Длина дуги кривой в прямоугольных координатах
Контрольная работа
По дисциплине:
«Высшая математика»
Тема:
«Длина дуги кривой в прямоугольных координатах»
1. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу
Сформулируем следующее свойство определенных интегралов:
Пусть функция
непрерывна на
.
Составим для нее определенный интеграл
.
Пусть для определенности
на всем отрезке. Тогда с геометрической
точки зрения составленный интеграл не
что иное, как площадь криволинейной
трапеции с основанием
,
которая ограничена линией
.
Если в рассматриваемом
интеграле заменить переменную
интегрирования
на
,
то величина его, очевидно, не изменится.
Поэтому в дальнейшем для удобства будем
считать, что площадь трапеции определяется
интегралом
.
Величина определенного
интеграла зависит от значений верхнего
и нижнего пределов интегрирования, то
есть от длины основания криволинейной
трапеции. Рассмотрим поэтому теперь
случай, когда нижний предел интеграла
фиксирован и равен
,
а верхний может меняться, принимая
значения
,
где
.
В этом случае определенный интеграл
будет соответствовать площади
криволинейной трапеции, величина которой
меняется. Зависеть эта площадь будет
от значения
,
то есть
.
Если
будет меняться непрерывно, то и площадь
трапеции будет меняться непрерывно, то
есть
– непрерывная функция, которую можно
дифференцировать.
Теорема. Производная
определенного интеграла по переменному
верхнему пределу равна подынтегральной
функции, у которой переменная интегрирования
заменена этим верхним пределом, то есть
или
.
Для вычисления
производной проделаем все стандартные
операции. Зададим приращение аргументу:
,
что, в свою очередь, приведет к приращению
функции:
.
Так как
,
а
,
то приращение функции определяется
выражением:
.
Применим к полученному выражению теорему о среднем в определенном интеграле:
,
где
.
Составим отношение
.
Чтобы получить производную
,
перейдем в составленном отношении к
пределу:
.
Так как
,
то при стремлении
точка
будет стремиться к
.
Следовательно, вычисление предела
приведет к выражению:
.
Из доказанной теоремы
следует, что
– это первообразная от
,
следовательно, определенный интеграл
также является первообразной от
,
и вычислять его, очевидно, необходимо
с помощью тех же приемов, что и
неопределенный интеграл.
2. Формула Ньютона–Лейбница
Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы представляет собой довольно сложную задачу и может быть выполнено лишь в некоторых наиболее простых случаях. Однако полученная в п. 1 связь между определенным интегралом и первообразной позволяет получить простой метод для вычисления этих интегралов.
Теорема. Если
какая-либо первообразная от непрерывной
функции
,
то справедлива формула:
.
В предыдущем пункте
было показано, что
– это первообразная от функции
.
Но как было показано при изучении
неопределенного интеграла, любая
непрерывная функция имеет бесконечное
множество первообразных, отличающихся
друг от друга на постоянное слагаемое.
Поэтому, если
какая-то другая первообразная от той
же функции
,
то
.
Оказывается, что в
случае определенного интеграла постоянную
можно вычислить. Действительно, так как
может принимать любые значения между
и
(п. 1),
то пусть
.
Тогда:
.
Но определенный интеграл с равными
пределами равен нулю, следовательно,
.
Значит,
.
Положим теперь, что
,
тогда
.
Полученное выражение называется формулой Ньютона – Лейбница. Другая форма записи этого выражения следующая:
.
Обычно в полученных
выражениях переменная интегрирования
обозначается буквой
.
Таким образом, чтобы
вычислить определенный интеграл,
необходимо найти любую первообразную
от
и вычислить разность ее значений в
верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Полученная простая формула позволяет
легко находить решения многих
математических и прикладных задач,
связанных с вычислением определенного
интеграла.
3. Замена переменной в определенном интеграле
При изучении неопределенного интеграла было показано (п. 5.4), что одним из наиболее часто встречающихся методов его вычисления является замена переменных. Так как вычисление определенного интеграла, согласно формуле Ньютона – Лейбница, также связано с нахождением первообразной, то метод замены переменной применим и в нем, однако при этом имеются некоторые особенности. В неопределенном интеграле замена переменной приводила в конце вычислений к обратной замене, в определенном же, оказывается, можно обойтись без этого.
Теорема. Если
в определенном интеграле
,
где
непрерывна на
,
сделать замену переменной
и при этом:
1)
,
;
2)
и
непрерывны на
;
3)
непрерывна на
и при изменении
от
до
не выходит за пределы отрезка
,
то
.
Пусть
– какая-то первообразная от
,
тогда
.
Согласно формуле Ньютона – Лейбница,
получим соответствующий определенный
интеграл:
.
Но, как было показано в п. 5.4, в
неопределенном интеграле можно сделать
замену переменной
,
тогда
.
В этом случае соответствующий определенный
интеграл будет иметь вид:
.
У обоих определенных интегралов правые части равны, следовательно, равны и левые части:
,
что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы следует, что при замене переменной в определенном интеграле должны поменяться пределы интегрирования, и обратная замена здесь уже не нужна, так как и при старой и при новой переменной в ответе получается одно и то же число.
4. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть даны функции
и
,
которые непрерывны со своими производными
на
.
Составим их произведение и продифференцируем
его:
.
Возьмем от обеих частей полученного равенства определенные интегралы:
.
Но
,
,
.
Следовательно,
,
откуда:
.
Так же как и в неопределенном интеграле,
данная формула требует правильного
выбора множителей
и
.
5. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах
При вычислении длины кривой линии может быть использована та же методика, что и при вычислении площадей криволинейных трапеций, то есть кривую разбивают на такие малые участки, длину которых можно посчитать геометрическими методами.
Определение. Длиной дуги кривой линии называют предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной линии при неограниченном увеличении числа ее звеньев и при стремлении длины наибольшего звена к нулю.
Итак, пусть кривая
линия
описывается функцией
на отрезке
.
При этом пусть
непрерывна на этом отрезке вместе со
своей производной
.
Разобьем кривую
на
частичных дуг точками
.
Соединив начало и конец каждой частичной
дуги хордой, получим в результате
вписанную ломаную линию, длина которой
равна сумме длин ее звеньев:
.
Обозначим:
,
,…,
,…,
.
Кроме того,
,
,…,
,…,
.
В таком случае
можно рассматривать как гипотенузу
прямоугольного треугольника и поэтому
.
Согласно теореме Лагранжа о среднем
,
где
,
следовательно,
.
Отсюда длина ломаной линии равна
.
Переходя к пределу в данной интегральной сумме, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю, получаем длину кривой линии в прямоугольной системе координат:
.
Данный интеграл
существует, поскольку по условию
производная
непрерывна.
Из полученной формулы можно получить выражение для дифференциала дуги, которое используется как в математике, так и в некоторых задачах теоретической механики. Пусть положение правого конца кривой линии является переменной величиной, тогда ее длина будет функцией точки, в которой она заканчивается, то есть
.
Возьмем производную данного интеграла по переменному верхнему пределу (п. 1.):
.
Отсюда следует, что
.
6. Длина дуги кривой при ее параметрическом задании
Рассмотрим теперь
случай, когда кривая, длину которой
необходимо вычислить, задана параметрически,
то есть
при этом изменение
от
до
приводит к изменению
от
до
.
Пусть функции
и
непрерывны вместе со своими производными
на отрезке
и при этом
.
Тогда
,
а
.
Подставим значение данной производной
и дифференциала в формулу для длины
дуги в прямоугольной системе координат
(п. 5):
.
В случае пространственной кривой ее параметрическое задание будет выглядеть следующим образом:
Если указанные
функции непрерывны вместе со своими
производными на отрезке
,
то можно доказать, что длина данной
кривой вычисляется по формуле
.
7. Длина дуги в полярной системе координат
Если кривая задана
в полярной системе координат, то она
описывается функцией
,
где
.
Пусть
непрерывна вместе со своей производной
на отрезке
.
Перейдем от полярной
к прямоугольной системе координат:
.
Но так как
,
то получаем, что
.
Иначе говоря,
и
выражены через параметр
,
поэтому можно воспользоваться формулой
для длины дуги при ее параметрическом
задании (п. 6.):
Возведя в квадрат выражения в скобках и выполнив элементарные преобразования, получаем:
.
Обычно данную формулу записывают следующим образом:
.
8. Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений
Определенный интеграл в некоторых случаях может быть использован и для вычисления объемов тел. Это можно сделать, когда известны площади всех их поперечных сечений.
Пусть некоторое
тело, объем которого необходимо
определить, расположено вдоль оси
между точками
и
.
Пусть это тело обладает тем свойством,
что известна площадь
его любого поперечного сечения плоскостью
,
то есть плоскостью, перпендикулярной
оси
.
Так как в общем случае величина этого
сечения будет меняться, то
.
В случае, если поверхность тела является
гладкой, а тело сплошным, то
будет непрерывной функцией.
Разобьем отрезок
точками
на частичные отрезки и в каждой полученной
точке проведем плоскость, перпендикулярную
оси
.
Все тело при этом разобьется на слои, а
его объем будет равен сумме объемов
всех полученных слоев:
.
Найдем приближенно
величину объема
-ого
слоя
.
Для этого рассмотрим отрезок
,
длина которого равна
.
Возьмем некоторую точку
и проведем в ней секущую плоскость,
перпендикулярную оси
.
Если
достаточно мало, то слой, соответствующий
объему
,
можно практически считать прямым
цилиндром с поперечным сечением равным
.
Но в этом случае, как и у кругового
цилиндра,
.
Отсюда следует, что
.
Полученное выражение
является интегральной суммой. Так как
функция
по условию непрерывна, то предел этой
суммы при
и
существует и равен определенному
интегралу:
.
Итак, объем тела с известными поперечными сечениями равен:
.
9. Объем тела вращения
Рассмотрим теперь
тело, полученное в результате вращения
криволинейной трапеции вокруг оси
.
Пусть основанием этой трапеции является
отрезок
,
расположенный на оси
,
и она ограничена непрерывной кривой
.
В этом случае в любом сечении полученного
тела плоскостью, перпендикулярной оси
,
будет круг, радиус которого совпадает
со значением функции
в данной конкретной точке. Поэтому
площадь сечения будет равна
.
Подставив данное выражение в формулу для объема тела с известными площадями поперечных сечений, приведенную в предыдущем параграфе, получим:
.
Если трапеция
вращается вокруг оси
,
то должна быть задана функция
на отрезке
.
В этом случае объем тела вращения равен:
.
Литература
Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Изд-во «Академия», 2009. – 208c.
Макарычев Юрий Тригонометрия. Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2004. – 360 с.
Потапов Михаил Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарными функциями. Издательство: ЭКЗАМЕН XXI, 2008. – 160 с.
Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. – 200 с.