Способи перетворення креслення

Житомирський Військовий Інститут

Національного Авіаційного Уніврситету

Реферат

на тему:

Житомир 2010

Задачі нарисної геометрії можна розділити на позиційні та метричні.

В метричних задачах треба знайти натуральні розміри геометричних фігур, які дані на кресленні своїми проекціями в загальному виді. Наприклад, знайти довжину відрізка, величину кута та ін. Подібну задачу вирішили на практичному занятті № 2 – визначали натуральну величину відрізка прямої та кут нахилу до площини проекції.

В позиційних задачах треба знайти положення геометричних фігур (точки, прямої, площини, фігури), які задовольняють умовам задачі. Наприклад, знайти точку перетину прямої з площиною, провести пряму або площину через дану точку, знайти лінію перетину площин і т. ін. Таку задачу вирішили на практичному занятті № 3.

Розв’язування просторових задач на комплексному кресленні значно спрощується, якщо елементи простору, які нас цікавлять, займають частинне положення, тобто розташовані паралельно або перпендикулярно площинам проекцій. Це перш за все стосується прямих ліній, площин, гранних і криволінійних поверхонь. Після перетворення комплексного креслення одержані проекції дають можливість значно спростити хід розв’язування задачі.

Щоб досягти частинного розташування геометричних фігур, комплексне креслення перетворюють або перебудовують, виходячи з конкретних умов.

Існують два основних способи перетворення проекцій:

спосіб заміни площин проекцій;

спосіб обертання.

При першому способі положення фігури відносно площин проекцій залишається незмінним, змінюється тільки положення одної з площин проекцій, причому площина, яку замінюють залишається в положенні перпендикулярному до незмінюваної площини.

В другому способі обертання положення площин проекцій залишається незмінним, змінюється положення фігури відносно площин проекцій шляхом обертання її навколо осі, паралельної одної з площин проекцій.

Оскільки частинних положень у прямої два і в площини два, то існують чотири задачі для перетворення комплексного креслення:

пряму загального положення зробити прямою рівня;

пряму рівня зробити проекціюючою прямою;

площину загального положення зробити проекціюючою;

проекціюючу площину зробити площиною рівня.

Спосіб заміни площин проекцій

Теорія способу заміни площин. Суть цього способу полягає в тому, що просторове положення заданих елементів або фігури залишається незмінним, а змінюється система площин проекцій. Додаткові площини проекцій вводяться так, щоб на них елементи, які нас цікавлять, зображувалися в зручному для конкретної задачі положенні. Тобто одна з основних площин р_>2> або р_>1> заміняється новою додатковою площиною р_>4>, розташованою паралельно або перпендикулярно заданій геометричній фігурі. Перетворення проекцій деякої геометричної фігури, яке здійснюється способом заміни площин, проекцій, пов’язане з перетворенням проекцій точок, що належать даній фігурі. Тому розглянемо спочатку, яких змін зазнають проекції окремої точки при переході від однієї системи ортогональних площин до іншої.

На рис. 1 точка A задана в системі р_>2>/ р_>1>. Вісь проекцій будемо позначати записом в вигляді дробу – позначення площин представляють собою як би чисельник та знаменник, причому кожна буква ставиться по той бік вісі, де повинні розміщуватися відповідні проекції. Площина р_>2> замінена новою площиною р_>4> перпендикулярною до р_>1>. Площина р_>1> є загальною в системі р_>2>/р_>1> і р_>1>/р_>4>, то координата z_>A> залишається незмінною.

Отже, відстань від нової фронтальної проекції до нової вісі x_>14> дорівнює відстані від замінюваної проекції до вісі x_>12>.

Рис. 1

Для одержання епюра точки А площину р_>4> обертають навколо вісі x_>14> до сполучення з площиною р_>1>. Суміститься з р_>4> і нова фронтальна проекція А_>4> точки А, яка виявиться на спільному перпендикулярі до нової вісі х_>14> з горизонтальною проекцією А_>1>, яка не змінила свого положення (рис. 2)

Аналогічно можна замінити горизонтальну площину проекцій р_>1>_>>площиною р_>4>, також перпендикулярною р_>2> (рис. 3,а). У цьому випадку величина координати у, котра визначає відстань від точки В до спільної для двох систем площини р_>2>, не зміниться. Тому відстань від нової «горизонтальної» проекції точки до нової осі х_>24> дорівнює відстані від точки В_>1> до осі х_>12>.

При побудові нової проекції точки на епюрі (рис. 3,б) із В_>2>опускають перпендикуляр на нову вісь х_>24>, на якому від отриманої точки відкладають відрізок, що дорівнює координаті у.

Висновки:

при заміні фронтальної площини проекцій р_>2> новою площиною горизонтальна проекція точки залишається без змін;

щоб визначити нову фронтальну проекцію точки, треба з горизонтальної проекції опустити перпендикуляр на нову вісь і від вісі відкласти на ньому відрізок, який дорівнює відстані від замінюваної проекції до старої осі, тобто координату z даної точки.

Деякі перетворення проекцій вимагають подвійної заміни площин. Послідовний перехід від однієї системи площин проекцій до іншої необхідно здійснювати, дотримуючись такого правила: відстань від нової проекції точки до нової осі має дорівнювати відстані від перетворюваної (замінюваної) проекції точки до попередньої осі.

Для розуміння та просторового уявлення переходу від одної системи площин до 2 інших розглянемо декілька задач.

Задача 3. Перетворити креслення так, щоб площина загального положення в новій системі площин проекцій стала проекціюючою.

Нехай площина загального положення задана трьома точками А, В, С (рис. 4). Для розв’язування сформульованої задачі нову площину проекцій потрібно розташувати перпендикулярно трикутнику ABC і одній з площин проекцій. Нова площина має бути перпендикулярна лінії перетину заданої площини з однією з площин проекцій. При цьому немає необхідності будувати таку лінію, оскільки її напрям можна встановити за допомогою головної лінії площини.

Ось чому в заданій площині перш за все проводять одну з головних ліній, наприклад горизонталь АН. Ця горизонталь потрібна для орієнтування нової площин проекцій р_>
4>.

Розташувавши р_>4>  АН, ми забезпечуємо виконання двох умов одразу: нова площина р_>4> буде перпендикулярна і до р_>1> і до площини трикутника. Нову вісь х_>24> проводять під прямим кутом до А_>1>Н_>1>. Провівши через горизонтальні проекції вершин трикутника прямі, перпендикулярні до нової осі, відкладають на них від х_>14> відрізки, що дорівнюють z_>A>, z_>B> і z_>С>. Так одержують нову фронтальну проекцію А_>4>В_>4>С_>4> трикутника ABC, яка являє собою пряму лінію. Відмітимо, що на площину р_>4>, яка перпендикулярна до трикутника і р_>1>, без спотворення проекціюється кут ц, утворений трикутником з площиною р_>1>.

Аналогічне перетворення виконано на рис. 5, де площина р_>1> замінена площиною р_>4>, перпендикулярною до р_>2> і трикутника ABC. Для цього в площині трикутника була проведена фронталь AF, перпендикулярно до якої і розташовується площина р_>4>. Нова вісь х_>24>вибрана перпендикулярно до A_>2>F_>2>. Площина трикутника відносно р_>1> стала проекціюючою. На площину р_>4> без спотворення проекціюється кут  нахилу трикутника до фронтальної площини проекцій р_>2>.

Задача 4. Перетворити креслення так, щоб площина загального положення стала паралельною одній з площин проекцій нової системи

Нехай задано трикутник ABC у площині загального положення (рис. 6). Потрібно створити таку нову ортогональну систему площин проекцій, в якій одна з них має бути паралельною трикутнику. В системі р_>2>/ р_>1> таку площину побудувати не можна. Справді, площина трикутника, не буде перпендикулярна ні до р_>1> ні до р_>2>, тобто вона не утворює з площинами проекцій ортогональної системи.

Розв’язування задачі потребує подвійної заміни площин проекцій. Суть першої заміни р_>2> на р_>4> полягає в перетворенні площини трикутника в проекціюючу площину. Цей процес описаний вище задачі № 3.

Другий етап розв’язування задачі полягає в переході від системи р_>1>/ р_>4> до системи р_>4>/ р_>5>. Нова площина р_>5> установлюється паралельно трикутнику, а отже, нова вісь х_>45> на епюрі проводиться паралельно прямій, на якій виявились розташованими точки А_>4>, В_>4> і С_>4>. Як правило, через вказані точки проводять перпендикуляри до нової осі і відкладають на них від х_>45> відрізки, що дорівнюють l_>А>, l_>в>, l_>с>. Побудована проекція А_>5>В_>5>С_>5> визначає дійсну величину трикутника.

Якщо ж задана площина є проекціюючою (рис. 7), то розглядувана задача розв’язується однією заміною площин. В цьому випадку площина р_>4>, паралельна трикутнику ABC, утворює з р_>2> ортогональну систему р_>2>/ р_>4>. Нова проекція А_>4>В_>4>С_>4> на площину р_>4> визначає дійсну величину трикутника.

Рис. 7

исновки по першому питанню

Задачі нарисної геометрії можна розділити на позиційні та метричні. В позиційних задачах треба знайти положення геометричних фігур. В метричних задачах треба знайти натуральні розміри геометричних фігур.

Існують два основних способи перетворення проекцій:

– спосіб заміни площин проекцій;

– спосіб обертання.

Способи обертання

Спосіб плоско-паралельного переміщення

Плоско-паралельним переміщенням називається такий рух фігури в просторі, при якому всі її точки переміщуються в площинах, паралельних між собою і паралельних однієї з площин проекцій.

Основні положення плоско-паралельного переміщення:

при плоско-паралельному переміщенні фігури відносно площини проекцій р_>1> фронтальні проекції точок переміщуються по прямим, паралельним осі Ох, а горизонтальна проекція фігури залишається незмінною за своєю величиною і формою;

при плоско-паралельному переміщенні фігури відносно площини проекцій р_>2> горизонтальні проекції точок переміщуються паралельно осі Ох, а фронтальна проекція фігури залишається незмінною за своєю величиною і формою.

Спосіб обертання навколо проекціюючою осі

Сутність цього способу полягає в тому, що система площин проекцій р_>2>/р_>1> залишається нерухомою, а положення геометричних елементів міняється шляхом обертання навколо однієї або двох обраних осей до потрібного положення в даній системі.

Цим способом вирішуються задачі на визначення:

натуральної величини відрізків і кутів їхнього нахилу до площин проекцій р_>1> , р_>2> або р_>3>;

для проведення прямої і площині під заданими кутами;

для суміщення оригіналів.

Вирішуючи задачу способом обертання, необхідно відмітити на кресленні наступні елементи обертання:

вісь обертання i – пряма, навколо якої обертається точка. Вона  до р_>1> або р_>2>;

площина обертання α;

центр обертання;

радіус обертання.

Обертання точки

Точка A, обертаючись навколо горизонтально проекціюючої осі i, опише коло, площина якого α перпендикулярна i та паралельна р_>1>. На площину р_>1> це коло проекціюється без спотворення, а на площину р_>2> - у вигляді відрізка прямої, паралельної осі x і перпендикулярної до лінії зв’язку. Центр окружності розташований у точці перетинання осі обертання i із площиною α, а величина радіуса визначиться як відстань від точки A до осі i (рис. 9).

Якщо вісь обертання є горизонтально проекціюючою прямою, то точка A обертається в горизонтальній площині рівня _>1>. Її горизонтальна проекція A_>1> буде пересуватися по колу, а фронтальна A_>2> – по прямій, перпендикулярної лініям зв’язку (рис. 10, а). Навпаки, якщо вісь обертання є фронтально проекціюючою прямою, то точка A обертається у фронтальній площині рівня _>2>. На кресленні горизонтальна проекція A_>1> переміщається по прямій, перпендикулярної лініям зв’язку, а фронтальна A_>2> – по колу (рис. 10, б). Через A' позначене нове положення точки A, яке вона займає після повороту на кут φ.

Рис. 10

Обертання прямої лінії

Щоб побудувати проекції відрізка A, повернутого навколо осі i на кут φ, досить визначити нове положення двох його точок, наприклад А і В. При побудові нових горизонтальних точок проекцій необхідно виконати умову, що кут A_>1>i_>1>A'_>1> дорівнює куту B_>1>i_>1>B'_>1> і відстань між горизонтальними проекціями точок A і B при їхньому повороті залишається незмінною.

Фронтальні проекції A'_>2> і B'_>2> точок A і B переміщаються по прямих, перпендикулярним лініям зв’язку, які є фронтальними проекціями площин обертання _>1> і _>2>. При обертанні навколо горизонтально проекціюючої осі, трикутник A_>1>i_>1>В_>1> конгруентний трикутнику A'_>1>i_>1>В'_>1>, отже, конгруентні їхні висоти i_>1>1_>1> та i_>1>1'_>1>.

Висновки по другому питанню:

Сутність способу обертання полягає в тому, що система площин проекцій р_>2>/р_>1> залишається нерухомою, а положення геометричних елементів міняється шляхом обертання навколо однієї або двох обраних осей до потрібного положення в даній системі.