Методология изучения темы "Признаки равенства треугольников"

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу «Основы преподавания математики»

на тему : «Методология изучения темы «Признаки равенства треугольников»»

Кировоград

2003

СОДЕРЖАНИЕ

I. Теоретические сведения по теме «Признаки равенства треугольников».….3

II. Методика изучения темы «Признаки равенства треугольников»

УРОК 1. Тема урока «Треугольник. Виды треугольников»…………………….…..8

УРОК 2. Тема урока: «Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников» ……………………………………………………………………….11

УРОК 3. Тема урока: «Построение треугольников. Равенство треугольников» ..15

УРОК 4. Тема урока: «Признаки равенства треугольников» ..................................18

УРОК 5. Тема урока: “Решение прикладных задач» ................................................22

УРОК 6. Обобщающий урок по теме «Признаки равенства треугольников»……26

Приложения к урокам………………………………………………………………...30

Перечень использованной литературы……………………………………………...33

I. Теоретические сведения по теме «Признаки равенства треугольников»

Признаки равенства треугольников

Первый признак

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Справочная таблица.

Теорема 1 (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть у треугольников АВС и А_>1>В_>1>С_>1>  А =  А_>1>, АВ=А_>1>В_>1>, АС=А_>1>С_>1>. Докажем, что треугольники равны, т.е. докажем, что у них и В=В_>1>, С=С_>1>, ВС=В_>1>С_>1>.

По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А_>1>В_>2>С_>2>, равный треугольнику АВС, у которого вершина В_>2> лежит на луче А_>1>В_>1>, а вершина С_>2> лежит одной полуплоскости с вершиной С_>1> относи-тельно прямой А_>1>В_>1>. Так как А_>1>В_>1>=А_>1>В_>2>, то по аксиоме откладывания отрезков точка В_>2> совпадает с точкой В_>1>. Так как В_>1>А_>1>С_>1>=В_>2>А_>1>С_>2>, то по аксиоме откладывания углов луч А_>1>С_>2> совпадает с лучом А_>1>С_>1>. И так как А_>1>С_>1>=А_>1>С_>2>, то вершина С_>2> совпадает вершиной С_>1>. Итак, треугольник А_>1>В_>1>С_>1> совпадает с треугольником А_>1>В_>2>С_>2>, а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.

Теорема 2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть АВС и А_>1>В_>1>С_>1> – два треугольника, у которых  А =  А_>1>, В=В_>1>, АВ=А_>1>В_>1>. Докажем, то треугольники равны, т.е. докажем, что АС=А_>1>С_>1>, С=С_>1>, ВС=В_>1>С_>1>. По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А_>1>В_>2>С_>2> равный треугольнику АВС, у которого вершина В_>2> лежит на луче А_>1>В_>1>, а вершина С_>2> лежит в одной полуплоскости вершиной С_>1> относительно прямой А_>1>В_>1>. Так как А_>1>В_>2>=А_>1>В_>1>, то вершина В_>2> совпадает с вершиной В_>1>. Так как В_>1>А_>1>С_>2>=В_>1>А_>1>С_>1> и А_>1>В_>1>С_>2>=А_>1>В_>1>С_>1>, то по аксиоме откладывания углов луч А_>1>С_>1> совпадает с лучом А_>1>С_>2>, а луч В_>1>С_>1> совпадает с лучом В_>1>С_>2>. Отсюда следует, что вершина С_>2> совпадает вершиной С_>1>. Итак, треугольник А_>1>В_>1>С_>1> совпадает с треугольником А_>1>В_>2>С_>2>, а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.

Определение. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство.

Пусть АВС – равнобедренный треугольник с основанием АВ. Докажем, что у него А=В. Треугольник САВ равен треугольнику СВА по первому признаку равенства треугольников. Действительно, СА=В, СВ=СА, С=С. Из равенства треугольников следует, что А=В. Теорема доказана.

Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Теорема 4. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство.

Пусть АВС – треугольник, в котором А=В. Докажем, что он равнобедренный с основанием АВ. Треугольник АВС равен треугольнику ВАС по второму признаку равенства треугольников. Действительно, АВ=ВА, В=А, А=В. Из равентва треугольников следует, что АС=ВС. Теорема доказана.

Теорема 4 называется обратной теореме 3. Заключение теоремы 3 является условием теоремы 4. А условие теоремы 3 является заключением теоремы 4.

Определение. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника.

Определение. Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Определение. Мединой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

Теорема 5. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство.

Пусть АВС – данный равнобедренный треугольник с основанием АВ. Пусть СК – медиана, проведенная к основанию. Треугольники САД и СВД равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны АС и ВС равны, потому что треугольник АВС равнобедренный. Углы САК и СВК равны по теореме 3. Стороны АК и ВК равны, потому что К – середина отрезка АВ.) Из равенства треугольников следует равенство углов: АСК=ВСК, АКС=ВКС. Так как углы АКС и ВКС равны, то СК – биссектриса. Так как углы АКС и ВКС смежные и равны, то они прямые, поэтому СК – высота треугольника. Теорема доказана.

Теорема 6 (признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть АВС и А_>1>В_>1>С_>1> два треугольника, у которых АВ=А_>1>В_>1>, АС=А_>1>С_>1, >ВС=В_>1>С_>1>. Докажем, что эти треугольники равны. По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А_>1>В_>1>С_>2>, равный треугольнику АВС, у которого вершина С_>2> лежит в одной полуплоскости с вершиной С_>1> относительно прямой А_>1>В_>1>. Допустим, что вершина С_>1> не лежит ни на луче А_>1>С_>1>, ни на луче В_>1>С_>1>. Пусть К – середина отрезка С_>1>С_>2>. Треугольники А_>1>С_>1>С_>2> и В_>1>С_>1>С_>2> – равнобедренные с общим основанием С_>1>С_>2>. По теореме 5 их медианы А_>1>К и В_>1>К являются высотами. Значит, прямые А_>1>К и В_>1>К перпендикулярны прямой С_>1>С_>2>. Но это невозможно, так как через точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Значит, вершина С_>2> лежит либо на луче А_>1>С_>1>, либо на луче В_>1>С_>1>. В первом случае точка С_>2> совпадает с С_>1>, так как А_>1>С_>1>=АС. А это значит, что треугольник АВС равен треугольнику А_>1>В_>1>С_>1>. Точно так же приходим к выводу о равенстве треугольников во втором случае. Теорема доказана.

II. Методика изучения темы «Признаки равенства треугольников»

УРОК 1

Тема урока: «Треугольник. Виды треугольников»

Цели урока:

развить представление о многоугольнике;

вывести понятие треугольника и его элементов, познакомиться с классификацией треугольников по сторонам и углам;

Из опыта практической деятельности получить вывод о сумме углов треугольника.

Оборудование: слайды для кодоскопа; модели треугольников разных видов; модели тетраэдра; печатные карточки.

Ход урока

I. Урок начинается с беседы учителя.

Среди множества различных фигур на плоскости выделяется большое семейство многоугольников. Слово «многоугольник» указывает на то, что у всех фигур из этого семейства «много углов». Для определения многоугольника важно указать, что эта фигура ограничена замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекают друг друга.

Какая из фигур, изображенных на рисунке 1, является многоугольником?

Рис. 1

Чем отличаются многоугольники 2 и 3 на рисунке 1?

Каким наименьшим числом можно заменить «много» в слове «многоугольник»? [Числом 3.]

Значит, самым простым многоугольником является треугольник. Знакомый всем нам с детства треугольник таит в себе немало интересного и загадочного.

II. На экране изображен треугольник ABC (рис. 2). (Вводятся названия основных его элементов и делается запись в тетрадях.)

 ABC: A, B, C – вершины;
AB, BC, CA – стороны;
A, B, C – углы.

Рис. 2

Задание. Измерьте углы  ABC и вычислите их сумму. (Большинство учащихся получают результат, равный 180°.)

Вывод: сумма градусных мер углов треугольника равна 180°.

Задачи

1. В треугольнике один из углов равен 65°, а другой 80°. Чему равен третий угол этого треугольника?

2. В треугольнике ABC градусная мера угла B равна 40°, а градусная мера угла A в три раза больше. Найдите градусную меру угла C.

III. Физкультурная пауза

IV. Продолжим знакомство с треугольниками. (Учитель обращает внимание на модели треугольников, размещенные на магнитной доске.)

Все большое семейство треугольников можно разделить на группы в зависимости от сторон и углов. (По ходу введения видов треугольников заполняется таблица (рис. 3) в тетради.)

Вид треугольника	Равнобедренный	Равносторонний	Разносторонний
Прямоугольный
Тупоугольный
Остроугольный

Рис. 3

На карточках, имеющихся на каждом столе, изображены различные треугольники (рис. 4). Определите на глаз вид каждого треугольника.

Рис. 4

Задача. Из шести одинаковых палочек сложите четыре равных треугольника.

[Тетраэдр.]

Демонстрируются: каркасная модель тетраэдра, модели пирамид, октаэдра.

V. Задание на дом

1. Составьте рисунки из геометрических фигур (преимущественно из треугольников), узоры из треугольников.

УРОК 2

Тема урока: «Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников»

Цели урока:

развить представление о треугольниках;

изучить терминологию, связанную с понятиями равнобедренного и равностороннего треугольников;

открыть неизвестные ранее свойства равнобедренного и равностороннего треугольников;

продолжить построение треугольников с заданными свойствами на нелинованной бумаге;

учить детей анализу задач на построение.

Оборудование: схема-классификация треугольников; выставка рисунков учащихся (на предыдущем уроке было задано домашнее задание – выполнить рисунки с использованием изображения треугольника); слайды с изображениями треугольников.

Ход урока

I. Организационный момент

Проверка готовности к уроку (наличие чертежных инструментов, нелинованной бумаги).

II. Два ученика получают задания и выполняют их на доске.

1. Начертите прямоугольный треугольник так, чтобы стороны, образующие прямой угол, были равны 3 дм и 5 дм.

2. В треугольнике ABC градусная мера угла A равна 58°, а угла B равна 49°. Вычислите градусную меру угла C.

Четыре ученика получают карточки с заданием и выполняют работу на нелинованной бумаге.

1) Начертите прямоугольный треугольник так, чтобы стороны, образующие прямой угол, были равны 3 см и 5 см.

2) Взяли проволоку длиной 17 см и из нее сделали треугольник, две стороны которого равны 5 см и 6 см. Каков вид этого треугольника?

С остальными учениками проводится фронтальный опрос.

1. Назовите треугольники, изображенные на доске (рис. 5).

2. Назовите вершины  MKN.

3. Назовите стороны  PST.

4. Назовите углы  ABC.

[ ABC,  BCA,  BAC.]

5. Может ли быть треугольник с двумя прямыми углами? С двумя тупыми углами? Ответ обоснуйте.

6. Существует ли треугольник, все углы которого больше 70°? Меньше 50°?

Рис. 5

7. По схеме (рис. 6) повторяются виды треугольников.

Вид треугольника	Равнобедренный	Равносторонний	Разносторонний
Прямоугольный
Тупоугольный
Остроугольный

Рис. 6

8. Определите «на глаз» вид каждого из треугольников, изображенных на слайдах (рис. 7).

Рис. 7

III. Ученики, работающие по карточкам, сдают выполненное задание. Те, кто работал у доски, рассказывают, как выполняли задание. Дополнительные вопросы им задают ученики.

IV. Итак, на предыдущем уроке мы познакомились с треугольником и изучили их виды.

Как же построить равнобедренный треугольник с помощью циркуля и линейки?

Ученики предлагают провести произвольный отрезок, затем из концов отрезка как из центров, не меняя раствора циркуля, провести дуги до пересечения. Точку пересечения соединить с концами отрезка.

Почему вы уверены, что получился равнобедренный треугольник?

(Взяли раствор циркуля, не равный построенному отрезку и провели дуги равных окружностей. Точка их пересечения находится на равном расстоянии от концов отрезка.)

Вводится название сторон: основание, боковые стороны (рис. 8).

 ABC: AB = BC, A = C.

Рис. 8

Измерьте углы при вершинах A и C.

Большинство учеников получают равные градусные меры, и учитель сообщает, что именно таким образом в Древней Греции практическим путем установили, что «углы при основании» равны. И лишь много лет спустя это было доказано.

V. Физкультурная пауза

(Ученики повторяют за учителем все движения.)

VI. Продолжаем работу.

Соедините вершину B с серединой противоположной стороны. Измерьте углы BMC и BMA. Что вы получили?

Ученики делают вывод: BMC = BMA = 90° и дополняют рисунок. Используя модель равнобедренного треугольника, учитель перегибает модель по отрезку BM. Ученики замечают, что треугольники ABM и BMC при наложении совпали, и делают вывод:  ABM =  BMC.

VII. Задание на дом

1. Постройте равнобедренный треугольник.
2. Измерьте все его углы. Сделайте вывод.
3. Проведите отрезки, соединяющие вершины с серединами противоположных сторон. Что вы заметили?

УРОК 3

Тема урока: «Построение треугольников. Равенство треугольников»

Цели урока:

научить учеников строить треугольник, равный данному, используя циркуль и линейку;

из опыта практической деятельности учащиеся должны понять, что треугольники равны по трем элементам; каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.

Оборудование: у каждого ученика набор чертежных инструментов, цветная бумага, ножницы.

Ход урока

I. Работа с классом

На доске изображены фигуры.

Задания

1. На рисунке 9 проведите прямую так, чтобы она разбила четырехугольник на два треугольника. Определите «на глаз» вид получившихся треугольников.

Рис. 9

2. Проведите прямую так, чтобы она разбила четырехугольник (рис. 10) на треугольник и четырехугольник, а на рисунке 11 – на треугольник и пятиугольник.

Рис. 10

Рис. 11

3. Проволоку длиной 15 см согнули так, что получился разносторонний треугольник. Чему равен периметр этого треугольника?

4. Основание равнобедренного треугольника равно 4 см, а боковые стороны вдвое больше основания. Найдите периметр треугольника.

5. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 64°. Найдите два других угла этого треугольника.

II. Работа в группах из четырех человек

(Задание для каждой группы с разными данными.)

Постройте треугольник ABC, если:

1) AB = 5 см, AC = 8 см, Р BAC = 50°;
2) CA = 4 см, CB = 6 см, Р ABC = 120°;
3) AB = 7 см, Р CAB = 60°, Р CBA = 30°;
4) OP = 4 см, Р KOP = 20°, Р OPK = 70°;
5) KL = 4 см, LM = 3 см, MK = 2,5 см;
6) AB = 3 см, BC = 4 см, AC = 5 см.

Три группы из шести групп рассказывают, как проводили построение.

Вырежьте получившийся треугольник. Сравните его с треугольниками, построенными учениками из своей группы.

В каждой группе получили равные треугольники. Казалось бы, ничего удивительного нет, данные были одинаковы, но ...

III. Общее задание

Постройте треугольник, в котором  A = 30°,  B = 60°,  C = 90°.

Что вы замечаете? Какой вывод можно сделать? (У всех разные треугольники.)

IV. Работа в группах

(Задание одинаково для пар групп.)

Постройте треугольники, у которых стороны равны:

1) 6 см, 2 см, 3 см;
2) 6 см, 2 см, 4 см;
3) 6 см, 2 см, 7 см.

В ходе построений и рассуждений ученики приходят к выводу, что у треугольника каждая сторона меньше суммы двух других сторон, в противном случае треугольник построить невозможно.

V. Минутка отдыха

Передайте свое настроение с помощью изображения треугольника.

Кто-то раскрашивает треугольник в разные цвета, кто-то составляет фигурки из треугольников, кто-то изображает рожицы, проявляя выдумку и фантазию (рис. 12, 13).

Рис. 12

Рис. 13

VI. Проверочная работа

Вариант 1

1. Постройте равнобедренный тупоугольный треугольник.
2. В треугольнике DCE D = 24°, C = 58°. Найдите E.
3. Основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а боковые стороны в три раза больше. Найдите периметр треугольника.
4. Постройте треугольник, в котором AB = 4 см, BAC = 35°, CBA = 80°.

Вариант 2

1. Постройте равнобедренный остроугольный треугольник.
2. В треугольнике MNL M = 64°, N = 57°. Найдите L.
3. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см, а боковые стороны в три раза больше. Найдите периметр треугольника.
4. Постройте треугольник, в котором AB = 4 см, AC = 3 см, BAC = 60°.

VII. Задание на дом .

УРОК 4

Тема урока: «Признаки равенства треугольников»

Цели урока:

систематизировать теоретические знания по теме, закрепить умения и навыки использования теоретических знаний к решению задач;

развить творческий подход и интерес к обучению.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Три ученика около доски записывают опорный конспект:

1) три признака равенства треугольников; 2) равнобедренный треугольник и его свойства; 3) признаки равенства прямоугольных треугольников.

В это время учитель проводит фронтальный опрос класса.

1. Сформулируйте 1 признак равенства треугольников.

2. Сформулируйте 2 признак равенства треугольников.

3. Какой треугольник называется равнобедренным?

4. Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.

5. Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника.

6. Чем отличается признак геометрической фигуры от ее свойства?

7. Сформулируйте 3 признак равенства треугольников.

8. Какой треугольник называется равносторонним?

9. Что считается признаком, что – свойством равностороннего -ка?

10. К каждой ли теореме существует обратная?

11. Приведите пример теоремы, к которой не существует обратной.

12. Приведите пример теоремы, к которой существует обратная.

13. Как строится обратная теорема?

14. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.

После фронтального опроса учитель проводит беседу по опорным конспектам на доске. Если необходимо, то ученики класса дополняют и исправляют записи на доске.

ІІ. Решение задач.

Два ученика около доски решают задачи по готовым рисункам, которые выполнены учителем до урока. Если необходимо, то ученики класса дополняют и исправляют записи на доске.

Задачи по готовым рисункам

1
. Дано: АВС, BD=CD, BM=CM, DBM=40⁰,ADB=80⁰. Найти: BDM, MDC, DMC, MCD.

Ответ: BDM=MDC=50⁰, DMC=90⁰, MCD=40⁰.

2
. AOM=FOE, периметр OEF=40 см , AF=20 см. Найти: периметр AEF.

Ответ: 60 см.

III. Физкультурная пауза

(Ученики повторяют за учителем все движения.)

IV. Устная работа.

Учитель с учениками устно решает задачи по готовым рисункам, изображенным на плакатах. Ученики должны найти на рисунках равные треугольники и объяснить равенство, назвав соответственный признак равенства треугольников.

Задачи для устного решения.

ІV. Домашнее задание.

УРОК 5

Тема урока: “Решение прикладных задач»

Цель урока:

рассмотреть жизненные и прикладные задачи, на которых можно продемонстрировать важную роль признаков равенства треугольников в жизни, научить учеников творчески применять признаки равенства треугольников во время решения задач.

Ход урока

І. Гимнастика ума.

При написании математического диктанта повторяются три признака равенства треугольников, понятие равнобедренного треугольника, его свойства и признаки. Цель диктанта – систематизировать и повторить важные факты данной темы, способствовать развитию внимания, логического мышления и математического зрения учеников, сформировать навыки умственной деятельности. Учитель зачитывает задания, а ученики записывают ответы к ним или ставят знак «+», если учитель называет правильный ответ.

После выполнения задания ученики обмениваются тетрадями для перекрес-тной проверки. Такая система контроля развивает у учеников честность и объективность в оценивании результатов своей деятельности и деятельности одноклассников. Задание диктанта предлагается по вариантам.

Математический диктант.

Вариант І.

1. В KNO и PQT равные стороны KN и PQ и углы K и P. Какое еще равенство должно выполняться, чтобы треугольники были равны по 1 признаку равенства треугольников?

2. У равных BCD и MPQ углы B и D равны соответственно углам M и Q. Что следует из условия по 2-му признаку равенства треугольников?

3. В АВС проведены медианы AD, BE, CF. Длины отрезков AF, AE, BD соответственно равны 3 см, 5 см, 6 см. Найти периметр АВС.

4. В АВС и POT стороны AB=PO, BC=OT. Какое еще условие должно выполняться, чтобы треугольники были равны по 3 признаку равенства треугольников?

5. Продолжить предложение: “В равнобедренном треугольнике медиана является ...”

Вариант ІІ.

1. В ABC и DEF равные стороны AB и DE и углы A и D. Какое еще равенство должно выполняться, чтобы треугольники были равными по 1 признаку равенства треугольников?

2. У равных MRQ и KLT углы M и Q равны соответственно углам K и T. Что следует из условия согласно 2 признаку равенства треугольников?

3. В АВС проведены биссектрисы AD, BE, CF. Градусные меры углов соответственно равны BAD=30, CBE=40, ACE=20. найдите сумму углов АВС.

4. В MNQ и RST стороны MN=RT, NQ=NS. Какое еще условие должно выполняться, чтобы треугольники были равны по 3 признаку равенства треугольников?

5. Продолжить предложение: “Если в треугольнике все углы равны, то он ...”

Ответы учителя.

І вариант. 1. KO=PT. 2. BDMQ. 3. 28 см. 4. AC=PT. 5. биссектрисой и высотой

IІ вариант. 1. AC=DF. 2. MQKT. 3. 180⁰. 4. MQ=RS. 5. равносторонний

ІІ. Решение прикладных задач.

Задача 1. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти с мерной цепью , выбирают такую точку С, из которой были бы видны как точка А, так и В и из которой можно было бы к ним пройти. Провешивают*) АС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют CD = AC и EC = CB. Тогда отрезок ED равен искомому расстоянию АВ. Почему?

*) То есть отмечают направление шестами - вехами.

Задача 2. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка А) недоступна, провешивают направление отрезка АВ и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок BE. Выбирают на местности точку D, из которой можно было бы видеть точку А и пройти к точкам В и E. Провешивают прямые BDG и EDF и отмеряют FD = DE и DG = BD. Затем идут по прямой FG, смотря на точку А, пока не найдут такую точку Н, которая лежит на прямой AD. Тогда НG равно искомому расстоянию. Доказать.

Задача 3. Чтобы измерить расстояние между пунктами А и В, расположенными на разных берегах реки, при помощи эккера провешивают перпендикулярно к АВ отрезок BD произвольной длины. Делят BD в точке Е пополам. Проводят перпендикуляр DC к BD в точке D; идут по DC, смотря на А, до точки С, которая лежит на прямой АЕ. Длина DC равна АВ. Доказать.

ІII. Домашнее задание.

Задача 1. На каждой стороне равностороннего треугольника АВС отложены отрезки АВ_>1> = ВС_>1> = СА_>1>. Точки А_>1>, В_>1> и С_>1> соединены прямыми. Доказать, что треугольник А_>1>В_>1>С_>1> тоже равносторонний.

Задача 2. Каждая из сторон равностороннего треугольника АВС продолжена: АВ - за вершину В; ВС - за вершину С; СА - за вершину А; на продолжениях отложены отрезки одинаковой длины, и концы их соединены между собой. Определить вид полученного треугольника.

Задача 3. Внутри треугольника АВС проведена к стороне ВС прямая AD так, что угол CAD равен углу ACD. Периметры треугольников АВС и ABD равны 37 м и 24 м. Определить длину АС.

Задача 4. В равнобедренном треугольнике АВС проведена высота BD. Периметр треугольника АВС равен 50 м, а периметр треугольника ABD равен 40 м. Определить высоту BD.

УРОК 6

Обобщающий урок по теме «Признаки равенства треугольников»

Все учителя в начале изучения темы определяют для себя и для учащихся требования, предъявляемые к знаниям учащихся в конце ее изучения. В течение всего времени, отведенного на конкретную тему, работа учителя и учеников нацелена на достижение всеми учащимися обязательных результатов обучения. При этом используются различные виды уроков и различные формы работы. Результаты усвоения темы выявляет урок-зачет или контрольная работа. Накануне последнего урока по теме целесообразно проводить по ней обобщающие уроки. Удачно спланированный, детально продуманный, такой урок позволяет в полной мере раскрыться как учителю, так и ученикам. Эти уроки позволяют учителю за короткие промежутки времени (3–5 мин или 10–15 мин), меняя формы и приемы работы, проверить качество знаний учеников по конкретной теме, проверить умение применять эти знания в различных заданиях. Именно на уроках обобщения знаний наиболее ярко прослеживается структура познавательной деятельности учащихся. Она может быть охарактеризована следующим образом: учебно-практическое задание  процесс выполнения задания  обобщение результата в практической деятельности, абстрагирование  формулировка математических понятий  систематизация математических знаний  интерпретация полученных знаний.

По дидактическим функциям занятия могут быть обучающими, познавательными, проверочными. На таких уроках продолжается процесс познания, хотя этот урок заключительный, т. е. урок- «итоговая черта», но познавательная деятельность здесь представляет собой самодвижение. В результате работы на уроке знания не поступают извне в виде информации, а являются внутренним продуктом практической деятельности самих учащихся.

Опыт показывает, что на таких уроках активность учащихся намного выше, чем на других уроках, а в результате и качество запоминания и воспроизведения изучаемого материала намного выше. Принцип состоит в том, что на таких уроках ученики не только воспринимают материал от учителя, но и сами активно участвуют в его создании и усвоении путем сочетания мыслительных операций с практическими действиями.

В это время у ребят развивается творческая самостоятельность, инициатива, лучше реализуется принцип связи теории и практики.

I. Организационный момент (2–3 мин.)

Завершается сообщением темы и цели урока (которые, в принципе, ученикам уже известны). Это делается еще и для того, чтобы перенастроить их мыслительную деятельность после предыдущего урока на настоящий урок.

II. Повторение признаков равенства треугольников (3–5 мин.)

Работают сразу 6 учеников (лучше слабых). Трое – на доске на чертеже «показывают признаки», а трое учеников их формулируют.

III. Тест на знание признаков равенства треугольников (8–10 мин.)

Каждый учащийся получает лист с изображением 10 пар треугольников, на которых отмечены соответственно равные элементы (приложение 1). Предлагается отыскать пары треугольников, о равенстве которых можно утверждать, опираясь на один из признаков.

На первый взгляд работа кажется простой, но это только в случае глубокого знания признаков. Свои результаты учащиеся вносят в лист фиксирования результатов (приложение 2). Такая форма работы должна быть уже опробована, чтобы время на организацию было минимально. В случае положительного ответа ученик вносит в 1-й столбец номер признака, по которому треугольники равны, в случае отрицательного ответа строку оставляют пустой. Во время работы над тестом ученики получают коды для проверки (приложение 3). После 5–6 мин работы – самопроверка. Для этого лист-код прикладывают ко второму столбцу. При этом совпадение ответов ученика и кода отмечается знаком «+» в третьем столбце. Подсчитывается количество заработанных баллов. Работа сразу же оценивается.

Критерии оценок:

10 баллов – оценка «5»,
9 баллов – «4»,
8 баллов – «3»,
меньше – «2».

Как правило, двоек на этом этапе обучения уже не бывает. Проверка и подведение итогов занимает 1–2 мин.

IV. Работа с опорной таблицей (5 мин.)

Смена письменной работы на устную не позволяет снизиться работоспособности. У каждого ученика в течение изучения всей темы имеется опорная таблица (приложение 4). Рассматриваем задачи 4, 7, 6. На любом этапе работы ученик может по сигналу учителя передать «эстафету» решения любому ученику по своему желанию. Этим достигается предельное внимание. Работа с таблицами полезна для развития геометрической наблюдательности и для выработки умения применять признаки равенства треугольников. Кроме того, учащиеся приучаются понимать рисунок.

V. Групповая работа (8–10 мин.)

Групповые занятия являются промежуточными между коллективным (фронтальным) и индивидуальным видами работы. Первоочередная цель групповой работы – эффективная помощь всем средним и слабоуспевающим учащимся. Работа идет в звеньях. Каждое звено состоит из четырех человек, в него входят как сильные, так и слабые учащиеся. Звенья рассаживаются так, чтобы одна пара учащихся сидела за другой. Во время работы «передняя пара» поворачивается к паре, сидящей сзади. На данном уроке ученикам каждого звена предлагается по одной задаче, участие в обсуждении и решении которой принимают все. Это обусловлено тем, что ученики заранее не знают, кто из них будет «отчитываться о проделанной работе». Это может быть представитель, «выдвинутый» учениками или назначенный учителем.

Группам предлагаются задачи, которые являются подготовительными к решению задачи следующего этапа; это «ступеньки к вершине». Здесь ярко прослеживается многоступенчатость в решении сложных задач, где каждая ступень – это задача, но более простая. Подготовительные задачи позволяют сформировать у учащихся опыт в решении задач и тем самым облегчить решение сложной задачи. На эту работу отводится 10–12 мин.

VI. Решение итоговой задачи (8–10 мин.)

Форма работы – фронтальная. Предлагается задача с готовым чертежом и записанными данными; ученики должны внимательно ее изучить. Цель считается достигнутой, если в этой задаче они увидят «свою» задачу, которую они решали в группе. Задача решается в несколько шагов со ссылкой на 3 ранее разобранные задачи, причем поэтапность в решении очень хорошо просматривается с помощью кодоскопных пленок наложением. Задача, ее решение и обсуждение занимают 7–10 мин.

VII. Математический диктант (3–4 мин.)

Эта форма работы позволяет за короткий промежуток времени (3–4 мин) проверить глубину знаний учащихся, выставить оценки, проанализировать ошибки. Диктант следует проводить на листочках под копирку: один экземпляр ученики сдают учителю для проверки, другой оставляют себе. Вопросы построены так, что подразумевается ответ «да» или «нет».

1. Верно ли, что если треугольники равны, то каждый угол первого треугольника равен каждому углу второго треугольника? [Нет.]

2. Верно ли, что каждому углу первого треугольника можно найти угол, равный ему во втором, равном треугольнике? [Да.]

3. Верно ли, что если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны? [Да.]

4. Верно ли, что если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны? [Нет.]

5. Верно ли, что если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны? [Нет.]

VIII. Подведение итогов урока. Задание на дом (1–2 мин.)

Учащимся сообщаются результаты их работы, поощряются лучшие ответы учащихся. Урок можно считать удавшимся, если ученики получили от него чувство удовлетворения. Уроки итогового повторения проходят в конце изучения большой темы, т. е. не часто, поэтому на них необходимо создавать атмосферу праздника. Каждый ученик должен осознавать, что он что-то знает, что-то умеет, что пройденная тема «оставила след» в его голове.

Приложение 1

Приложение 3

Фамилия __________

Заработано __________ баллов.

Приложение 4

Таблица 2  Признаки равенства треугольников

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство.

Приложение 5

Дано: MK = KN, OK перпендикулярно MN,  BMO =  CNO.
Доказать:  MBO =  NCO.

Приложение 6

Дано: MO = ON,  BMO =  CNO.
Доказать:   BOC – равнобедренный.

Приложение 7

Дано: MO = ON, AM = DN, AB = CD,  BMO =  CNO.
Доказать:  ABM =  DCN.

ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Погорелов А.В. Геометрия: учеб. пособие для 6-10 кл. сред. шк. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 1987.

2. Гребеннікова Л.Ю. 90 хвилин спілкування з трикутником у 7-му класі. // Всеукраинская газета для учителей «Математика» №45(153), грудень, 2001, с. 4-6.

3. Галайко Р.П. Ознаки рівності трикутників. 7-й клас. // Всеукраинская газета для учителей «Математика» №1(205), січень, 2003, с. 6-10.

4. Готман Э.Г.,Скопец З.А. Задача одна–решения разные.–К.: Рад. шк.,1988.–173 с.

5. Лоповок Л.М. Факультативные задания по геометрии для 7-11 классов: Пособие для учителей. – К.: Рад. шк., 1990. – 128с.