16 |
|
3,0 |
1,2 |
0,7 |
1,44 |
0,84 |
0,49 |
3,6 |
2,1 |
|
3,1 |
1,4 |
0,9 |
1,96 |
1,26 |
0,81 |
4,34 |
2,79 |
|
3,2 |
1,4 |
0,9 |
1,96 |
1,26 |
0,81 |
4,48 |
2,88 |
|
2,8 |
1,4 |
0,8 |
1,96 |
1,12 |
0,64 |
3,92 |
2,24 |
|
2,9 |
1,3 |
0,8 |
1,69 |
1,04 |
0,64 |
3,77 |
2,32 |
|
3,4 |
1,6 |
1,1 |
2,56 |
1,76 |
1,21 |
5,44 |
3,74 |
|
3,5 |
1,3 |
0,4 |
1,69 |
0,52 |
0,16 |
4,55 |
1,4 |
|
3,6 |
1,4 |
0,5 |
1,96 |
0,7 |
0,25 |
5,04 |
1,8 |
|
31,4 |
13,2 |
6,9 |
17,64 |
9,38 |
5,33 |
41,63 |
21,63 |
Линейная модель множественной регрессии имеет вид:
Если объем капиталовложений увеличить на 1 млн. руб., то выручка предприятия увеличиться в среднем на 2,317 млн. руб. при неизменных размерах основных производственных фондов.
Если основные производственные фонды увеличить на 1 млн. руб., то выручка предприятия уменьшиться в среднем на 1,171 млн. руб. при неизменном объеме капиталовложений.
РАССЧИТАЕМ:
коэффициент множественной корреляции:
Связь выручки предприятия с объемом капиталовложений и основными производственными фондами тесная.
коэффициент детерминации:
67,82% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 32,18% - влиянием факторов, не включенных в модель.
F – критерий Фишера
Проверим значимость уравнения
Табличное значение F – критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы d.f.>1> = k = 2 (количество факторов), числе степеней свободы d.f.>2> = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74.
Так как F>расч.> = 7,375 > F>табл.> = 4.74, то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.
Рассчитанные показатели можно найти в среде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗА ДАННЫХ, инструмента РЕГРЕССИЯ.
Таблица 11
Вспомогательные вычисления для нахождения средней относительной ошибки аппроксимации
|
y |
x>1> |
x>2> |
y>расч>. |
y-y>расч> |
А |
|
3,0 |
1,1 |
0,4 |
2,97 |
0,03 |
0,010 |
|
2,9 |
1,1 |
0,4 |
2,97 |
-0,07 |
0,024 |
|
3,0 |
1,2 |
0,7 |
2,85 |
0,15 |
0,050 |
|
3,1 |
1,4 |
0,9 |
3,08 |
0,02 |
0,007 |
|
3,2 |
1,4 |
0,9 |
3,08 |
0,12 |
0,038 |
|
2,8 |
1,4 |
0,8 |
3,20 |
-0,40 |
0,142 |
|
2,9 |
1,3 |
0,8 |
2,96 |
-0,06 |
0,022 |
|
3,4 |
1,6 |
1,1 |
3,31 |
0,09 |
0,027 |
|
3,5 |
1,3 |
0,4 |
3,43 |
0,07 |
0,019 |
|
3,6 |
1,4 |
0,5 |
3,55 |
0,05 |
0,014 |
|
|
|
|
|
|
0,353 |
среднюю относительную ошибку аппроксимации
В среднем расчетные значения отличаются от фактических на 3,53 %. Ошибка небольшая, модель можно считать точной.
Построить
степенную модель множественной регрессии
Для построения данной модели прологарифмируем обе части равенства
lg y = lg a + β>1> ∙ lg x>1> + β>2> ∙ lg x>2>.
Сделаем замену Y = lg y, A = lg a, X>1> = lg x>1>, X>2> = lg x>2>.
Тогда Y = A + β>1> ∙ X>1> + β>2> ∙ X>2> – линейная двухфакторная модель регрессии. Можно применить МНК.
Расчеты представлены в таблице 12.
Таблица 12
Вспомогательные вычисления для нахождения параметров степенной модели множественной регрессии
|
y |
x>1> |
x>2> |
lg x>1> |
lg x>2> |
lg y |
lg2 x>1> |
lg x>1>* lg x>2> |
lg y*lg x>1> |
lg2 x>2> |
lg y* lg x>2> |
|
3,0 |
1,1 |
0,4 |
0,041 |
-0,398 |
0,477 |
0,002 |
-0,016 |
0,020 |
0,158 |
-0,190 |
|
2,9 |
1,1 |
0,4 |
0,041 |
-0,398 |
0,462 |
0,002 |
-0,016 |
0,019 |
0,158 |
-0,184 |
|
3,0 |
1,2 |
0,7 |
0,079 |
-0,155 |
0,477 |
0,006 |
-0,012 |
0,038 |
0,024 |
-0,074 |
|
3,1 |
1,4 |
0,9 |
0,146 |
-0,046 |
0,491 |
0,021 |
-0,007 |
0,072 |
0,002 |
-0,022 |
|
3,2 |
1,4 |
0,9 |
0,146 |
-0,046 |
0,505 |
0,021 |
-0,007 |
0,074 |
0,002 |
-0,023 |
|
2,8 |
1,4 |
0,8 |
0,146 |
-0,097 |
0,447 |
0,021 |
-0,014 |
0,065 |
0,009 |
-0,043 |
|
2,9 |
1,3 |
0,8 |
0,114 |
-0,097 |
0,462 |
0,013 |
-0,011 |
0,053 |
0,009 |
-0,045 |
|
3,4 |
1,6 |
1,1 |
0,204 |
0,041 |
0,531 |
0,042 |
0,008 |
0,108 |
0,002 |
0,022 |
|
3,5 |
1,3 |
0,4 |
0,114 |
-0,398 |
0,544 |
0,013 |
-0,045 |
0,062 |
0,158 |
-0,217 |
|
3,6 |
1,4 |
0,5 |
0,146 |
-0,301 |
0,556 |
0,021 |
-0,044 |
0,081 |
0,091 |
-0,167 |
|
31,4 |
13,2 |
6,9 |
1,178 |
-1,894 |
4,955 |
0,163 |
-0,165 |
0,592 |
0,614 |
-0,943 |
Решаем систему уравнений применяя метод Крамера.
Степенная модель множественной регрессии имеет вид:
В степенной функции коэффициенты при факторах являются коэффициентами эластичности. Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов измениться в среднем значение результативного признака у, если один из факторов увеличить на 1 % при неизменном значении других факторов.
Если объем капиталовложений увеличить на 1%, то выручка предприятия увеличиться в среднем на 0,897% при неизменных размерах основных производственных фондов.
Если основные производственные фонды увеличить на 1%, то выручка предприятия уменьшиться на 0,226% при неизменных капиталовложениях.
РАССЧИТАЕМ:
коэффициент множественной корреляции:
Связь выручки предприятия с объемом капиталовложений и основными производственными фондами тесная.
Таблица 13
Вспомогательные вычисления для нахождения коэффициента множественной корреляции, коэффициента детерминации, ср.относ.ошибки аппроксимации степенной модели множественной регрессии
|
Y |
X>1> |
X>2> |
Y >расч.> |
(Y-Y>расч>.)2 |
(Y-Y>ср>)2 |
A |
|
3,0 |
1,1 |
0,4 |
2,978 |
0,000 |
0,020 |
0,007 |
|
2,9 |
1,1 |
0,4 |
2,978 |
0,006 |
0,058 |
0,027 |
|
3,0 |
1,2 |
0,7 |
2,838 |
0,026 |
0,020 |
0,054 |
|
3,1 |
1,4 |
0,9 |
3,079 |
0,000 |
0,002 |
0,007 |
|
3,2 |
1,4 |
0,9 |
3,079 |
0,015 |
0,004 |
0,038 |
|
2,8 |
1,4 |
0,8 |
3,162 |
0,131 |
0,116 |
0,129 |
|
2,9 |
1,3 |
0,8 |
2,959 |
0,003 |
0,058 |
0,020 |
|
3,4 |
1,6 |
1,1 |
3,317 |
0,007 |
0,068 |
0,024 |
|
3,5 |
1,3 |
0,4 |
3,460 |
0,002 |
0,130 |
0,012 |
|
3,6 |
1,4 |
0,5 |
3,516 |
0,007 |
0,212 |
0,023 |
|
31,4 |
13,2 |
6,9 |
|
0,198 |
0,684 |
0,342 |
коэффициент детерминации:
71,06% изменения выручки предприятия в степенной модели обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 28,94 % - влиянием факторов, не включенных в модель.
F – критерий Фишера
Проверим значимость уравнения
Табличное значение F – критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы d.f.>1> = k = 2, числе степеней свободы d.f.>2> = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74.
Так как F>расч.> = 8,592 > F>табл.> = 4.74, то уравнение степенной регрессии в целом можно считать статистически значимым.
среднюю относительную ошибку аппроксимации
В среднем в степенной модели расчетные значения отличаются от фактических на 3,42 %. Ошибка небольшая, модель можно считать точной.
СОСТАВИМ СВОДНУЮ ТАБЛИЦУ ВЫЧИСЛЕНИЙ (табл. 14)
Таблица 14
|
Параметры |
Модель |
|
|
линейная |
степенная |
|
|
|
|
|
|
Коэффициент множественной корреляции |
0,8235 |
0,8429 |
|
Коэффициент детерминации |
0,6782 |
0,7106 |
|
F – критерий Фишера |
7,375 |
8,592 |
|
Средняя относительная ошибка аппроксимации, % |
3,53 |
3,42 |
В целом модели имеют примерно одинаковые характеристики. Но лучшей считается степенная модель, т.к значение коэффициента корреляции, индекса детерминации, F – критерия Фишера немного больше, а средняя относительная ошибка аппроксимации немного меньше, чем у линейной модели.
НАЙДЕМ ЧАСТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ЭЛАСТИЧНОСТИ И β – КОЭФФИЦИЕНТЫ
Для нахождения частных коэффициентов эластичности составим частные уравнения регрессии, т.е. уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующим фактором х при закреплении других учитываемых во множественной регрессии на среднем уровне.
и т.д.
Результаты расчетов представлены в таблице 15.
Таблица 15
Вспомогательная таблица для вычисления частных коэффициентов эластичности
|
Y |
X1 |
X2 |
Э(ух1) |
Э(ух2) |
|
3,0 |
1,1 |
0,4 |
0,524 |
-0,135 |
|
2,9 |
1,1 |
0,4 |
0,524 |
-0,135 |
|
3,0 |
1,2 |
0,7 |
0,545 |
-0,262 |
|
3,1 |
1,4 |
0,9 |
0,583 |
-0,364 |
|
3,2 |
1,4 |
0,9 |
0,583 |
-0,364 |
|
2,8 |
1,4 |
0,8 |
0,583 |
-0,311 |
|
2,9 |
1,3 |
0,8 |
0,565 |
-0,311 |
|
3,4 |
1,6 |
1,1 |
0,615 |
-0,484 |
|
3,5 |
1,3 |
0,4 |
0,565 |
-0,135 |
|
3,6 |
1,4 |
0,5 |
0,583 |
-0,174 |
Бета коэффициент рассчитываем по формуле:
- среднее
квадратическое отклонение.
Необходимые вычисления для расчета СКО представлены в таблице 9.
Если объем капиталовложений увеличить на величину своего СКО, т.е. 0,147 млн. руб., то выручка предприятия увеличится на 1,302 величины своего СКО, т.е. на 1,302 * 0,262 = 0,341 млн. руб.
Если основные производственные фонды увеличить на величину своего СКО, т.е. на 0,239 млн. руб., то выручка предприятия уменьшится на 1,068 своего СКО, т.е. на 1,068 * 0,262 = 0,280 млн. руб.
ПО ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ СДЕЛАЕМ ПРОГНОЗ НА СЛЕДУЮЩИЕ ДВА ГОДА показателя у (выручка), в зависимости от х>1> (объема капиталовложений) и х>2> (основных производственных фондов).
Прогнозные значения факторов можно получить, используя метод прогнозирования с помощью среднего абсолютного прироста:
,
где
- средний абсолютный прирост, рассчитываемый
по формуле:
;
k – период упреждения;
n – количество наблюдений.
,
тогда
Х>1, 11> = 1,4 + 1 ∙ 0,0333 = 1,4333 (млн.руб.)
Х>1, 12> = 1,4 + 2 ∙ 0,0333 = 1,4667(млн.руб.)
Х>2, 11> = 0,5 + 1 ∙ 0,0111 = 0,5111
Х>2, 12> = 0,5 + 2 ∙0,0111 = 0,5222
Составляем вектор прогнозных значений факторов:
.
Вычислим точечные прогнозы поведения выручки предприятия на моменты времени t = 11 и t = 12. Для этого подставим прогнозные значения факторов в уравнение регрессии.
(млн. руб.)
(млн. руб.)
Для получения
интервального прогноза
рассчитываем доверительные интервалы,
используя величину отклонения от линии
регрессии (U):
,
Операции с матрицами осуществим в среде Excel с помощью встроенных математических функций МУНОЖ и МОБР.
Среднее квадратическое отклонение расчетных значений от фактических:
Коэффициент Стьюдента t>α> для m = 10 – 2 – 1 = 7 степеней свободы и уровня значимости α = 0,05 равен 2,36.
U(11) = 0,1773 ∙ 2.36 ∙ 0,61610,5 = 0,329
U(11) = 0,1773 ∙ 2.36 ∙ 0.74810,5 = 0,362
Результаты вычислений представим в виде таблицы.
Таблица 16
|
Шаг |
Точечный прогноз, млн. руб. |
Нижняя граница, млн. руб. |
Верхняя граница, млн. руб. |
|
11 |
3,6121 |
3,2829 |
3,9412 |
|
12 |
3,6763 |
3,3136 |
4,0390 |
Список литературы:
Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Инфра – М, 2001. – 402 с.
Катышев П. К., Пересецкий А. А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 1999. – 72 с.
Практикум по эконометрике: Учеб. пособие; Под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192 с.
Тутыгин А.Г., Амбросевич М.А., Третьяков В.И. Эконометрика. Краткий курс лекций. Учебное пособие. – М.-Архангельск, Издательский дом «Юпитер», 2004. – 54 с.
Эконометрика: Учеб. пособие; Под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. –245 с.