Степенные ряды
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Степенные ряды
Содержание
1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
2. Свойства степенных рядов
3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
5. Приложения степенных рядов
1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.
Определение 1.1.
Степенным рядом
называется функциональный ряд вида
.(1.1)
Здесь
– постоянные вещественные числа,
называемые коэффициентами
степенного ряда; а
– некоторое постоянное число, х
– переменная, принимающая значения из
множества действительных чисел.
При
степенной ряд (1.1) принимает вид
.
(1.2)
Степенной ряд (1.1) называют рядом
по степеням разности
,
ряд (1.2) – рядом по степеням
х.
Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.
Определение 1.2. Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.
Ряд (1.1) с помощью подстановки
приводится к более простому виду (1.2),
поэтому вначале будем рассматривать
степенные ряды вида (1.2).
Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.
Теорема 1.1 (Теорема Абеля):
если степенной ряд (1.2) сходится
при
,
то он абсолютно сходится при всех
значениях х, удовлетворяющих неравенству
;
если же ряд (1.2) расходится при
,
то он расходится при всех значениях х,
удовлетворяющих неравенству
.
Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.
Теорема 1.2:
область сходимости степенного ряда (1.2) совпадает с одним из следующих интервалов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
,
где R
– некоторое неотрицательное действительное
число или
.
Число R
называется радиусом
сходимости, интервал
– интервалом сходимости
степенного ряда (1.2).
Если
,
то интервал сходимости представляет
собой всю числовую ось
.
Если
,
то интервал сходимости вырождается в
точку
.
Замечание:
если
– интервал сходимости для степенного
ряда (1.2), то
– интервал сходимости для степенного
ряда (1.1).
Из теоремы 1.2 следует, что для
практического нахождения области
сходимости степенного ряда (1.2) достаточно
найти его радиус сходимости R
и выяснить вопрос о сходимости этого
ряда на концах интервала сходимости
,
т. е. при
и
.
Радиус сходимости R степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:
формула Даламбера:
;(1.3)
формула Коши:
.(1.4)
Если в формуле Коши
,
то полагают
,
если
,
то полагают
.
Пример 1.1. Найти
радиус сходимости, интервал сходимости
и область сходимости степенного ряда
.
Решение
Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле
В нашем случае
,
.
Тогда
.
Следовательно, интервал сходимости
данного ряда имеет вид
.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
При
степенной ряд превращается в числовой
ряд
.
который расходится как гармонический ряд.
При
степенной ряд превращается в числовой
ряд
.
Это – знакочередующийся ряд,
члены которого убывают по абсолютной
величине и
.
Следовательно, по признаку Лейбница
этот числовой ряд сходится.
Таким образом, промежуток
– область сходимости данного степенного
ряда.
2. Свойства степенных рядов
Степенной ряд (1.2) представляет
собой функцию
,
определенную в интервале сходимости
,
т. е.
.
Приведем несколько свойств
функции
.
Свойство 1. Функция
является непрерывной на любом отрезке
,
принадлежащем интервалу сходимости
.
Свойство 2. Функция
дифференцируема на интервале
,
и ее производная
может быть найдена почленным
дифференцированием ряда (1.2), т. е.
,
для всех
.
Свойство 3.
Неопределенный интеграл
от функции
для всех
может быть получен почленным
интегрированием ряда (1.2), т. е.
для всех
.
Следует отметить, что при почленном
дифференцировании и интегрировании
степенного ряда его радиус сходимости
R
не меняется, однако его сходимость на
концах интервала
может измениться.
Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1.1).
Пример 2.1. Рассмотрим степенной ряд
.
Область сходимости этого ряда,
как показано в примере 1.1, есть промежуток
.
Почленно продифференцируем этот ряд:
.(2.1)
По свойству 2 интервал сходимости
полученного степенного ряда (2.1) есть
интервал
.
Исследуем поведение этого ряда
на концах интервала сходимости, т. е.
при
и при
.
При
степенной ряд (2.1) превращается в числовой
ряд
.
Этот числовой ряд расходится,
так как не выполняется необходимый
признак сходимости
:
,
который не существует.
При
степенной ряд (2.1) превращается в числовой
ряд
,
который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.
Следовательно, область сходимости
степенного ряда, полученного при
почленном дифференцировании исходного
степенного ряда, изменилась и совпадает
с интервалом
.
3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
Пусть
– дифференцируемая бесконечное число
раз функция в окрестности точки
,
т. е. имеет производные любых порядков.
Определение 3.1.
Рядом Тейлора
функции
в точке
называется степенной ряд
.
(3.1)
В частном случае при
ряд (3.1) называется рядом
Маклорена:
.
(3.2)
Возникает вопрос: в каких случаях
ряд Тейлора для дифференцированной
бесконечное число раз функции
в окрестности точки
совпадает с функцией
?
Возможны случаи, когда ряд Тейлора
функции
сходится, однако его сумма не равна
.
Приведем достаточное условие
сходимости ряда Тейлора функции
к этой функции.
Теорема 3.1:
если в интервале
функция
имеет производные любого порядка и все
они по абсолютной величине ограничены
одним и тем же числом, т. е.
,
то ряд Тейлора этой функции сходится к
для любого х из этого интервала
,
т. е. имеет место равенство
.
Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.
Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.
4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
1.
.
Для этой функции
,
.
По формуле (3.2) составим ряд Маклорена данной функции:
.
(3.3)
Найдем радиус сходимости ряда (3.3) по формуле (1.3):
.
Следовательно, ряд (3.3) сходится
при любом значении
.
Все производные функции
на любом отрезке
ограничены, т. е.
.
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
.
(3.4)
2.
.
Для этой функции
,
,
.
Отсюда следует, что при
производные четного порядка равны нулю,
а производные нечетного порядка чередуют
знак с плюса на минус.
По формуле (3.2) составим ряд Маклорена:
.
При любом фиксированном значении этот ряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. При этом
.
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
.
(3.5)
3.
.
Воспользуемся разложением (3.5) в ряд
Маклорена функции
и свойством 2 о дифференцировании
степенного ряда. Имеем
|
|
(3.6) |
.
Поскольку при почленном
дифференцировании интервал сходимости
степенного ряда не изменяется, то
разложение (3.6) имеет место при любом
.
Приведем без доказательства разложения других элементарных функций в ряды Маклорена.
4.
– биномиальный ряд
(
– любое действительное число).
Если
– положительное целое число, то получаем
бином Ньютона:
.
– логарифмический ряд.
.
5. Приложения степенных рядов
Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.
Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.
Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х:
;
;
;
;
;
.
Литература
1. Высшая математика: Общий курс: Учебник – 2-е изд., перераб. / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.
2. Марков Л.Н., Размыслович Г.П.
Высшая математика. Ч. 2. Основы
математического анализа и элементы
дифференциальных уравнений. – Мн.:
Амалфея, 2003. – 352 с.