Операторные уравнения (работа 2)
Федеральное агентство по образованию
Государственное муниципальное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Вятский Государственный Гуманитарный университет
(ВятГГУ)
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
Выпускная квалификационная работа
«Операторные уравнения»
Выполнила:
студентка V курса
математического факультета
Кощеева Анна Сергеевна
Научный руководитель:
старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов Артур Константинович
_______________________
Рецензент:
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ
Подгорная Ирина Иссаковна
________________________
Допущен к защите в ГАК
Зав.кафедрой______________________ Крутихина М.В.
« »____________
Декан факультета__________________ Варанкина В.И.
« »____________
Киров 2005
Содержание
|
Введение_______________________________________________________ |
3 |
|
|
Глава 1.Операторные уравнения.___________________________________ |
4 |
|
|
§1. Определение линейного оператора________________________ |
4 |
|
|
§2. Норма линейного оператора______________________________ |
5 |
|
|
§3. Обратные операторы____________________________________ |
5 |
|
|
§4. Абстрактные функции___________________________________ |
9 |
|
|
§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора________ |
11 |
|
|
§6. Метод малого параметра в простейшем случае______________ |
12 |
|
|
§7. Метод малого параметра в общем случае___________________ |
13 |
|
|
§8. Метод продолжения по параметру________________________ |
15 |
|
|
8.1. Формулировка основной теоремы___________________ |
15 |
|
|
8.2. Простейший случай продолжения по параметру_______ |
16 |
|
|
Глава 2. Приложение_____________________________________________ |
19 |
|
|
Литература_____________________________________________________ |
27 |
Введение
Функциональный анализ – мощное средство для решения математический задач, возникающих в реальных ситуациях, он имеет множество приложений в различных областях математики, его методы проникают в смежные технические дисциплины.
Многие задачи математической физики, теории упругости, гидродинамики сводятся к отысканию решения дифференциального линейного уравнения, что, в свою очередь, приводит к задаче отыскания решения уравнения Аx = y с линейным оператором А. В данной работе рассмотрены два метода решения операторных уравнений.
Цель данной работы: рассмотреть основы теории линейных операторов и методы решения операторных уравнений – метод малого параметра и метод продолжения по параметру, показать применение этих методов к решению задач.
Изучив имеющийся материал по данной теме, я поставила перед собой следующие задачи:
раскрыть некоторые основы теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных уравнений;
проиллюстрировать на конкретных примерах способы решения операторных уравнений и дать пояснения по ходу решения конкретных задач.
Так как выделение из функционального анализа его прикладной части, содержащей конструктивные методы получения решений задач, преследует методическую цель – сделать эти методы доступнее тем, кто занимается приложениями математики. Поэтому данная работа разделена на две главы, в первой содержатся необходимые теоретические обоснования способов решения операторных уравнений и суть обоих методов, а во второй – решения конкретных задач.
Глава 1. Операторные уравнения
§1.Определение линейного оператора
Пусть X и Y – линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.
Оператор А: X → Y с областью определения D(А) называется линейным, если
А(λ>1>x>1> + λ>2>x>2>) = λ>1>А(x>1>) + λ>2>А(x>2>)
для любых x>1>,x>2> D и любых скаляров λ>1> и λ>2>.
Пусть X и Y – нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду заданный в X (т.е. D(А) = X).
Оператор А называется непрерывным в точке x>0> X, если Аx → Аx>0> при x → x>0>. Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x>0> X можно по непрерывности его в нуле пространства X.
Теорема 1. Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0 X; тогда А непрерывен в любой точке x>0> X.
Доказательство. Рассмотрим равенство Аx – Аx>0> = А (x – x>0>). Если x → x>0>, то z = x – x>0 >→ 0. По непрерывности в нуле Аz → 0, но тогда Аx – Аx>0> → 0, что и требовалось доказать.
Линейный оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.
Пусть S>1>(0) – замкнутый шар ||x|| ≤ 1 в банаховом пространстве X.
Будем называть линейный оператор А: X → Y ограниченным, если он ограничен на единичным шаре S>1>(0), т.е. если ограничено множество
{ ||Аx||, ||x|| ≤ 1}.
Согласно определению, если А ограничен, то существует постоянная с > 0 такая, что для любых x с ||x|| ≤ 1 справедливо неравенство
||Аx|| ≤ с (1)
Теорема 2. А ограничен тогда и только тогда, когда справедлива оценка
||Аx|| ≤ с ||x|| (2)
для любых x X, где с – постоянная.
Теорема 3. Пусть А: X → Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы пространства. Для того чтобы А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.
§2. Норма линейного оператора
В линейном пространстве непрерывных линейных операторов зададим норму следующим образом:
. (1)
Поясним, почему существует конечное число ||А||, определяемое для любого ограниченного оператора равенством (1). Так как А – ограничен, то множество
ограничено сверху. По теореме о
верхней грани существует
.
Из свойства sup M следует, что ||Аx|| ≤ ||А|| для всех x S>1>(0). Отсюда
||Аx|| ≤ ||А|| ||x||, (2)
справедливое для всех x X, включая x = 0. таким образом, ||А|| является наименьшей из констант в неравенстве ||Аx|| ≤ ||А||, и, значит, оценка (2) является наилучшей.
Пространство нормированных непрерывных линейных операторов, действующих из X в Y, будем обозначать L(X, Y).
§3.Обратные операторы
Системы линейных алгебраических уравнений, интегральные уравнения, а также различные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с производными часто могут быть записаны в виде линейного уравнения
Если существует обратный оператор
,
то решение задачи записывается в явном
виде:
Важное значение приобретает теперь выявление условий, при выполнении которых обратный оператор существует и обладает теми или иными свойствами.
Пусть задан линейный оператор:
А: X → Y, где X,Y
– линейные пространства, причем его
область определения D(A)
X,
а область значений R(A)Y.
Введем множество
- множество нулей оператора А. заметим,
что N(A)
не пусто, так как 0
N(A)
Теорема 4. Оператор
А переводит D
(А) в R
(А) взаимно однозначно тогда и только
тогда, когда N(A)=
,
(т.е. множество А нулей состоит только
из элемента 0)
Теорема 5. Оператор А-1 существует и ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной m>0 и любого x D(A) выполняется неравенство
. (1)
Введем теперь следующее важное понятие.
Будем говорить, что линейный оператор А: X → Y непрерывно обратим, если R(A)=Y , оператор обратим и A-1 L(Y, X), (т.е. ограничен).
Обращаясь к теореме 5, мы сможем сформулировать следующее утверждение.
Теорема 6. Оператор
А непрерывно обратим тогда и только
тогда, когда R(A)=Y
и для некоторой постоянной m>0
и для всех
выполняется неравенство (1).
В случае определенного и ограниченного на всем множестве оператора A L(X,Y) имеется теорема Банаха об обратном операторе.
Теорема 7. Если А – ограниченный линейный оператор, отображающий взаимно однозначно банахово пространство X на банахово пространство Y, то обратный оператор А-1 ограничен.
Иными словами, если А L(X,Y), где X и Y банаховы, R(A)=Y и А обратим, то А непрерывно обратим.
Взглянем на понятие непрерывно обратимого оператора с точки зрения разрешимости линейного уравнения
Ax = y (2)
Если А непрерывно обратим, то
уравнение это имеет единственное решение
x =
A-1y
для любой правой части у. Если при этом
(решение
того же уравнения с правой частью
),
то
.
Это означает, что малое изменение правой
части y
влечет малое изменение решения, или,
как принято говорить, задача (2) корректно
разрешима.
Пусть А L(X,Y). Оператор U L(X,Y) будем называть правым обратным к А, если AU = I>y>. Оператор V L(X,Y) будем называть левым обратным к А, если VA = I>x>.
Здесь через I>y> (I>x>) обозначен тождественный оператор в пространстве Y (X). Ниже для правого обратного к А используем обозначение А>r>–1, а для левого – А>L>–1.
Лемма 1. Если существует правый обратный А>r>–1 к А, то уравнение (2) имеет решение
x = А>r>–1 y
Если существует левый обратный оператор к А, то уравнение (2) может иметь не более одного решения.
Доказательство.
А(А>r>–1 y) = (А А>r>–1)y = y,
т.е. x = А>r>–1 y обращает (2) в тождество и, значит, является решением.
Далее, пусть существует А>L>–1. рассмотрим N(A). Пусть x N(A), тогда Аx = 0. применим к этому равенству оператор А>L>–1, тогда А>L>–1Аx = 0, откуда x = 0. итак, всякое x N(A) оказывается равным 0. Значит, N(A) = {0} и, по теореме 4, А взаимно однозначен, т.е. для уравнения (2) справедлива теорема единственности. Что и требовалось доказать.
Пусть X
– банахово пространство. Рассмотрим
банахово пространство L(X)
– пространство линейных, ограниченных
и заданных на всем множестве операторов.
Пусть I
– тождественный оператор в L(X).
Очевидно, что I
непрерывно обратим. Ниже доказывается,
что вместе с I
непрерывно обратимы все операторы
- единичного шара в L(X),
т.е. все такие А, для которых справедливо
неравенство
.
Для краткости положим C = I – A. Ниже мы будем ссылаться на признак Вейерштрасса: пусть X – банахово пространство, тогда всякий абсолютно сходящийся в X ряд сходится.
Теорема 8. Пусть
и
;
тогда оператор I
– C
непрерывно обратим. При этом справедливы
оценки
(1)
(2)
Доказательство. Рассмотрим в L(X) ряд
I+C+C2+C3+… (3)
Так
как
,
то ряд (3) оценивается сходящимся числовым
рядом – геометрической прогрессией
По признаку Вейерштрасса ряд (3) сходится равномерно, т.е.
.
Где S – сумма ряда (3). Далее простой проверкой убеждаемся, что
,
.
Но
при этом
(ибо
и
),
а
.
Поэтому, в пределе имеем равенства (I
– C)S
= I
и S(I
– C)
= I.
По лемме 1 отсюда заключаем, что I
– C
непрерывно обратим и S=(I
– C)-1.
Далее,
,
.
Переходя
в этих неравенствах к пределу при
,
получаем оценки (1) и (2). Теорема доказана.
Теперь рассмотрим более общий случай пространства L(X,Y). Пусть А L(X,Y) непрерывно обратим.
Теорема 9. Пусть
A,
B
L(X,Y),
А непрерывно обратим и выполнено
неравенство
.
Тогда B
непрерывно обратим и справедливы оценки
,
.
§4. Абстрактные функции
Пусть S – некоторое множество на числовой оси или в комплексной плоскости, а X – нормированное пространство.
Рассмотрим функцию x(
)
с областью определения S
и с областью значений в X. Такие функции
принято называть абстрактными
функциями числовой переменной
или векторными функциями
числовой переменной,
поскольку элементы линейного (иначе –
векторного) пространства мы называем
также векторами. На абстрактные функции
числовой переменной переносятся многие
понятия и факты математического анализа.
Далее рассмотрим сведения о пределах
и непрерывности таких функций, о
разложении в степенные ряды, а также
понятие аналитической абстрактной
функции.
Пусть x()
определена в окрестности точки
>0>,
за исключением, быть может, самой точки
>0>.
Элемент а
X будем называть
пределом функции x()
при
→>0>
и записывать
при
→>0>,
если
при
→>0>.
Степенные ряды – это специальный
случай рядов в нормированном пространстве,
когда члены ряда зависят от параметра.
Рассмотрим в нормированном
пространстве X ряд вида
,
где x>к>
X, а
– вещественное или
комплексное переменное. Поскольку можно
ввести новую переменную
–>0>
=
,
то в дальнейшем мы полагаем
>0>
= 0 и рассматриваем степенные ряды вида
(1)
Конечная сумма
называется частичной
суммой степенного ряда
(1).
Пусть
– множество всех точек
,
для которых ряд (1) сходится.
называется областью
сходимости ряда (1).
Сумму ряда (1) при
обозначим через S()
(это абстрактная функция, определенная
на
со значениями в X), при этом будем писать
,
при
.
Последнее равенство означает,
что S>n>()
→ S()
при n→∞
для всех
.
Очевидно, область сходимости
любого степенного ряда (1) не пуста, так
как 0
.
Как и в случае скалярных функций,
справедлива следующая теорема.
Теорема 10
(Абель). Пусть>0>
≠ 0 и
>0>
,
тогда круг
содержится в
.
Во всяком круге S>r>(0),
где r
<
,
ряд (1) сходиться абсолютно и равномерно
относительно
.
Теорема 11. Пусть два степенных ряда равны в круге S>R>(0), R>0:
;
тогда равны все их коэффициенты:
(k=0,
1, 2, …)
Дифференцирование абстрактных функций
Пусть функция
числового переменного λ со значениями
в банаховом пространстве X
определена в окрестности точки λ>0>.
По определению производной x’(λ>0>) функции x(λ) в точке λ>0> называется предел
,
если
этот предел существует (и конечен). Если
имеет производную в точке λ>0>,
то она называется
дифференцируемой
в этой точке.
§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора
Абстрактную функцию x()
будем называть аналитической
при
=0,
если она представима в некоторой
окрестности точки
=0
сходящимся степенным рядом:
(1)
с ненулевым радиусом сходимости.
Теорема 12. Если
x()
– аналитическая абстрактная функция
при
=0,
то x()
непрерывна в круге S>R>(0),
где R – радиус сходимости степенного
разложения (1).
Теорема 13. Если
x()
– аналитическая абстрактная функция
при
=0,
то x()
дифференцируема в круге S>R>(0)
сходимости своего степенного разложения.
Пусть x()
бесконечно дифференцируема в точке 0.
Ряд вида
называется рядом
Тейлора функции x().
Если x()
аналитична при
=0,
то ее ряд Тейлора, в силу теоремы 10,
является ее степенным разложением и,
значит, сходится к ней в S>R>(0).
Понятие абстрактной аналитической функции используется в широко применяемом на практике методе малого параметра.
§6. Метод малого параметра в простейшем случае
Рассмотрим следующее уравнение:
Аx –Сx=y. (1)
Здесь А, С
L(X,Y)
и y
Y заданы,
- скалярный параметр,
,
а неизвестное x разыскивается
в X. Если
,
т.е.
, (2)
то, согласно теореме 9, оператор
А–С
непрерывно обратим, и тогда решение
уравнения (1) существует, единственно и
задается явной формулой
. (3)
Отсюда видно, что в круге (2)
решение является аналитической функцией
параметра
и, следовательно,
может быть найдено в виде
(4)
На этой идее основывается метод
малого параметра для уравнения (1).
Подставим ряд (4) в уравнение (1) и, согласно
теореме единственности разложения в
степенной ряд, приравниваем коэффициенты
при одинаковых степенях
в правой и левой частях
получившегося тождества:
.
Таким образом, мы приходим к следующей рекуррентной системе уравнений для определения x>0>, x>1>, …:
Аx>0>=y, Аx>1>=Сx>0>, …, Аx>к>=Сx>к-1>, …
Так как А непрерывно обратим, то отсюда последовательно находим
x>0>=А–1y, x>1>= А–1(СА–1)y, …, x>к>= А–1(СА–1)кy, …
Следовательно,
. (5)
Мы получили решение (3), разложенное в степенной ряд. Если мы хотим оборвать степенной ряд и ограничиться приближенным решением
то можно оценить ошибку. Вычитая из ряда (5) его частичную сумму (6) и оценивая разность по норме, получим
.
§7. Метод малого параметра в общем случае
Пусть дано уравнение
А()х
= у(). (1)
Здесь А()
L(X,Y)
задана при каждом
,
,
или, как говорят, А()
– оператор-функция. Пусть А()
аналитична при
=0,
а оператор А(0) непрерывно обратим, у()
– заданная аналитическая функция
при
=0
со значениями в Y.
Неизвестное x
разыскивается в X.
Аналитичность А()
и у()
в точке 0 означает, что они разлагаются
в следующие степенные ряды с ненулевыми
радиусами сходимости, которые равны
и
соответственно:
,
. (2)
Из аналитичности А()
следует непрерывность А()
при
=0.
следовательно, найдется число r
> 0 такое, что в круге
.
Отсюда вытекает, что в круге
оператор-функция
А()
непрерывно обратима и, следовательно,
уравнение (1) имеет единственное решение
,
при этом x()
аналитична в точке
=0
и радиус сходимости соответствующего
степенного ряда равен min(,
r).
Для фактического построения x()
удобно воспользоваться методом малого
параметра. Будем разыскивать x()
в виде
. (3)
Подставляя ряд (3) в уравнение (1) и учитывая разложения (2), приходим к следующей системе для неопределенных коэффициентов x>0>, x>1>, x>2>, …:
А>0>x>0> = y>0>, А>0>x>1>+А>1>x>0> = y>1>,
А>0>x>2> + А>1>x>1> + А>2>x>0> = y>2>, (4)
. . . . . . . . . . .
,
…
Здесь А>0> = А(0) непрерывно обратим. Решая последовательно уравнения получившейся системы, находим
,
,
… (5)
Возникающие здесь формулы
довольно громоздки, однако этим путем
можно найти решение уравнения с любой
степенью точности. Метод малого параметра
особенно удобен в тех случаях, когда
обращение оператора А(0) – задача более
простая, чем задача обращения оператора
А().
§8. Метод продолжения по параметру
8.1. Формулировка основной теоремы
В качестве еще одного приложения
теорем об обратных операторах рассмотрим
один из вариантов метода продолжения
по параметру. Пусть
и А непрерывно
обратим. Если
,
то, согласно теореме 9 §3, В
также непрерывно обратим. Оказывается,
при определенных условиях можно доказать,
что В будет
непрерывно обратим и в том случае, когда
он очень далек от А.
Идея заключается в следующем. Рассмотрим
непрерывную на отрезке [0, 1] оператор -
функцию
такую, что А(0)=А, А(1)=В.
Иначе говоря, в L(X,
Y)
рассматривается непрерывная кривая,
соединяющая точки А
и В. Будем
предполагать, что для оператор – функции
выполняется следующее условие:
Существует постоянная
такая, что при всех
и при любых
справедливо неравенство
.
(1)
Ниже будет доказана следующая теорема.
Теорема 14.
Пусть А(λ) – непрерывная на [0, 1]
оператор-функция (при каждом
),
причем оператор А(0) непрерывно обратим.
Если для А(λ)выполняется условие I,
то А(I)непрерывно
обратим, причем
.
Замечание к теореме 14.
Если выполнено условие I
при
и оператор
непрерывно обратим, то
.
(2)
Действительно, пусть
,
а
,
т.е.
.
тогда условие I
дает
или
,
что означает справедливость неравенства
(2).
8.2. Простейший случай продолжения по параметру
Приведем здесь доказательство
теоремы 14 для случая, когда
.
Согласно условию этой теоремы
.
По замечанию 14
.
Имеем следующую оценку:
.
Пусть
,
где
.
На [0, δ] имеем
,
и, следовательно, по теореме 9
А(λ) при
всяком
непрерывно обратим. Если окажется, то
,
то теорема доказана.
Пусть δ < 1. Возьмем А(δ).
Согласно замечанию п.14.1
.
Повторяем наши рассуждения при λ>δ.
Имеем оценку
,
если
,
откуда А(λ)
непрерывно обратим при каждом
.
Если
,
то теорема доказана. Если же 2δ < 1, то
и рассуждение можно повторить. После
конечного числа шагов мы достигаем
точки λ=1, и, следовательно, А(1)
непрерывно обратим.
Доказательство теоремы в общем случае
Рассмотренный выше частный случай отрезка в L(X,Y) не всегда удобен в приложениях. Общий случай основывается на следующем элементарном предложении.
Лемма. Пусть М – некоторое непустое множество на [0,1], одновременно открытое и замкнутое на [0.1]. тогда М=[0, 1].
Замечание 1. условие открытости
М на [0,1]
понимается так: для любого
существует δ > 0 такое, что
.
Доказательство леммы. Пусть N = [0, 1] \ M (дополнение к М на [0, 1]). Нужно доказать, что N = – пустое множество. Допустим противное, что N . Поскольку М и ограничено сверху, то существует b = supM, причем b M вследствие замкнутости. Покажем, что b = 1. Если b <1, то вследствие открытости M на [0, 1] найдется x > b, x M. Это противоречит определению supM. Следовательно, b >1 невозможно. Итак, 1 М.
Теперь рассмотрим множество N. Как дополнение к М, оно также открыто и замкнуто на [0, 1], и, значит, к нему применимо рассуждение с supM . мы получаем, что 1 N. Это невозможно, ибо N – дополнение к М. полученное противоречие доказывает, что допущение N неверно. Итак, N= , т.е. М = [0, 1]. Лемма доказана.
Вернемся к доказательству
теоремы. Пусть М
– множество тех точек λ[0, 1],
для которых оператор А(λ)
непрерывно обратим. Согласно замечанию
1
для всех λ
М. М
не пусто, поскольку 0
[0, 1].
воспользуемся непрерывностью
оператор–функции А(λ)
в метрике L(X,Y).
Для любого
> 0 найдется δ
= δ()>0
такое, что при всех λ
[0, 1] таких, что
< δ выполняется
неравенство
<.
Возьмем
= γ, тогда при
< δ(γ), λ
[0, 1]
<1.
По теореме 9
§3
А(λ)
непрерывно обратим для всех таких λ.
Итак, вместе с λ>0
>М
содержит
,
т.е. М открыто
на [0, 1].
Докажем, что М
замкнуто на [0, 1].
Пусть
и
при
.
Надо доказать, что λ>0
>М.
воспользуемся неравенством
и получим
.
Вследствие непрерывности
А(λ) по λ
для любого
> 0 находим номер N
= N()
такой, что при n
> N
будет
<.
Возьмем
= γ, тогда для n
= N(γ)+1
<1.
По теореме 9
А(λ>0>)
непрерывно обратим, т.е. λ>0
>
М,
и, значит, М
замкнуто на [0, 1].
По лемме М = [0, 1]
. в частности, 1
М и
.
Теорема полностью доказана.
Замечание. Рассмотрим уравнение с параметром:
А(λ)х = у, λ [0, 1]. (1*)
Пусть для всех возможных решений этого уравнения при всяком λ [0, 1] справедлива оценка
,
(2*)
где с
– некоторая постоянная, не зависящая
от х, у и λ.
Оценка такого рода называется априорной
оценкой для решения уравнения (1*).
Очевидно, априорная оценка (2*) представляет
собой лишь иначе записанное условие
(1): 
.
Доказанная выше теорема свидетельствует о важности априорных оценок для доказательства теорем существования и единственности решений.
Глава 2. Приложение
Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение с малым вещественным параметром λ:
(1)
Это уравнение вида А()х
= у()
– операторное уравнение в С[-π; π], где
Покажем, что А()
аналитична в т. 0, т.е. разлагается в ряд
вида
.
Разложим функцию А()
в ряд Тейлора:
.
Найдем к – ую производную:
Разложим функцию в ряд Тейлора в т. 0:
Таким образом, функция аналитична,
следовательно, непрерывна при
= 0, а значит, уравнение
имеет единственное решение.
Операторные коэффициенты имеют вид:
;
(2)
I. Начнем с уравнения А>0>x>0> = y системы (4) §7, где у нас теперь y>0>=y, y>к>=0, к ≥ 1.
Заменим,
,
поэтому
,
(4)
где
,
Для того, чтобы найти коэффициент А в уравнении (4), умножим его на cos t и, интегрируем по t от –π до π:
,
подсчитаем интегралы:
,
,
Тогда, подставив в уравнение,
получаем:
.
Отсюда:
. (5)
Найдем коэффициент В уравнения (4), умножив это уравнение на sin t и интегрируя по t от –π до π:
.
Подсчитав соответствующие интегралы:
,
,
,
подставив и выразив В,
получаем:
. (6)
Подставим найденные коэффициенты (5) и (6) в уравнение (4):
и свернем по формуле:
II. Найдем теперь x>1>(t), для этого необходимо решить следующее уравнение системы (4) §7: А>0>x>1>+А>1>x>0> = y>1>. Так как y>1>=0 в нашем случае, то мы будем решать уравнение А>0>x>1>= – А>1>x>0>.
Обозначим
,
т.к. мы знаем теперь x>0>(s),
следовательно φ(t)
можно вычислить. Имеем:
Как в предыдущем случае заменим,
,
поэтому
. (7)
где
,
.
Умножим уравнение (7) на cos t и проинтегрируем по t от –π до π – получим коэффициент А:
Подсчитав:
,
,
,
имеем
.
Аналогично умножив уравнение
(7) на sin
t и
проинтегрируем по t
от –π до π – получим коэффициент В:
.
Составляем функцию x>1>(t), подставив коэффициенты А и В в уравнение и свернув равенство по формуле косинуса разности:
.
Таким способом мы можем найти все остальные решения уравнения с любой степенью точности.
Пример 2. Применим метод продолжения по параметру для оценки разрешимости краевой задачи для дифференциального уравнения, а потом решим ее методом малого параметра.
–x'' + b(t)x' +c(t)x = y(t), 0< t <1, (1)
x(0) = x(1) = 0 (2)
Здесь c(t) непрерывна на [0, 1], b(t) непрерывно дифференцируема на [0, 1]. Предположим еще, что на [0, 1] c(t) – b(t)'/2 ≥ α > –8/π (*).
Покажем методом продолжения по
параметру, что в этих условиях при всякой
правой части y Y
= С [0, 1] существует единственное решение
задачи x
X = С2 [0, 1] –
пространству, состоящему из дважды
непрерывно дифференцируемых на [0, 1]
функций x(t),
удовлетворяющих граничным условиям
(2), и с нормой
,
где
.
Запишем задачу (1) – (2) в операторном виде: Вx = y
Здесь
определен всюду на X со значениями в Y.
В качестве оператора А примем
L(X,
Y).
Соединим операторы А и В отрезком
,
λ
[0, 1].
Теперь необходимо установить априорную оценку для решений краевой задачи
–x'' + λb(t)x' + λc(t)x = y(t), 0< t <1, (3)
x(0) = x(1) = 0 (4)
Как только такая оценка будет получена, из теоремы п.8.1. будет следовать однозначная разрешимость краевой задачи (3) – (4).
Умножим уравнение (3) на x(t) и проинтегрируем полученное равенство по t от 0 до 1:
.
Заметим, с учетом граничных условий:
Подставим полученные интегралы и сгруппируем относительно λ:
(5)
Произведем оценку всех трех слагаемых в этом равенстве.
Докажем, что
.
(6)
Заметим, что
,
и значит по неравенству Коши –
Буняковского:
.
Точно так же:
.
Перемножим эти неравенства:
.
(6*)
Отсюда, замечая, что
,
получим
.
Далее
(7)
– это следует из предположения (*).
Последний интеграл равенства (5) можно оценить, используя скалярный квадрат:
,
где
.
Для любого ε >
0
. (8)
Используя полученные неравенства (6), (7), (8) и подставляя их в равенство (5), получаем:
,
считая ε > 0 достаточно малым, имеем
.
Выберем
и получим
,
где
.
Возвращаясь снова к равенству (5), получим следующую оценку:
,
где
,
а
.
Теперь с помощью оценки (6*) имеем
и, значит, учитывая, что
,
получим
(9)
Из уравнения (3) можем получить
оценки для
и
:
.
(10)
Здесь
оценивается через
и
.
Действительно, x(0) = x(1) = 0. по теореме Роля
на (0, 1) найдется точка ξ, в которой x'(ξ)
= 0. Тогда, запишем уравнение (3) в виде
,
(в этом можно убедиться, взяв производную:
и сократив
)
интегрируем его от ξ до θ и получим
.
Отсюда имеем оценку
,
(11)
где
.
Теперь подставим полученные результаты в (10):
.
(12)
Теперь (9), (11) и (12) дают искомую априорную оценку:
(постоянную с>4> нетрудно подсчитать, сложив неравенства(9), (11), (12)и выполнив преобразования).
Таким образом, доказательство разрешимости задачи получено, теперь приступим к ее решению методом малого параметра.
Итак, рассмотрим операторное уравнение:
А(λ)x = y(λ),
где
.
I. Начнем с уравнения А>0>x>0> = y (где А>0> – коэффициент при нулевой степени λ) системы (4) §7, причем y>0 >= y, y>к >= 0, к ≥ 1.
,
причем с>1>
подбирается так, чтобы выполнялось
краевое условие: x>0>(1)
= 0.
II. Найдем x>1>(t), для этого необходимо решить следующее уравнение: А>0>x>1>+А>1>x>0> = y>1>. Так как y>1>=0, то мы будем решать уравнение А>0>x>1>= – А>1>x>0>.
Из того, что
следует
следующее уравнение:
.
По аналогии c>2> и c>3> подбираем так, чтобы выполнялось краевое условие: x>0>(1) = 0.
Таким образом, решения нашей краевой задачи выглядит так:
,
подставляя найденные решения, имеем:
или
Литература
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. М., 1962
Талдыкин А.Т. Элементы прикладного функционального анализа: Учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 1982.
Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1993.
Функциональный анализ./Под. ред. С. Г. Крейна. М., 1972
Хатсон В., Пим Дж. С. Приложения функционального анализа и теория операторов. Пер. с англ. – М.: Мир, 1983.
- 2 -