Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

1. Определения

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом вида

(1)

где , , , называются дифференциальными уравнениями с запаздыванием, зависящим от состояния, а именно с сосредоточенным запаздыванием.

Если заданы начальные данные в виде

(2)

То имеет смысл определить понятие решения, начинающегося в точке σ с функции φ, или, короче, начинающегося в φ.

В дальнейшем будем рассматривать только решения, удовлетворяющие условию Липшица, поэтому следует дать следующее определение:

Def 1.Функция называется решением системы (1), (2) на отрезке , если она удовлетворяет следующим условиям:

на отрезке .

Естественно возникает вопрос о существовании и единственности такого решения.

Для начала сделаем некоторые обозначения.

a) есть функция, определенная на отрезке и удовлетворяющая условию Липшица с константой L, то есть

;

b)

c)

Def 2. удовлетворяет условиям a),b),c)}

2. Полезная лемма

Lemma 1: -выпуклое, замкнутое, ограниченное множество в пространстве непрерывных на отрезке функций.

Proof:

1)Выпуклость:

a)Выберем произвольные функции , тогда

b);

c)на отрезке на том же отрезке для любых .

2)Ограниченность:

Множество определено так, что все элементы этого множества лежат в шаре радиуса

3)Замкнутость:

Возьмем последовательность функций такую, что

, .

a)

Возьмем тогда

Так как это верно при любом , то получаем, что предельная функция удовлетворяет условию Липшица с константой L.

b) По теореме Кантора равномерно на отрезке.

Предположим, что при этом (для простоты доказательства предположим что , если , рассуждения проводятся аналогично)

Возьмем , тогда, так как для любого положительного и любого выполнено , то выполнено и для данных и t. Получим:

Так как по предположению , то получаем что , а это невозможно, так как . Противоречие показывает, что предельная функция ограничена по норме той же константой .

c)

на отрезке .

Видим, что выполнение условий a,b,c равнозначно тому что , то есть множество замкнуто.

Лемма доказана полностью.

3. Существование и единственность решения

Для доказательства теоремы о существовании и единственности липшицевого решения нам потребуется некоторые понятия и важные теоремы, доказательства которых можно, например, найти в книге Кадеца [3].

Def 2. Оператор Т называется вполне непрерывным (компактным), если Т непрерывен и Т отображает любое ограниченное множество в предкомпактное.

Def 3. Семейство Ф функций φ, определенных на называется равномерно ограниченным, если

Def 4.Семейство Ф функций φ, определенных на , называется равностепенно непрерывным, если

Теорема 1.(Арцела)

Для того чтобы семейство Ф непрерывных, определенных на отрезке функций было предкомпактом в , необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.

Теорема 2.(Шаудера, принцип неподвижной точки)

Если U-замкнутое ограниченное выпуклое подмножество пространства Банаха X оператор вполне непрерывен, то Т имеет в U по крайней мере одну неподвижную точку.

Именно на теореме Шаудера основано доказательство теоремы о существовании и единственности решения.

Теорема 3.(существование и единственность решения системы (1).(2))

Пусть система (1),(2) такая что:

Тогда такая что на отрезке существует решение системы (1),(2), удовлетворяющее условию Липшица, и оно единственно.

Замечание. Для простоты возьмем , для других значений теорема доказывается аналогично, или сводится к этому случаю заменой переменных.

Доказательство: Проинтегрировав уравнение (1), увидим, что решение должно удовлетворять условию:

Обозначим

и будем искать решение в виде

Где

Определим оператор

,

Который действует из в себя, действительно, возьмем произвольный элемент

Проверим, удовлетворяет ли образ условию Липшица: возьмем

При

При выполнено .

при по определению оператора.

Выполнение условий a,b,c означает что .

Для этого необходимо подобрать параметры так, чтоб одновременно выполнялись условия:

(3)

(4)

Покажем, что оператор Т осуществляет непрерывное отображение:

Возьмем последовательность такую что

Оценка выполнена на всем интервале, величина положительна и конечна, отсюда следует, что при |

также стремится к нулю, а значит оператор Т переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся, а значит он непрерывен.

Компактность оператора будем доказывать по теореме Арцела, так как образ оператора лежит в пространстве с соответствующей нормой.

1),

правая часть не зависит ни от t, ни от y, значит образ оператора – равномерно ограниченное семейство функций.

2)

Выбирая получаем что образ оператора есть равностепенно непрерывное семейство функций.

А значит, образ множества предкомпакт, а оператор Т вполне непрерывен.

Так как множество ограничено, выпукло и замкнуто, а оператор Т компактен и действует из этого множества в себя, то по теореме Шаудера существует по крайней мере одна неподвижная точка из этого множества.

, а это значит, что - решение системы (1),(2).

Единственность:

Предположим, что при выполнении условий теоремы x и y – решения системы (1),(2) на интервале .

При оба решении совпадают с начальными данными, а значит равны между собой. На интервале оценим модуль разности функций, являющимися решениями.

Эта оценка верна для произвольного t отсюда немедленно следует, что

,

Выбирая таким малым, чтоб было меньше 1, получаем что , а значит на . Последовательно строя интервалы длинной закончим доказательство теоремы.

4.Пример неединственности (Winston)

Для уравнения с начальными данными

для малых положительных t существует два различных решения:

Действительно, проверим, удовлетворяют ли эти функции уравнению:

Значит, система имеет два различных решения. Это происходит потому что при малых t аргумент оказывается в окрестности -1, а при этих значениях начальные данные недостаточно гладки, не выполнено условие Липшица.

Список использованной литературы

[1] HALE J. K. Theory of functional differential equations. –Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1977.

[2] Резуненко А.В. Краткое введение в обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Харьков-2004.

[3] Кадец В.М. Курс функционального анализа. Харьков-2006.

[4] I.D.Chueshov. Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems . «Аста»-2002.

[5] Д. Хенри. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. Москва. «Мир»-1985.

[6] Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976