Вычисления по теории вероятностей
Задача 1. В партии из 60 изделий 10 – бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными:
а) ровно 2 изделия;
б) не более 2 изделий.
Решение.
А)
Используя классическое определение вероятности:
Р(А) – вероятность события А, где А – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными ровно 2 изделия;
m – кол-во благоприятных исходов события А;
n – количество всех возможных исходов;
Б)
Р(А’) – вероятность события А’, где А’ – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными не более 2 изделий,
;
– кол-во
благоприятных исходов события
;
– кол-во
благоприятных исходов события
;
– кол-во
благоприятных исходов события
;
n’ – количество всех возможных исходов;
Ответ: вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия равна 16%. б) не более 2 изделий равна 97%.
Задача 2. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 20, 10, 20 деталей.
Решение.
По формуле полной вероятности:
где
А – взятие хорошей детали,
– взятие детали из первого (второго /
третьего) автомата,
– вероятность взятия детали из первого
(второго / третьего) автомата,
– вероятность взятия хорошей детали
из первого (второго / третьего)
автомата,
– вероятность попадания на сборку
небракованной детали.
;
(т. к.
)
= 1% = 0.01)
;
;
Ответ: Вероятность попадания на сборку небракованной детали равна 98%.
Задача 3. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. С каждого автомата поступило на сборку соответственно 20, 10, 20 деталей. Взятая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата.
Решение.
По формуле полной вероятности:
где
А’ – взятие бракованной детали,
– взятие детали из первого (второго /
третьего) автомата,
– вероятность взятия детали из первого
(второго / третьего) автомата,
– вероятность взятия бракованной детали
из первого (второго / третьего)
автомата,
– вероятность попадания на сборку
бракованной детали.
;
(согласно условию)
;
;
Согласно формуле Байеса:
Ответ: Вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата равна 20%.
Задача
4.
Рабочий обслуживает 18
станков. Вероятность выхода станка из
строя за смену равна
.
Какова вероятность того, что рабочему
придется ремонтировать 5
станков? Каково наивероятнейшее число
станков, требующих ремонта за смену?
Решение.
Используя формулу Бернулли, вычислим, какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков:
где n – кол-во станков, m – кол-во станков, которые придётся чинить, p – вероятность выхода станка из строя за смену, q =1-р – вероятность, не выхождения станка из строя за смену.
.
Ответ: Вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков равна 15%. Наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену равно 3.
Задача
5. В
двух магазинах, продающих товары одного
вида, товарооборот (в тыс. грн.) за 6
месяцев представлен в таблице. Можно
ли считать, что товарооборот в первом
магазине больше, чем во втором? Принять
=
0,05.
Все промежуточные вычисления поместить в таблице.
|
Магазин №1 |
Магазин №2 |
|
20,35 |
20,01 |
|
20,60 |
23,55 |
|
32,94 |
25,36 |
|
37,56 |
30,68 |
|
40,01 |
35,34 |
|
25,45 |
23,20 |
Пусть, a>1 >– товарооборот в 1 магазине, a>2> – товарооборот во 2 магазине.
Формулируем гипотезы Н>0> и Н>1>:
Н>0>: a>1 >= a>2>
Н>1>: a>1> ≠ a>2>
|
xi |
xi-a1 |
(xi-a1)2 |
yi |
yi-a2 |
(yi-a2)2 |
|
|
20,35 |
-9,135 |
83,44823 |
20,01 |
-6,35 |
40,32 |
|
|
20,6 |
-8,885 |
78,94323 |
23,55 |
-2,81 |
7,896 |
|
|
32,94 |
3,455 |
11,93703 |
25,36 |
-1 |
1 |
|
|
37,56 |
8,075 |
65,20563 |
30,68 |
18,66 |
||
|
40,01 |
10,525 |
110,7756 |
35,34 |
4,32 |
80,64 |
|
|
25,45 |
-4,035 |
16,28123 |
23,20 |
8,98 |
9,98 |
|
|
∑ |
176,91 |
366,591 |
158,14 |
-3,16 |
158,496 |
a>1>
=
=
= 29,485, a>2>
=
=
>1
>=
=
73.32
>2
>=
=
n >1 >= n >2 >= n =6
Вычислю выборочное значение статистики:
Z>В
>=
*
=
Пусть
=
0,05. Определяем необходимый квантиль
распределения Стьюдента:
(n>1>+n>2>-2)=
2.228.
Следовательно,
так как Z>В>=0,74>
><
=2,228,
то мы не станем отвергать гипотезу Н>0>,
потому что это значит, что нет вероятности
того, что товарооборот в первом магазине
больше, чем во втором.
Задача 6. По данному статистическому ряду:
Построить гистограмму частот.
Сформулировать гипотезу о виде распределения.
Найти оценки параметров распределения.
На уровне значимости
= 0,05 проверить гипотезу о распределении
случайной величины.
Все промежуточные вычисления помещать в соответствующие таблицы.
|
Интервал |
Частота случайной величины |
|
1 – 2 |
5 |
|
2 – 3 |
8 |
|
3 – 4 |
19 |
|
4 – 5 |
42 |
|
5 – 6 |
68 |
|
6 -7 |
44 |
|
7 – 8 |
21 |
|
8 – 9 |
9 |
|
9 – 10 |
4 |
1. Гистограмма частот:
2. Предположим, что моя выборка статистического ряда имеет нормальное распределение.
3. Для оценки параметров распределения произведем предварительные расчеты, занесем их в таблицу:
|
№ |
Интервалы |
Частота, m>i> |
Середина Интервала, x>i> |
x>i>*m>i> |
x>i>2*m>i> |
|
1 |
1–2 |
5 |
4,5 |
7,5 |
112,5 |
|
2 |
2–3 |
8 |
2,5 |
20 |
50 |
|
3 |
3–4 |
19 |
3,5 |
66,5 |
232,75 |
|
4 |
4–5 |
42 |
4,5 |
189 |
350,5 |
|
5 |
5–6 |
68 |
5,5 |
374 |
2057 |
|
6 |
6–7 |
44 |
6,5 |
286 |
1859 |
|
7 |
7–8 |
21 |
7,5 |
157,5 |
1181,25 |
|
8 |
8–9 |
9 |
8,5 |
76,5 |
650,25 |
|
9 |
9–10 |
4 |
9,5 |
38 |
361 |
|
∑ |
n=220 |
1215 |
7354,25 |
Найдем оценки параметров распределения:
=
= 5,523
2=
2 =
2,925
=
= 1,71
4. все вычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы.
|
№ |
Интервалы |
Частоты, mi |
t>1> |
t>2> |
Ф(t>1>) |
Ф(t>2>) |
p>i> |
|
1 |
-∞ – 2 |
5 |
-∞ |
-2,06 |
0 |
0,0197 |
0,0197 |
|
2 |
2–3 |
8 |
-2,06 |
-1,47 |
0,0197 |
0,0708 |
0,0511 |
|
3 |
3–4 |
19 |
-1,47 |
-0,89 |
0,0708 |
0,1867 |
0,1159 |
|
4 |
4–5 |
42 |
-0,89 |
-0,31 |
0,1867 |
0,3783 |
0,1916 |
|
5 |
5–6 |
68 |
-0,31 |
0,28 |
0,3783 |
0,6103 |
0,232 |
|
6 |
6–7 |
44 |
0,28 |
0,86 |
0,6103 |
0,8051 |
0,1948 |
|
7 |
7–8 |
21 |
0,86 |
1,45 |
0,8051 |
0,9265 |
0,1214 |
|
8 |
8–9 |
9 |
1,45 |
2,03 |
0,9265 |
0,9788 |
0,0523 |
|
9 |
9-∞ |
4 |
2,03 |
∞ |
0,9788 |
1 |
0,0212 |
Где:
t>1>=
,
t>2
= >
,
a>i>,
b>i>>
>–
границы интервала, Ф(t)
– Функция распределения
нормального закона.
p>i>> >= Ф(t>2>) – Ф(t>1>)
Так
как проверка гипотезы о распределении
производится по критерию
,
составляем еще одну таблицу для
вычислений:
|
№ интервала |
p>i> |
mi |
n* p>i> |
|
|
1 2 |
0,0708 |
13 |
15,57 |
0,4242 |
|
3 |
0,1159 |
19 |
25,5 |
1,6569 |
|
4 |
0,1916 |
42 |
42,15 |
0,0005 |
|
5 |
0,232 |
68 |
51,04 |
5,6336 |
|
6 |
0,1948 |
44 |
42,86 |
0,0303 |
|
7 |
0,1214 |
21 |
26,71 |
1,2207 |
|
8 9 |
0,0735 |
13 |
16,17 |
0,6214 |
|
∑ |
9,5876 |
Согласно
расчетам,
=
= 9,5876
Выбираем
уровень значимости
= 0,05 и вычисляем
>1-α
>(k-r-1),
где k
– число подмножеств, r
– число параметров в распределении.
>0,95>(7–2–1)
=
>0,95>(4)
= 9,49.
Сравнив полученное значение с расчетным можно сделать вывод, что так как расчетное значение больше, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки статистического ряда не принимается.
Задача 7. По данным выборки вычислить:
а) выборочное значение коэффициента корреляции;
б)
на уровне значимости
= 0,05 проверить гипотезу о значимости
коэффициента корреляции.
Решение
Формулируем гипотезы Н>0> и Н>1>:
Н>0>: a>1 >= a>2>
Н>1>: a>1> ≠ a>2>
|
xi |
xi-a1 |
(xi-a1)2 |
yi |
yi-a2 |
(yi-а2)2 |
xi*yi |
|
|
4,40 |
-0,476 |
0,2266 |
3,27 |
-0,47 |
0,2209 |
14,388 |
|
|
5,08 |
0,204 |
0,0416 |
4,15 |
0,41 |
0,1681 |
21,082 |
|
|
4,01 |
-0,866 |
0,7499 |
2,95 |
-0,79 |
0,6241 |
11,829 |
|
|
3,61 |
-1,266 |
1,6027 |
1,96 |
-1,78 |
3,1684 |
7,075 |
|
|
6,49 |
1,614 |
2,605 |
5,78 |
2,04 |
4,1616 |
37,512 |
|
|
4,23 |
-0,646 |
0,4173 |
3,06 |
-0,68 |
0,4824 |
12,944 |
|
|
5,79 |
0,914 |
0,8354 |
4,45 |
0,71 |
0,5041 |
25,765 |
|
|
5,52 |
0,644 |
0,4147 |
4,23 |
0,49 |
0,2401 |
23,349 |
|
|
4,68 |
-0,196 |
0,0384 |
3,54 |
-0,2 |
0,04 |
16,567 |
|
|
4,95 |
0,074 |
0,0055 |
4,01 |
0,27 |
0,0729 |
19,849 |
|
|
∑ |
48,76 |
- |
6,9371 |
37,4 |
- |
9,6626 |
190,36 |
a>1>
=
= 4,876, a>2>
=
= 3,74
>1
>=
= 0,7708
>2
>=
= 1,0736
n >1 >= n >2 >= n =6
а) Вычислим выборочное значение коэффициента корреляции
=
б)
Проверим на уровне значимости
=0,05
гипотезу о значимости коэффициента
корреляции:
(n-2)=2,306
Вычислим величину
=
получаем,
что
>0.6319
т.е. попадает в критическую область,
следовательно, коэффициент корреляции
можно считать значимым.
Задача 8. По данным выборки найти:
а) точечные оценки математического ожидания и дисперсии;
б)
с доверительной вероятностью р =1-
найти доверительные интервалы для
математического ожидания и дисперсии.
|
α |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
|
0.01 |
3,85 |
8,87 |
21,26 |
6,72 |
0,29 |
15,48 |
7,48 |
0,33 |
0,34 |
1,37 |
Решение
а) Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Промежуточные значения поместим в таблицу.
|
x>i> |
m>i> |
m>i>x>i> |
m>i>x>i>2 |
|
3,85 |
1 |
3,85 |
14,822 |
|
8,87 |
1 |
8,87 |
78,677 |
|
21,26 |
1 |
21,26 |
451,987 |
|
6,72 |
1 |
6,72 |
45,158 |
|
0,29 |
1 |
0,29 |
0,0840 |
|
15,48 |
1 |
15,48 |
239,630 |
|
7,48 |
1 |
7,48 |
55,950 |
|
0,33 |
1 |
0,33 |
0,109 |
|
0,34 |
1 |
0,34 |
0,115 |
|
1,37 |
1 |
1,37 |
1,877 |
|
∑65,99 |
10 |
65,99 |
888,409 |
Математическое ожидание:
m=
=
Дисперсия:
δ2=
=
б)
с
доверительной вероятностью р =1-
найти доверительные интервалы для
математического ожидания и дисперсии,
считая, что выборка получена из нормальной
совокупности.
Определим
из таблиц значение
,
где
;
Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:
Подставив полученные значения, найдем доверительный интервал для математического ожидания:
0,271<M<12.927
Доверительный интервал для дисперсии имеет вид:
Доверительный интервал для дисперсии равен: 23,192<D<240,79.