Доказательство бесконечности некоторых видов простых чисел

Способ доказательства бесконечности количества некоторых видов простых чисел

Греческий ученый Евклид еще в ІІІ веке до нашей еры доказал, что количество простых чисел - бесконечено.

Теорема Дирихле утверждает, что в некоторой арифметической прогрессии, которая состоит с натуральных чисел, количество простых чисел или бесконечность. Это значит, если , тогда значения многочлена первой степени будут простыми числами при замене бесконечного количества целых чисел.

Уже о многочленах второй и о большей степени этого нельзя было сказать. Неразрешимой была проблема простых чисел-близнецов.

Ниже мы рассмотрим способ, с помощью которого можно решить часть этих проблем.

Рассмотрим многочлен который при значениях от до , дает бесконечный ряд натуральных чисел (1)

А также рассмотрим ряд простых чисел (2) некоторого типа, о котором известно, что он бесконечен.

Пусть простые числа (2) делят числа (1) и некоторые числа (2) совпадают с некоторыми числами (1). Применяя способ решета Эратосфена, мы увидим, что каждое простое число c (2) выбивает с ряда чисел (1) часть, а на все остальные простые числа останется _>>_>>часть чисел (1).

Если p_>1> выбивает t/ р_>1> , то p_>2> выбьет еще часть чисел (1) с тех, что осталась, а вместе они выбьют часть чисел(1).

Для всех остальных простых чисел останется

часть чисел (1)

Третье простое число выбьет еще часть, а вместе они выбьют часть чисел (1). На все оставшиеся простые числа с (2) останется

часть чисел (1)

Продолжая ми получим, что простые числа _>>_>>выбивают

(3)

часть чисел (1) , а на оставшиеся простые числа останется

(4)

часть чисел (1)

Используем тот факт, что простые числа от до выбивают все сложные числа в интервале от _>>_>>до .

Пусть наибольшее простое число с (2) совпадающее с последовательности (1). Для того чтобы выяснить, есть ли еще простые числа в последовательности (1) больше за достаточно формулу (4) умножить на число А-количество чисел (1) на промежутке от _>> до . И если

(5)

значит, там еще есть простые числа больше и меньше .

Рассмотрим проблему простых чисел-близнецов

Пусть многочлен первой степени ,где ,дает простые числа –близнецы. Требуется доказать, что их количество бесконечно. Запишем все пары чисел

(6)

Легко показать, что каждое простое число _>>выбивает по две пары таких чисел, то есть _>>часть.

Пусть

(7)

последняя известная нам пара простых чисел-близнецов этого вида. Используя формулы (3) мы увидим, что все простые числа от до выбивают

(8)

часть чисел (6). А , используя формулу (4) мы получим , что на все остальные простые числа останется

(9)

часть чисел (6).

Для того, чтобы выяснить есть ли еще другие пары простых чисел-близнецов в последовательности (6) больше за (7), достаточно исследовать формулу (9) на промежутке до .

Если

(10)

где А-количество пар чисел (6) на промежутке от до ,тогда на этом промежутке есть еще хотя бы одна пара простых чисел-близнецов данного вида

Так как

тогда последнее число вида (7) меньше , которое будет делиться простыми числами меньшими за , будет число

С учетом этого формула (10) примет вид

где видно, что левая часть больше единицы, а это значит, что количество пар простых чисел-близнецов бесконечно.

Для примера рассмотрим простые числа-близнецы вида .

Пусть наибольшая пара таких чисел. Так как числа такого вида нечетные, значит, не принимает участия. Выражение (10) для данного случая примет вид , где очевидно, что оно больше единицы, а это значит, что количество пар простых чисел-близнецов вида бесконечно. Таким же способом можно рассматривать и более сложные многочлены первой степени. Очень легко доказывается и теорема Чебышева, Гольдбаха-Эйлера.

Рассмотрим многочлен второй степени

(11)

Делителями его будут простые числа вида

(12)

Подставляя в (11) значения от до получим ряд чисел (13). Пускай наибольшее простое число вида . Требуется доказать что есть еще простые числа вида больше за .

Каждое простое число (12) выбивает с последовательности (13) _>> часть чисел. С учетом формулы (3) мы получим, что все простые числа (12) от до _>> выбивают