Операторы проектирования
1
Министерство Образования Российской Федерации
Вятский Государственный Гуманитарный Университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Выпускная квалификационная работа
Операторы проектирования.
Выполнил студент 5курса
математического факультета
Лежнин В.В.
/подпись/
Научный руководитель:
Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов А.К.
/подпись/
Рецензент:
Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Подгорная М.И.
/подпись/
Допущена к защите в ГАК
Зав.
кафедрой М.В. Крутихина
/подпись/
<< >>
Декан факультета В.И. Варанкина
/подпись/
<<
>>
Киров
2003
Оглавление.
Введение. 2
Часть I. Основные понятия и предложения. 2
Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах. 10
Часть III. Задача о дополняемости. 13
Литература. 15
Введение.
В данной работе рассматриваются операторы проектирования, которые являются частным случаев линейных операторов, их некоторые свойства, и рассматривается вопрос: как с помощью операторов проектирования можно выяснить дополняемо множество или нет. Так же освящается тема дополняемости в гильбертовых пространствах. Попутно для рассмотрения предлагаются некоторые определения и факты, на которые опираются нужные нам утверждения. К самостоятельно выполненным заданиям относятся доказательство замкнутости ядра (стр. 6, предложение 2), формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число и решение задачи о дополняемости.
Часть I. Основные понятия и предложения.
Определение. Метрику d на векторном пространстве X будем называть инвариантной, если d(x+z,y+z)=d(x,y), для любых x,y,z из X.
Определение. Пусть d – метрика на множестве X. Если каждая последовательность Коши сходится в X к некоторой точке, то d называется полной метрикой на X.
Определение. Векторное
пространство X
называется нормированным пространством,
если каждому элементу x
из X
сопоставлено неотрицательное вещественное
число
,
именуемое нормой x,
и выполняются следующие условия:
+
x,
yX.
=
xX,
- скаляра.
> 0,
если x0.
Примеры нормированных пространств.
1) l
- нормированное пространство,
в котором элементы – последовательности
комплексных чисел x=(x
,
…,x
,
…), удовлетворяющие условию
<,
норма в таком пространстве
определяется
;
2) L(0,1)
- нормированное пространство, состоящее
из функций с интегрируемым квадратом
на интервале (0, 1), удовлетворяющее
условию
dx
< ,
и норма определена как
=
.
3) С
[0,
2]
– пространство непрерывных 2
периодических функций на отрезке [0,
2].
Норма в нем определяется
=
Определение. Пусть X, Y – два топологических линейных пространства. Линейным оператором, действующим из X в Y, называется отображение y = Ax, где x принадлежит X, а y принадлежит Y, удовлетворяющее условию
A(x+x
)
= Ax+Ax.
Определение. Оператор
A
называется непрерывным в точке x
области определения, если для любой
окрестности V
точки y=
Ax
существует такая окрестность U
точки x,
что Ax
принадлежит V,
как только x
принадлежит пересечению области
определения и U.
Оператор A
называется непрерывным, если он непрерывен
в каждой точке области определения.
Определение. Линейный
оператор,
действующий из
Е в Е,
называется ограниченным, если он
определен на всем Е и каждое ограниченное
множество переводит снова в ограниченное.
Предложение 1. Всякий непрерывный линейный оператор ограничен.
Доказательство.
Пусть М – подмножество ограниченного
множества Е, а подмножество АМ множества
Е
не ограничено. Тогда в Е
найдется такая окрестность нуля V,
что ни одно из множеств
АМ
не содержится в V.
То тогда существует такая последовательность
х
из М, что ни один из элементов
Ах
не принадлежит V,
и получается, что
х
0 в Е, но последовательность {Ах}
не
сходится к 0 в Е,
а это противоречит непрерывности
оператора А.
В нормированных пространствах определение ограниченности линейных операторов можно сформулировать так: оператор А ограничен, если существует такая постоянная С, что для всякого f из Е
.
Наименьшее из чисел С, удовлетворяющее
этому неравенству, называется нормой
оператора А и обозначается
.
Определение. Пусть
X -
векторное пространство. Линейное
отображение P:X
→ X
называется проектором в пространстве
X,
если
,
т.е. P(P(x))
= Px
для любого элемента x
из X.
Свойства проекторов.
Пусть P проектор в X с ядром N(P) и образом R(P).
R(P) = N(I-P) = {xX, Px = x}, где I – тождественное отображение;
R(P)N(P) = {0} и X = R(P)+N(P);
Доказательство 1.
а) Так как (I-P)P
= IP-
= P-P
= 0, то R(P)
содержится в N(I-P);
б) Если x принадлежит N(I-P), то x-Px = 0, следовательно, x = Px принадлежит R(P), значит N(I-P) содержится в R(P);
Таким образом, из а) и б) следует, что R(P) = N(I-P).
Доказательство 2.
Если x принадлежит пересечению R(P) и N(P), то x=Px=0, а следовательно, R(P) и N(P) пересекаются по {0};
Для любого x из X можно представить в виде x=Px+(x-Px), где Px принадлежит R(P) и x-Px принадлежит N(P), значит X=R(P)+N(P);
Определение. М – замкнутое подпространство топологического векторного пространства X. Если в X существует такое замкнутое подпространство N, что X=M+N и MN={0}, то говорят, что М дополняемо в X и что X является прямой суммой подпространств X=MN.
Определение. Топологическое векторное пространство X называется F-пространством, если топология порождается некоторой полной инвариантной метрикой.
Теорема o замкнутом графике.
Предположим, что X и Y являются F-пространствами, отображение Т:X→Y линейно и множество G={(x, Tx): xX} (его график) замкнуто в XY. Тогда Т – непрерывно.
Предложение 2. Пусть - линейный функционал на топологическом векторном пространстве X. Допустим, что x 0 для некоторого x из X.
Тогда если непрерывен, то ядро N() замкнуто в X.
Доказательство.
Так как N()
= 
({0}),
а {0} – замкнутое множество поля скаляров
(как любое одноточечное подмножество),
то тогда непрерывность
влечет замкнутость ядра (как прообраз
замкнутого множества при непрерывном
отображении).
Теорема 1.
а) Если Р – непрерывный проектор в топологическом векторном пространстве X, то X представляется в виде прямой суммы подпространств X=R(P)N(P);
б) Обратно: если Х является F-пространством и X представляется в виде прямой суммы подпространств Х=АВ, то проектор Р с образом А и ядром В непрерывен.
Доказательство:
а) Так как Р и I-P непрерывны, то подпространства N(P) и R(P)=N(I-P) замкнуты (см. предложение 2), значит по второму свойству проекторов X=R(P)N(P);
Чтобы доказать б) достаточно проверить, что проектор Р удовлетворяет условиям теоремы о замкнутом графике .
Пусть последовательности x→x
и Px→y.
Так как Px
принадлежит А, А – замкнуто, следовательно
y
принадлежит A,
а значит y
= Py.
Аналогично x-
Px
принадлежит В, В – замкнуто, следовательно
x-y
принадлежит B,
значит Py
= Px
поэтому y
= Px.
Получили, что точка (x,
y)
принадлежит G
(см. теорему о замкнутом графике). Отсюда
вытекает, что проектор Р непрерывен.
Определение. Топологической группой называется группа G, снабженная такой топологией, относительно которой групповые операции в G непрерывны.
Расшифровка этого определения
состоит в том, что постулируется
непрерывное отображение :GGG,
определенного равенством: (x,y)=xy.
Определение. Топологическая группа G, топология которой компактна, называется компактной группой.
Определение. Топологическое векторное пространство X называется локально выпуклым, если в нем всякое непустое открытое множество содержит непустое выпуклое открытое подмножество.
Определение. Пространство X называется пространством Фреше , если оно является локально выпуклым F-пространством.
Определение.
Предположим, что топологическое
векторное пространство X
и топологическая группа G
связаны следующим образом: кждому
элементу s
из G
сопоставлен непрерывный линейный
оператор T
:XX,
причем
T
= TT
,
где s,
t
принадлежат G
и отображение (s,
x)
Tx
прямого произведения GX
в пространстве X
непрерывно. В этом случае говорят, что
группа G
непрерывно и линейно действует в
пространстве X.
Теорема 2.
Пусть Y
– дополняемое подпространство Фреше
Х, и пусть компактная группа G
непрерывна и линейно действует на Х,
причем Т(Y)Y
для любого sG.
Тогда существует непрерывный проектор
Q
пространства Х на подпространство Y,
коммутирующий со всеми операторами Т.
Лемма Фату. Пусть
на множестве E
задана последовательность измеримых,
почти всюду конечных функций f
(x),
которая сходится по мере к некоторой
почти всюду конечной функции f
. Тогда
d
d
Пример недополняемого подпространства.
Рассмотрим подпространство Y=H
пространства Х=L,
где L-
пространство всех суммируемых функций
на комплексной плоскости, а H
состоит из всех функций L,
для которых
(n)=0,
при всех n<0.
(n)
обозначает n-ый
коэффициент Фурье функции f
и вычисляется:
(n)=
e
dx,
(n=0,
1,
2,
…). (1)
(для простоты обозначается:
f(x)=f(e
)).
В качестве группы G возьмем мультипликативную группу всех комплексных чисел, по модулю равных 1, и сопоставим каждому элементу
e
G
оператор сдвига ,
полагая, что
(f)(x)
= f(x+s),
где s
– некоторое вещественное число.
(2)
Теперь посмотрим, как изменяются
коэффициенты Фурье при таком сдвиге:
(
)(n)
=
e
dx.
Произведем замену: x+s = t x = t-s. Тогда
()(n)=
e
d(t-s)
=
=
e
e
dt=eedt=e
(n),
то есть (f)
(n)=
e
(n).
(3).
Так как
e
G,
то (H)
= H
для любого вещественного s.
Если бы подпространство H
было дополняемо в L,
то из Т2. следовало бы существование
такого непрерывного проектора Q
пространства L
на H,
что Q
= Q
для любого вещественного s.
(4).
Найдем вид проектора. Положим
e(x)=e
.
Тогда e=ee,
а так как оператор Q
линеен, то
Qe
= eQe.
(5).
Из (4) и (5) следует, что
(Qe)(x-s)
= e
(Qe)(x).
(6).
Пусть С
= (Qe)(0).
При Q
= 0 соотношение (6) имеет вид
Qe
= Ce.
(7).
Воспользуемся тем, что образом
оператора Q
служит подпространство Н.
Так как Qe
принадлежит H
для любого n,
то из (7) следует, что
С
= 0 для любого n<0.
Так как Qf
= f
для любого f
из H,
то С
= 1 при любом n0.
Таким образом, проектор Q должен являться «естественным», то есть его действие сводится к замене нулями всех коэффициентов Фурье с отрицательными номерами:
Q(
e)=
e.
(8).
Рассмотрим функцию f
(x)
=
e,
(0<r<1),
(9).
которая представляет собой
ядро Пуассона:
,
в частности f>0.
Поэтому
=
dx
=
dx
= 1 для любого r.
(10) Но (Qf)(x)
=
e
=
(11).
Так как
dx
= ,
то из леммы Фату следует, что
,
при
r 1. В силу (10) это противоречит непрерывности оператора Q.
Таким образом, доказано, что H
недополняемо в L.
Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах.
Гильбертово пространство.
Комплексное векторное пространство Н называется пространством с внутренним произведением (унитарное пространство), если каждой упорядоченной паре векторов x,y из Н сопоставлено комплексное число (x,y), называемое скалярным и:
а) (y,x)=
,
x,
yH;
b) (x+y,z)=(x+z)+(y+z), x, y, zH;
c) (x,y)=(x,y),
x,
yH,
C;
d) (x,x)0, xH;
e) (x,x)=0 x=0, xH;
Если (x,y) = 0, то говорят, что x ортогонален y (обозначение xy).
Если Е подмножество Н, F подмножество H, то ЕF обозначает, что (x,y) = 0 для любых x из E и любых y из F.
Через Е
обозначаются все y
из H,
ортогональные каждому из векторов x
из E.
Нормой в пространстве Н называется
число
.
Если полученное нормированное пространство является полным, то оно называется гильбертовым пространством.
Примеры гильбертовых пространств.
1) l
- комплексное гильбертово
пространство, в котором скалярное
произведение определяется формулой
(x,
y)
=
;
2) L(0,1)
- гильбертово пространство, в котором
скалярное произведение определено
формулой
(f,
g)
=
dx.
Теорема3:
М – замкнутое подпространство
гильбертова пространства Н, следовательно
H
можно представить в виде прямой суммы
M и
М
(Н=ММ,
М
- ортогональное дополнение к М).
Доказательство:
Если Е подмножество Н, то из
линейности скалярного произведения
(x,y)
по x
следует, что Е
является подпространством в Н. Допустим,
что элементы g
принадлежат Е
и сходятся к g.
Тогда для любого f
из E
(g,
f)
=
= 0, и потому g
тоже входит в Е,
значит Е
- замкнутое подпространство.
(1) Если х принадлежит М и х
принадлежит М,
то (х, х) = 0, а это будет тогда и только
тогда, когда х = 0, следовательно ММ={0}.
(2) Пусть х принадлежит Н.
Рассмотрим множество х-М = {х-х:
хМ},
причем х
такой, что он минимизирует величину
.
Пусть х
= х-х,
следовательно,
для любых y
из М, значит, х
принадлежит М,
поэтому для любого х из Н х можно
представить в виде х = х+х,
где х
из М и х
из М.
Из (1) и (2) следует, что Н представимо
в виде прямой суммы М и М
Н=ММ,
следовательно любое подмножество в
гильбертовом пространстве дополняемо.
Примеры дополняемых подпространств в гильбертовом пространстве.
1) в l
рассмотрим элементы x
= (x,
…,x,
…), у которых x=
0 при четных n
и x
произвольные при n
нечетных. Эти элементы образуют в l
замкнутое подпространство. Назовем его
X.
Рассмотрим также элементы y
= (y,
…, y,
…), у которых y
произвольные при четных n,
и y=
0 при нечетных n.
Эти элементы образуют замкнутое
подпространство в l,
и при этом это подпространство является
ортогональным дополнением к X,
так как их скалярное произведение равно
0. Следовательно, по Т3. X
дополняемо в H
с помощью X.
2) L(0,1).
Пусть X
– подпространство L(0,1),
состоящее из тех функций L(0,1),
которые обращаются в 0 на интервале (0,
а].
Пусть Y
– подпространство L(0,1),
состоящее из тех функций L(0,1),
которые в ноль не обращаются на интервале
[a,
1).
Тогда Y
является ортогональным дополнением X,
так как их скалярное произведение равно
0, а значит X
дополняемо в L(0,1)
с помощью Y.
Часть III. Задача о дополняемости.
Пусть С[0,
2]
- множество непрерывных 2
периодических функций на отрезке [0,
2].
Пусть Е – множество четных чисел и пусть
С
= {f(x)
С:
(n)
= 0 nE}.
Требуется доказать, что С
дополняемо в С[0,
2].
Доказательство:
Чтобы доказать требуемое,
необходимо найти такой непрерывный
проектор, который бы отображал множество
С[0,
2]
на С(Т1.),
таким образом, чтобы коэффициенты Фурье
функций, стоящие на нечетных номерах,
отображались бы в 0, а на четных оставались
бы без изменения.
Рассмотрим оператор P
=
(
+I),
где
- оператор сдвига на ,
а I
- тождественное отображение.
ограничен, так как мы имеем дело
с 2
периодическими функциями, так как
=
= 1,
то есть С = 1.
А раз он ограничен, то следовательно и непрерывен (предложение 1).
I - тоже непрерывен.
Теперь посмотрим, как изменятся коэффициенты Фурье функций при таком отображении.
n = 2k-1, где к – целое.
((
)(2k-1)+(
)(2k-1))
=
=
(e
(2k-1)+
(2k-1))
=
(2k-1)(
e
+1).
(*)
Так как
e
=cos
+isin
,
значит
e
= cos ((2k-1))+isin((2k-1)).
При любом k – целом выражение cos ((2k-1))+isin((2k-1)) = -1, а, следовательно, и выражение (*) принимает значение 0. Мы показали, что коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах при таком отображении обращаются в 0.
n=2k, где k – целое.
(()(2k)+(
)(2k))
=
(e
(2k)+
(2k))
=
=
(2k)(
e
+1).
(**)
При любом k
– целом выражение cos
(2k)+isin(2k)
= 1, а следовательно и выражение (**) не
изменяет своего значения, то есть равно
(2k).
Мы показали, что коэффициенты Фурье
функций, стоящие на четных номерах при
таком отображении не изменяются, то
есть оператор Р действительно является
проектором.
Таким образом, нашелся такой
непрерывный проектор P:
С[0,
2]
С,
следовательно С
дополняемо в С[0,
2].
Литература.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука. 1989.
Рудин Уолтер. Функциональный анализ. М., Наука. 1975.
Вулих Б.З. Краткий курс в теорию функций вещественной переменной. М., Наука. 1973.