Геометрические векторы
Дисциплина: Высшая математика
Тема: Геометрические векторы
1. Геометрические векторы. Основные определения
В математике, физике, теоретической механике приходится иметь дело с величинами двух типов: одни имеют чисто числовой характер; другие же имеют не только числовую характеристику, но и связаны с понятием о направлении в пространстве. Рассмотрим, например, температуру, массу, энергию, скорость, ускорение, силу. Отличие последних трех величин от первых трех состоит в том, что с ними должно быть связано понятие о направлении. Первые три величины, не связанные с понятием о направлении, называются скалярами. Остальные три величины, имеющие определенное направление, называются векторами.
Так, при измерении температуры, мы получим положительное или отрицательное число, характеризующее ее величину в градусах. Точно так же можно измерить массу, энергию.
Определение 1. Скаляром называется величина, характеризующаяся только числом.
Следовательно, скаляры - это обычные числа, и различие между двумя одинаковыми числами может заключаться лишь в их размерности (м и см, м и кг).
Если необходимо измерить такую величину, как скорость точки, то для этого знать два числа (путь и время) недостаточно. Необходимо еще знать, куда двигается точка, то есть ее направление движения.
Определение 2. Вектором называется величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением в пространстве.
Следовательно,
утверждать, что если обе точки движутся
со скоростью 2
,
то их скорости равны, нет никакого
основания. Необходимо знать в какие
стороны они двигаются.
Из сказанного следует, что для описания скаляра достаточно написать число и указать его размерность. Для описания векторной величины используют направленные отрезки, длина которых при выбранном масштабе соответствует величине вектора, а направление - совпадает с направлением векторной величины. В дальнейшем эти отрезки и будем называть геометрическими векторами.
При изображении
вектора одна точка, ограничивающая
вектор, называется началом, а вторая -
концом вектора. В конце вектора ставится
стрелка. Для краткой записи вектор можно
обозначить с помощью двух букв
(первая соответствует началу, вторая -
концу) или же одной буквы
(здесь начало и конец не обозначены).
Определение
3. Расстояние между началом и концом
вектора называется его длиной или
модулем и обозначается
или
.
Определение
4. Вектор, у которого конец совпадает с
началом, называется ноль вектором и
обозначается
.
Определение 5. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или параллельных прямых. Векторы называются коллинеарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Определение
6. Два вектора
и
называются равными, если они коллинеарные,
одинаково направлены и равны по длине.
Записывается
это так
.
Из определения 6 следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. При этом каждый новый вектор будет равен исходному.
Однако следует отметить, что все сказанное выше связано с так называемыми свободными векторами. Кроме них существуют еще передвижные и определенные векторы. У свободных векторов точку приложения можно выбирать где угодно. У передвижных - точку приложения можно перемещать вдоль самого вектора (например, сила, приложенная к твердому телу). У определенных векторов точка приложения должна быть зафиксирована (например, сила, действующая на жидкость). Но изучение всех векторов можно, в конечном счете, свести к изучению свободных векторов, поэтому в дальнейшем мы будем заниматься только ими.
2. Простейшие операции над векторами
К простейшим операциям над векторами относится сложение и вычитание векторов и умножение вектора на скаляр. Все эти операции называются линейными.
1) Сложение векторов.
Определение
1. Чтобы найти сумму двух векторов
и
,
необходимо конец вектора
совместить с началом
.
Вектор
,
соединяющий точки
и
,
будет их суммой.
Обозначается
сума следующим образом:
.
Величину ее можно найти и другим способом.
Начала векторов
и
совмещаются и на них как на сторонах
строится параллелограмм. Диагональ
параллелограмма и будет суммой векторов.
Из правила параллелограмма видно, что сумма векторов обладает переместительным свойством
.
Если слагаемых
больше, например, три:
,
поступают следующим образом. Строят
вначале сумму
,
а затем, прибавляя
,
получают вектор
.
Из рисунка
видно, что тот же результат будет, если
сложить вначале
,
а затем прибавить
,
то есть сумма векторов обладает
сочетательным свойством:
.
Если при
сложении нескольких векторов конец
последнего совпадает с началом первого,
то сумма равна ноль вектору
.
Очевидно,
.
2) Разность векторов.
Определение
2. Разностью двух векторов
и
называется такой вектор
,
сумма которого с вычитаемым
дает вектор
.
Значит, если
,
то
.
Из определения
суммы двух векторов вытекает правило
построения разности. Откладываем из
общей точки векторы
и
.
Вектор
соединяет концы векторов
и
и направлен от вычитаемого к уменьшаемому.
Видно, что
если на векторах
и
построить параллелограмм, то одна его
диагональ соответствует их сумме, а
вторая - разности.
3) Умножение вектора на число.
Определение
3. Произведением вектора
на число
называется вектор
,
определенный следующими условиями:
1)
;
2) вектор
коллинеарен
вектору
;
3) векторы
и
направлены одинаково, если
,
и противоположно, если
.
Очевидно, что
операция умножения вектора на число
приводит к его растяжению или сжатию.
Противоположный вектор
можно рассматривать как результат
умножения вектора
на
.
Отсюда,
.
Из определения
3 следует, что если
,
то векторы
и
коллинеарны. Отсюда вытекает определение
коллинеарности векторов.
Определение
4. Любые два вектора
и
коллинеарны, если связаны соотношением
,
где
- некоторое число.
Величину
можно определить из отношения
.
Оно положительно, если векторы направлены
в одну сторону, и наоборот отрицательно,
если направление векторов противоположно.
Из построения параллелограмма легко убедиться, что умножение вектора на число обладает распределительным свойством:
;
и сочетательным свойством
.
Определение 5. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.
Обозначаются
единичные векторы символами
или
.
Используя
понятие единичного вектора, любой вектор
можно представить следующим образом:
.
3. Проекция вектора на ось
В процессе выполнения простейших операций иногда приходится сталкиваться с таким понятием, как проекция вектора на какую-либо ось. Введем вначале понятие угла между векторами.
Определение
1. Углом между векторами
и
называется наименьший угол
,
на который надо повернуть один из
векторов до совмещения со вторым.
Положительным считается отсчет угла против часовой стрелки.
Пусть необходимо
найти проекцию вектора
на ось
.
Выберем на оси начало отсчета 0 и масштаб.
Совместим с началом отсчета единичный
вектор
.
Тогда угол между
и осью
будет равен углу
между
и
.
Спроецируем начало и конец вектора на
ось
.
Тогда длина отрезка
,
а
.
Длина же проекции вектора
:
.
Рис. 1
Определение
2. Проекцией вектора
на ось
называется разность между координатами
проекций конца и начала вектора
на ось
.
Очевидно, что
если
- острый угол, проекция положительна;
если
- тупой угол, то отрицательна; если
,
то проекция равна нулю.
Теорема 1.
Проекция вектора
на ось
равна произведению модуля этого вектора
на косинус угла между ними:
.
Доказательство теоремы вытекает из Рис. 1.
Теорема 2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.
Доказательство.
Пусть
.
Обозначим проекцию точки
через
,
точки
- через
,
точки
- через
.
Тогда
;
;
.
Но
.
Теорема 3. Если
вектор
умножить на число
,
то его проекция на ось умножится на то
же число.
Докажем для
случая
:
.
Если
,
то
.
Литература
Артамонов Вячеслав Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию. Изд-во: Факториал, Факториал Пресс, 2007. - 128с.
Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Издательство: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. - 584c.
Клейн Ф. Высшая геометрия. изд. - 2. Издательство: Едиториал УРСС, 2004. - 400c.
Клейн Ф., Феликс Христиан Клейн Высшая геометрия: Пер. с нем. Изд.3. ЛИБРОКОМ, 2009. - 400c.