Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра ТВ и матстатистики
Курсовая работа
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ СЛАБО НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП
Исполнитель:
Студент группы М-32 Макарченко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Малинковский М.Т.
Гомель 2007
Содержание
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ВВЕДЕНИЕ
1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп
2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными.
Будем
различать знак включения множеств
и знак строгого включения
;
и
- соответственно знаки пересечения и
объединения множеств;
-
пустое множество;
-
множество всех
для которых выполняется условие
;
-
множество всех натуральных чисел;
-
множество всех простых чисел;
-
некоторое множество простых чисел, т.е.
;
-
дополнение к
во множестве всех простых чисел; в
частности,
;
примарное
число - любое число вида
;
Пусть
- группа. Тогда:
-
порядок группы
;
-
порядок элемента
группы
;
-
единичный элемент и единичная подгруппа
группы
;
-
множество всех простых делителей порядка
группы
;
-
множество всех различных простых
делителей натурального числа
;
-группа
- группа
,
для которой
;
-группа
- группа
,
для которой
;
-
подгруппа Фраттини группы
,
т.е. пересечение всех максимальных
подгрупп группы
;
-
подгруппа Фиттинга группы
,
т.е. произведение всех нормальных
нильпотентных подгрупп группы
;
-
наибольшая нормальная
-нильпотентная
подгруппа группы
;
-
коммутант группы
,
т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами
всех элементов группы
;
-
-ый
коммутант группы
;
-
наибольшая нормальная
-подгруппа
группы
;
-
-холловская
подгруппа группы
;
-
силовская
-подгруппа
группы
;
-
дополнение к силовской
-подгруппе
в группе
,
т.е.
-холловская
подгруппа группы
;
-
группа всех автоморфизмов группы
;
-
является подгруппой группы
;
-
является собственной подгруппой группы
;
-
является максимальной подгруппой группы
;
нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;
-
является нормальной подгруппой группы
;
-
подгруппа
характеристична в группе
,
т.е.
для любого автоморфизма
;
-
индекс подгруппы
в группе
;
;
-
централизатор подгруппы
в группе
;
-
нормализатор подгруппы
в группе
;
-
центр группы
;
-
циклическая группа порядка
;
- ядро
подгруппы
в группе
,
т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых
с
в
.
Если
и
- подгруппы группы
,
то:
-
прямое произведение подгрупп
и
;
-
полупрямое произведение нормальной
подгруппы
и подгруппы
;
-
и
изоморфны.
Группа
называется:
примарной,
если
;
бипримарной,
если
.
Скобки
применяются для обозначения подгрупп,
порождённых некоторым множеством
элементов или подгрупп.
-
подгруппа, порожденная всеми
,
для которых выполняется
.
,
где
.
Группу
называют:
-замкнутой,
если силовская
-подгруппа
группы
нормальна в
;
-нильпотентной,
если
-холловская
подгруппа группы
нормальна в
;
-разрешимой,
если существует нормальный ряд, факторы
которого либо
-группы,
либо
-группы;
-сверхразрешимой,
если каждый ее главный фактор является
либо
-группой,
либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной,
если существует нормальная нильпотентная
подгруппа
группы
такая, что
нильпотентна.
разрешимой,
если существует номер
такой, что
;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением
к подгруппе
группы
называется такая подгруппа
из
,
что
.
Минимальная
нормальная подгруппа группы
- неединичная нормальная подгруппа
группы
,
не содержащая собственных неединичных
нормальных подгрупп группы
.
Цоколь
группы
- произведение всех минимальных нормальных
подгрупп группы
.
-
цоколь группы
.
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
-
класс всех групп;
-
класс всех абелевых групп;
-
класс всех нильпотентных групп;
-
класс всех разрешимых групп;
-
класс всех
-групп;
-
класс всех сверхразрешимых групп;
Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть
- некоторый класс групп и
- группа, тогда:
-
-корадикал
группы
,
т.е. пересечение всех тех нормальных
подгрупп
из
,
для которых
.
Если
- формация, то
является наименьшей нормальной подгруппой
группы
,
факторгруппа по которой принадлежит
.
Если
- формация всех сверхразрешимых групп,
то
называется сверхразрешимым корадикалом
группы
.
Формация
называется насыщенной, если всегда из
следует, что и
.
Класс
групп
называется наследственным или замкнутым
относительно подгрупп, если из того,
что
следует, что и каждая подгруппа группы
также принадлежит
.
Произведение
формаций
и
состоит из всех групп
,
для которых
,
т.е.
.
Пусть
- некоторая непустая формация. Максимальная
подгруппа
группы
называется
-абнормальной,
если
.
Подгруппы
и
группы
называются перестановочными, если
.
Пусть
- максимальная подгруппа группы
.
Нормальным индексом подгруппы
называют порядок главного фактора
,
где
и
,
и обозначают символом
.
Пусть
- группа и
- различные простые делители порядка
группы
.
Тогда группа
называется дисперсивной по Оре, если
существуют подгруппы
,
такие что
- силовская
-подгруппа
группы
и подгруппа
нормальна в
для всех
.
Введение
В
своей работе Оре рассмотрел два обобщения
нормальности, оба из которых вызывают
неослабевающий интерес у исследователей
и в наши дни. Во-первых, в работе были
впервые введены в математическую
практику квазинормальные подгруппы:
следуя, мы говорим, что подгруппа
группы
квазинормальна в
,
если
перестановочна с любой подгруппой из
(т.е.
для всех подгрупп
из
).
Оказалось, что квазинормальные подгруппы
обладают рядом интересных свойств и
что фактически они мало отличаются от
нормальных подгрупп. Отметим, в частности,
что согласно, для любой квазинормальной
подгруппы
имеет место
,
а согласно, квазинормальные подгруппы
- это в точности те субнормальные
подгруппы группы
,
которые являются модулярными элементами
в решетке всех подгрупп группы
.
Понятно,
что если подгруппа
группы
нормальна в
,
то в
всегда найдется такая подгруппа
,
что выполнено следующее условие:
Таким
образом, условие
является еще одним обобщением нормальности.
Такая идея также была впервые рассмотрена
в работе, где в частности, было доказано,
что: Группа
является разрешимой тогда и только
тогда, когда все ее максимальные подгруппы
удовлетворяют условию
. В дальнейшем, в работе подгруппы,
удовлетворяющие условию
были названы
-нормальными.
В этой же работе была построена красивая
теория
-нормальных
подгрупп и даны некоторые ее приложения
в вопросах классификации групп с
заданными системами подгрупп.
В
данной диссертационной работе мы
анализируем следующее понятие, которое
одновременно обобщает как условие
квазинормальности, так и условие
-нормальности
для подгрупп.
Определение.
Подгруппа
группы
называется слабо квазинормальной в
подгруппой, если существует такая
подгруппа
группы
,
что
и
,
- квазинормальные в
подгруппы.
Следующий
простой пример показывает, что в общем
случае слабо квазинормальная подгруппа
не является ни квазинормальной, ни
-нормальной.
Пример. Пусть
,
где
.
И пусть
,
.
Тогда
и
.
Пусть
- группа простого порядка 3 и
,
где
- база регулярного сплетения
.
Поскольку
,
и
- модулярная группа, то
квазинормальна в
и поэтому подгруппа
слабо квазинормальна в
.
Значит, подгруппа
является слабо квазинормальной в
,
но не квазинормальной и не
-нормальной
в
.
В
последние годы значительно возрос
интерес к квазинормальным и
-нормальным
подгруппам, что говорит о несомненной
актуальности данного направления.
Следует отметить, что многими авторами
(Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг,
Вей, Ли, Педра-Агуэла, Рамадан, А.Н. Скиба,
Сринивазан и др.) получено большое число
теорем связанных с изучением групп, те
или иные выделенные системы подгрупп
которых
-нормальны
или квазинормальны. Не смотря на тот
факт, что квазинормальность и
-нормальность
являются вполне различными обобщениями
нормальности, в настоящее время получено
много аналогичных результатов независимо
для квазинормальных и
-нормальных
подгрупп. В данной работе такой параллелизм
устраняется на основе введенного выше
понятия слабой квазинормальности.
Таким образом, задача изучения групп с заданной системой слабо квазинормальных подгрупп вполне актуальна, ее реализации посвящена данная работа.
1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп
Определение.
Подгруппа
группы
называется слабо нормальной в
подгруппой, если существует такая
квазинормальная подгруппа
группы
,
что
и
.
Докажем ряд общих свойств слабо нормальных подгрупп.
Пусть
- группа и
.
Тогда справедливы следующие утверждения:
(1)
Пусть
- нормальная в
подгруппа. Тогда
слабо нормальная подгруппа в группе
тогда и только тогда, когда
- слабо нормальная подгруппа в группе
.
(2)
Если
- слабо нормальная в
подгруппа, то
- слабо нормальная в
подгруппа.
(3)
Пусть
- нормальная в
подгруппа. Тогда для всех слабо нормальных
в
подгрупп
таких, что
,
- слабо нормальная подгруппа в группе
.
Доказательство.
(1) Пусть
- слабо нормальная в
подгруппа и
- такая квазинормальная в
подгруппа, что
Тогда
,
- квазинормальная в
подгруппа и
.
Значит,
- слабо нормальная в
подгруппа.
Пусть
теперь, для некоторой квазинормальной
в
подгруппы
мы имеем
и
Ясно, что
Поскольку
то
и
- квазинормальные в
подгруппы. Следовательно,
- слабо нормальная в
подгруппа.
Утверждение (2) очевидно.
(3)
Пусть
- слабо нормальная подгруппа в группе
и
- квазинормальная в
подгруппа такая, что
и
.
Ясно, что
и
Значит,
слабо нормальна в
и ввиду (1),
- слабо нормальная в
подгруппа.
2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами
В данном разделе мы докажем некоторые критерии разрешимых, метанильпотентных, дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп в терминах слабо нормальных подгрупп.
Следующая теорема доказывается аналогично теореме 3.5.1.
Группа
разрешима тогда и только тогда, когда
,
где
,
- подгруппы группы
такие, что каждая максимальная подгруппа
из
и каждая максимальная подгруппа из
слабо нормальны в
.
Пусть
- группа тогда следующие утверждения
эквивалентны:
(1)
- разрешима;
(2)
,
где
,
- подгруппы группы
такие, что каждая максимальная подгруппа
из
и каждая максимальная подгруппа из
слабо квазинормальны в
;
(3)
,
где
,
- подгруппы группы
такие, что каждая максимальная подгруппа
из
и каждая максимальная подгруппа из
слабо нормальны в
.
Группа
метанильпотентна тогда и только тогда,
когда
,
где подгруппа
-квазинормальна
в
,
- нильпотентна и каждая силовская
подгруппа из
слабо нормальна в
.
Доказательство.
Допустим, что
,
где
-
-квазинормальна
в
,
- нильпотентна и каждая силовская
подгруппа из
слабо нормальна в
.
Покажем, что группа
метанильпотентна. Предположим, что это
не верно и пусть
- контрпример минимального порядка.
Тогда справедливы следующие утверждения.
(1)
не является нильпотентной группой.
Предположим,
что
нильпотентна. Так как ввиду леммы
(??)(3),
субнормальна, то
содержится в некоторой нильпотентной
нормальной подгруппе
из
по лемме (??)(2). Тогда
нильпотентна
и поэтому
метанильпотентна. Полученное противоречие
с выбором группы
доказывает (1).
(2)
.
Допустим,
что
.
Тогда ввиду леммы (??),
нильпотентна, что противоречит (1).
Значит, мы имеем (2).
(3)
Если
- абелева минимальная нормальная
подгруппа группы
,
содержащаяся в
,
то
метанильпотентна.
Пусть
-
-группа
и
- силовская
-подгруппа
в
.
Тогда
и поэтому по лемме (??) каждая силовская
подгруппа из
слабо нормальна в
.
Поскольку по лемме (??),
-квазинормальна
в
,
то
условия теоремы справедливы для
.
Так как
,
то ввиду выбора группы
,
метанильпотентна.
(4)
Условия
теоремы справедливы для
(это проямо следует из леммы (??)).
(5)
разрешима.
Если
,
то
метанильпотентна по (4)и выбору группы
.
Пусть теперь
.
Предположим, что для некоторой силовской
подгруппы
из
мы имеем
.
Тогда ввиду (3),
разрешима. Пусть теперь
для каждой силовской подгруппы
группы
.
Тогда по условию каждая силовская
подгруппа из
имеет квазинормальной дополнение в
и поэтому
нильпотентна. Полученное противоречие
в выбором группы
доказывает (5).
(6) В
группе
имеется в точности одна минимальная
нормальная подгруппа
,
содержащаяся в
.
Пусть
- минимальная нормальная подгруппа
группы
,
содержащаяся в
.
Тогда
абелева согласно (5), и поэтому ввиду
(3),
метанильпотентна. Так как класс всех
метанильпотентных групп. Кроме того,
так как класс всех метанильпотентных
групп является насыщенной формацией
(см. [??]), то
- единственная минимальная нормальная
подгруппа группы
,
содержащаяся в
.
(7)
Если
-группа,
то каждая силовская
-подгруппа
из
,
где
,
имеет квазинормальное дополнение в
.
Пусть
- силовская
-подгруппа
в
,
где
.
Тогда ввиду (6),
.
По условию,
слабо нормальна в
и поэтому
имеет квазинормальную подгруппу
,
такую что
и
Заключительное противоречие.
Пусть
- силовская
-подгруппа
в
и
.
Тогда
По
условию
имеет квазинормальную подгруппу
,
такую что
и
Тогда
и
поэтому
- дополнение для
в
,
которое является квазинормальной в
подгруппой. Если
-
-подгруппа
из
,
где
,
то ввиду (7),
имеет дополнение в
,
которое является квазинормальной
подгруппой (см. доказательство утверждения
(3) леммы (??)). Тогда по лемме (??),
нильпотентна и поэтому
метанильпотентна. Полученное противоречие
доказывает метанильпотентность группы
.
Обратно,
предположим, что
метанильпотентна. Покажем, что каждая
силовская подгруппа из
слабо нормальна в
.
Предположим, что это не верно и пусть
- контрпример минимального порядка.
Тогда
имеет силовскую подгруппу
,
которая не является слабо нормальной
в
.
Пусть
- произвольная минимальная нормальная
подгруппа в
и
- подгруппа Фиттинга группы
.
Предположим, что
.
Тогда
слабо нормальна в
и поэтому по лемме (??)(1),
слабо нормальна в
,
противоречие. Значит,
и поэтому
Так
как по условию
метанильпотентна и
- силовская подгруппа в
,
то
имеет нормальное дополнение
в
.
Но поскольку
и
-
-группы,
то
- нормальное дополнение для
в
.
Следовательно,
слабо нормальна в
.
Полученное противоречие показывает,
что каждая силовская подгруппа из
слабо нормальна в
.
Пусть
- группа тогда следующие утверждения
эквивалентны:
(1)
- метанильпотентна;
(2)
,
где подгруппа
субнормальна в
,
- абелева холлова подгруппа в
и каждая силовская подгруппа из
слабо квазинормальна в
;
(3)
,
где подгруппа
-квазинормальна
в
,
- нильпотентна и каждая силовская
подгруппа из
слабо нормальна в
.
Пусть
,
где подгруппа
-квазинормальна
в
,
нильпотентна. Предположим, что любая
максимальная подгруппа каждой
нециклической подгруппы из
слабо нормальна в
.
Тогда
сверхразрешима.
Доказательство.
Предположим, что эта теорема не верна
и пусть
- контрпример минимального порядка.
Тогда:
(1)
Каждая
собственная подгруппа
группы
,
содержащая
,
сверхразрешима.
Пусть
,
где
.
Тогда
где
нильпотентна и
-квазинормальна
в
.
Так как по лемме (??)(2), любая максимальная
подгруппа каждой нециклической силовской
подгруппы из
слабо нормальна в
и
,
то по выбору группы
мы имеем (1).
(2)
Пусть
- неединичная нормальная подгруппа в
.
Предположим, что
-группа.
Допустим, что
содержит силовскую
-подгруппу
из
,
или
циклична, или
.
Тогда
сверхразрешима.
Если
,
то
нильпотентна.
Пусть теперь
.
Так как
,
то нам только нужно показать, что условия
теоремы справедливы для
.
Ясно, что
где
-квазинормальна
в
и
нильпотентна. Пусть
силовская
-подгруппа
из
и
- произвольная максимальная подгруппа
в
.
Пусть
- силовская
-подгруппа
из
,
такая что
.
Ясно, что
- силовская
-подгруппа
группы
.
Значит,
для некоторой силовской
-подгруппы
из
.
Предположим, что
не является циклической подгруппой.
Тогда
не циклична. Покажем, что
слабо нормальна в
.
Если
,
то это прямо следует из леммы (??). Допустим,
что либо силовская
-подгруппа
из
циклическая, либо
.
Тогда
.
Покажем, что
- максимальная в
подгруппа. Так как
и
,
то
Предположим,
что для некоторой подгруппы
из
мы имеем
где
Тогда
Так
как
- максимальная в
подгруппа, то либо
,
либо
.
Если
,
то
что
противоречит выбору подгруппы
.
Значит,
и поэтому мы имеем
противоречие.
Следовательно,
- максимальная в
подгруппа и по условию
слабо нормальна в
.
Значит,
слабо
нормальна в
.
Следовательно, условия теоремы справедливы
для
.
(3)
и
сверхразрешима.
По
выбору группы
,
и поэтому
сверхразрешима согласно (1).
(4)
- разрешимая группа.
По
условию
-квазинормальна
в
и поэтому по лемме (??)(3),
содержится в некоторой разрешимой
нормальной подгруппе
группы
.
Так как группа
нильпотентна, то
разрешима.
(5)
Если
- простое число и
,
то
.
Пусть
.
Тогда ввиду (2),
сверхразрешима. Если
- множество всех простых делителей
порядка группы
,
то по лемме (??)(1),
,
где
- нормальная
-подгруппа
группы
и поэтому
сверхразрешима. Но тогда
сверхразрешима.
Полученное противоречие с выбором
группы
доказывает (5).
(6)
.
Допустим,
что
.
Тогда по лемме (??),
нильпотентна. Пусть
- силовская
-подгруппа
из
.
Так как ввиду леммы (??)(3)
субнормальна в
,
то
субнормальна в
.
Тогда
,
согласно лемме (??)(1). Но тогда ввиду (2),
сверхразершима и поэтому
,
по выбору группы
.
Так как
и
нильпотентно,
то
- силовская
-подгруппа
из
.
Пусть
- холлова
-подгруппа
из
и
.
По лемме (??),
нормальна в
и поэтому
.
Допустим, что для некоторого простого
делителя порядка
,
отличного от
,
мы имеем
.
Тогда
нормальна в
и поэтому
- нормальная подгруппа в
,
поскольку
.
Но тогда
,
что противоречит (5). Следовательно,
и поэтому
.
Согласно теореме (??),
сверхразрешима и поэтому
- абелева группа, экспонента которой
делит
,
согласно леммы (??). Но тогда
- абелева группа экспоненты, делящей
и поэтому
сверхразрешима, согласно леммы (??).
Полученное противоречие с выбором
группы
доказывает (6).
Заключительное противоречие.
Пусть
- минимальная нормальная подгруппа в
,
содержащаяся в
.
Пусть
-
-группа
и
- силовская
-подгруппа
группы
.
В силу (2),
сверхразрешима и поэтому
- единственная минимальная нормальная
подгруппа группы
,
содержащаяся в
.
Ясно, что
и
.
Значит, по лемме (??) для некоторой
максимальной подгруппы
из
мы имеем
.
Ясно, что
и поэтому по условию
имеет дополнение
в
,
которое является квазинормальной в
подгруппой. Тогда
и
поэтому
.
Но тогда
и
поэтому, ввиду минимальности
,
.
Ввиду (5),
имеет холлову
-подгруппу.
Так как в силу леммы (??)(3),
субнормальна в
,
то каждая холлова
-подгруппа
группы
содержится в
.
Следовательно,
-
-группа.
Отсюда следует, что
сверхразрешима. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Группа
дисперсивна по Оре тогда и только тогда,
когда
,
где подгруппа
квазинормальна в
,
дисперсивна по Оре и каждая максимальная
подгруппа любой нециклической силовской
подгруппы группы
слабо нормальна в
.
Доказательство.
Пусть
,
где подгруппа
квазинормальна в
,
дисперсивна по Оре и каждая максимальная
подгруппа любой нециклической силовской
подгруппы группы
слабо нормальна в
.
Покажем, что группа
дисперсивна по Оре. Предположим, что
это не верно и пусть
- контрпример минимального порядка.
Тогда:
(1)
Каждая
собственная подгруппа
группы
,
содержащая
,
дисперсивна по Оре.
Пусть
,
где
.
Тогда
где
дисперсивна по Оре и
квазинормальна в
.
Так как по лемме (??)(2) любая максимальная
подгруппа каждой нециклической силовской
подгруппы из
слабо нормальна в
и
,
то по выбору группы
мы имеем (1).
(2)
Пусть
- неединичная нормальная подгруппа в
,
являющаяся
-группа
для некоторого простого числа
.
Допустим, что либо
содержит силовскую
-подгруппу
из
,
либо
циклична, либо
.
Тогда
дисперсивна по Оре.
Если
,
то
дисперсивна
по Оре. Пусть теперь
.
Так как
,
то нам лишь нужно показать, что условия
теоремы справедливы для
.
Ясно, что
где
квазинормальна в
и
дисперсивна по Оре. Пусть
силовская
-подгруппа
из
и
- произвольная максимальная подгруппа
в
.
Пусть
- силовская
-подгруппа
из
,
такая что
.
Ясно, что
- силовская
-подгруппа
группы
.
Значит,
для некоторой силовской
-подгруппы
из
.
Предположим, что
не является циклической подгруппой.
Тогда
не циклична. Покажем, что
слабо нормальна в
.
Если
,
то это прямо следует из леммы (??). Допустим,
что либо силовская
-подгруппа
из
циклическая, либо
.
Тогда
.
Покажем, что
- максимальная в
подгруппа. Так как
и
,
то
Предположим,
что для некоторой подгруппы
из
мы имеем
где
Тогда
Так
как
- максимальная в
подгруппа, то либо
,
либо
.
Если
,
то
,
что противоречит выбору подгруппы
.
Значит,
и поэтому мы имеем
противоречие.
Следовательно,
- максимальная в
подгруппа и по условию
слабо нормальна в
.
Значит,
слабо
нормальна в
.
Следовательно, условия теоремы справедливы
для
.
(3)
Если
- простое число и
,
то
.
Пусть
Тогда
ввиду (2),
дисперсивна по Оре. С другой стороны,
если
- множество всех простых делителей
,
то ввиду леммы (??)(3) и леммы (??),
,
где
- нормальная
-подгруппа
в
и поэтому
дисперсивна по Оре. Но тогда
дисперсивна по Оре, противоречие. Значит, справедливо (3).
(4)
разрешима.
По
условию
квазинормальна в
и поэтому ввиду леммы (??)(3) и леммы (??),
содержится в некоторой разрешимой
нормальной подгруппе
группы
.
Так как
дисперсивна
по Оре, то
разрешима.
(5)
.
Предположим,
что
.
Тогда согласно лемме (??),
нильпотентна. Пусть
- силовская
-подгруппа
группы
.
Поскольку
субнормальна в
,
то
субнормальна в
.
Значит, по лемме (??),
.
Но ввиду (2),
дисперсивна по Оре и поэтому по выбору
группы
,
.
Пусть
- наименьший простой делитель
.
Тогда
имеет нормальную максимальную подгруппу
,
такую что
и
.
Пусть
- наибольший простой делитель
,
- силовская
-подгруппа
группы
.
Тогда ввиду (1),
нормальна в
и поэтому
.
Если
,
то
- силовская
-подгруппа
группы
и поэтому
дисперсивна по Оре. Отсюда следует, что
дисперсивна по Оре, противоречие.
Следовательно,
.
Но тогда
-группа.
Пусть
- силовская
-подгруппа
в
.
Тогда
- силовская
-подгруппа
в
.
Поскольку
- подгруппа группы
и ввиду (1),
дисперсивна по Оре, то
.
Так как
дисперсивна по Оре, то
и поэтому
.
Следовательно, группа
дисперсивна по Оре. Полученное противоречие
доказывает (5).
Заключительное противоречие.
Пусть
- минимальная нормальная подгруппа
группы
,
содержащаяся в
.
Пусть
-
-группа
и
- силовская
-подгруппа
группы
.
Ввиду (2),
дисперсивна по Оре. Пусть
- наименьший простой делитель
.
Тогда
имеет нормальную максимальную подгруппу
,
такую что
и
.
Пусть
- наибольший простой делитель
,
- силовская
-подгруппа
группы
.
Тогда ввиду (1),
нормальна в
и поэтому
.
Рассуждая как выше видим, что
.
Но тогда
-группа.
Значит,
и поэтому
дисперсивна по Оре. Полученное противоречие
завершает доказательство теоремы.
Заключение
В
последние годы значительно возрос
интерес к квазинормальным и
-нормальным
подгруппам. Следует отметить, что
получено большое число теорем связанных
с изучением групп, те или иные выделенные
системы подгрупп которых
-нормальны
или квазинормальны в группе
.
Не смотря на тот факт, что квазинормальность
и
-нормальность
являются вполне различными обобщениями
нормальности, в настоящее время получено
много аналогичных результатов не
зависимо для квазинормальных и
-нормальных
подгрупп. В данной работе мы устраняем
такой параллелизм на основе введенного
понятия слабой квазинормальности.
Основные результаты данной работы:
- доказаны новые критерии принадлежности группы насыщенной формации;
- найдены описания разрешимых и метанильпотентных групп по свойствам их максимальных и силовских подгрупп;
- получены описания дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп по свойствам максимальных подгрупп силовских подгрупп;
- найдены критерии разрешимости и метанильпотентности групп в терминах слабо нормальных подгрупп.
Работа имеет теоретический характер. Результаты курсовой работы могут быть использованы при изучении слабо нормальных, квазинормальных и слабо квазинормальных подгрупп.
Литература
1.Боровиков, М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков / М.Т. Боровиков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. - Минск: Университетское, 1990. - С. 80-82.
2.Боровиков,
М.Т. О
-разрешимости
конечной группы / М.Т. Боровиков //
Арифметическое и подгрупповое строение
конечных групп / Под редакцией М.И.
Салука. - Минск: Наука и техника, 1986. - С.
3-7.
3.Го
Веньбинь.
-накрывающие
системы подгрупп для классов
-сверхразрешимых
и
-нильпотентных
конечных групп / Го Веньбинь, К.П. Шам,
А.Н. Скиба // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45,
№ 3. - С. 75-92.
4.Пальчик,
Э.М. О группах, все
-максимальные
подгруппы которых перестановочны с
силовской подгруппой / Э.М. Пальчик //
ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1968. - №
1. - С. 45-48.
5.Пальчик, Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами / Э.М. Пальчик // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392.
6.Пальчик,
Э.М. О группах, все
-максимальные
подгруппы которых перестановочны с
силовской подгруппой. II / Э.М. Пальчик,
Н.П. Конторович // ИАН БССР. Сер. физ.-матем.
наук. - 1969. - № 3. - С. 51-57.
7.Подгорная, В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп / В.В. Подгорная // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. - 2000. - № 4. - С. 22-25.
8.Подгорная, В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами / В.В. Подгорная // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. - 1999. - № 4(14). - С. 80-82.
9.Поляков, Л.Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами / Л.Я. Поляков // Конечные группы. - Минск: Наука и техника, 1966. - С.75-88.
10.Самусенко (Подгорная), В.В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к подгруппам / В.В. Самусенко // Вопросы алгебры. Выпуск 13. - 1998. - С. 177-182.