Вычисление характеристических многочленов, собственных значений и собственных векторов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ

Курсовая работа

по дисциплине «Численные методы»

на тему:

«Вычисление характеристических многочленов, собственных значений и собственных векторов»

Сумы, 2005

Содержание

СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ

ВВЕДЕНИЕ

МЕТОД ДАНИЛЕВСКОГО

УКАЗАНИЯ ПО ПРИМЕНЕНИЮ ПРОГРАММЫ

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

АНАЛИЗ ПРОГРАММЫ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Теоретические данные

Введение

Большое количество задач с механики, физики и техники требует нахождение собственных значений и собственных векторов матриц, т.е. таких значений λ, для которых существует нетривиальное решение однородной системы линейных алгебраических уравнений . Тут А-действительная квадратичная матрица порядка n с элементами a_>jk>, а --вектор с компонентами x_>1>, x_>2>,…, x_>n> Каждому собственному значению λ_>i> соответствует хотя бы одно нетривиальное решение. Если даже матрица А действительная, ей собственные числа (все или некоторые) и собственные векторы могут быть недействительными. Собственные числа являются корнями уравнения , где Е - единичная матрица порядка n

или

Данное уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А. Собственным векторам , которым соответствует собственному значению λ_>i>, называют ненулевое решение однородной системы уравнений . Таким образом, задача нахождения собственных чисел и собственных векторов сводится к нахождению коэффициентов характеристического уравнения, нахождению его корней и нахождению нетривиального решения системы.

Метод Данилевского

Простой и изысканный метод нахождения характеристического многочлена предложил А.М.Данилевский. Рассмотрим идею метода. Рассмотрим матрицу A

Для которой находится характеристический многочлен, при помощи подобных преобразований преобразуется к матрице

,

которая имеет нормальную форму Фробениуса, то есть матрица имеет в явном виде в последнем столбце искомые коэффициенты характеристического уравнения. Т. к. подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, а

, то и .

Поэтому для обоснования метода достаточно показать, каким образом из матрицы A строится матрица P.

Подобные преобразования матрицы A к матрице P происходят последовательно. На первом шаге матрица А преобразовывается к подобной до неё матрице А⁽¹⁾, в которой предпоследний столбец имеет необходимый вид. На втором шаге матрица А⁽¹⁾ преобразовывается на подобную к ней матрицу А⁽²⁾, в которой уже два предпоследних столбца имеют необходимый вид, и т.д.

На первом шаге матрица А умножается справа на матрицу

и слева на матрицу ей обратную

Первый шаг даёт

,

где

На втором шаге матрица А⁽¹⁾ умножается справа на матрицу

и слева на обратную к ней матрицу

Очевидно, что элементы матрицы

.

Это означает, что два предпоследних столбца матрицы А⁽²⁾ имеют необходимый вид. Продолжая этот процесс, после n-1 шагов придем к матрице

,

которая имеет форму Фробениуса и подобная к входной матрице А. При этом на каждом шаге элементы матрицы А^(j) находятся по элементам матрицы А^(j-1) также, как мы находили элементы матрицы А⁽²⁾ по элементам А⁽¹⁾. При этом предпологается, что все элементы отличные от нуля. Если на j-ом шаге окажется, что , то продолжать процесс в таком виде не будет возможно. При этом могут возникнуть два случая:

Среди элементов есть хотя бы один, отличный от нуля, например . Для продолжения процесса поменяем в А^(j) местами первый и -й строчки и одновременно 1-й и -й столбцы. Такое преобразование матрицы А^(j) будет подобным. После того, как получим матрицу , процесс можно продолжать, т.к. столбцы матрицы А^(j),приведённые к необходимому виду не будут испорчены.

Все элементы равны нулю. Тогда матрица А^(j) имеет вид , где F- квадратичная матрица порядка j, которая имеет нормальный вид Фробениуса; В—квадратная матрица порядка n-j, но , то есть характеристический многочлен матрицы F является делителем характеристического многочлена матрицы А. Для нахождения характеристического многочлена матрицы А необходимо еще найти характеристический многочлен матрицы В, для которой используем этот же метод.

Подсчитано, что количество операций умножения и деления, необходимых для получения характеристического многочлена матрицы порядка n составляет n(n-1)(2n+3)/2.

На данном этапе работы мы получили характеристический полином, корнями которого будут собственные числа матрицы А. Процедура нахождения корней полинома n-ой степени не проста. Поэтому воспользуемся пакетом MathCAD Professional для реализации данной задачи. Для поиска корней обычного полинома р(х) степени n в Mathcad включена очень удобная функция polyroots(V). Она возвращает вектор всех корней многочлена степени n, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющим длину равную n+1. Заметим, что корни полинома могут быть как вещественными, так и комплексными числами. Таким образом мы имеем собственные числа, при помощи которых мы найдём собственные векторы нашей матрицы А. Для нахождения собственных векторов воспользуемся функцией eigenvec(A,v_>i>), где А-исходная матрица, v_>i>-собственное число, для которого мы ищем собственный вектор. Данная функция возвращает собственный вектор дня v_>i>.

Указания по применению программы

Данная курсовая работа выполнена на языке программирования Pascal. В курсовую работу входит файл danil.exe. Danil.exe предназначен для нахождения характеристического полинома методом Данилевского. Входными параметрами является размерность матрицы и сама матрица, а выходным — характеристический полином.

Программная реализация

Программный код программы danil.exe

uses wincrt;

label 1;

type mas=array[1..10,1..10]of real;

var A,M,M1,S:mas;

z,max:real;

f,jj,tt,ww,v,h,b,y,i,j,w,k,e,l,q,x,u:byte;

p,o:array[1..10]of real;

t:array [1..10]of boolean;

procedure Umnogenie(b,c:mas; n:byte; var v:mas);

var i,j,k:byte;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

v[i,j]:=0;

for k:=1 to n do

v[i,j]:=b[i,k]*c[k,j]+v[i,j];

end;

end;

procedure dan(n:byte; var a:mas);

label 1,2;

var y:byte;

begin

For y:=1 to n-1 do

begin

if a[1,n]=0 then

begin

if y>1 then begin

max:=abs(a[1,n]);

w:=1;

for i:=1 to n-y do

if abs(a[i,n])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=i; end;

if max=0 then

begin

for l:=n downto n-y+1 do

begin

p[f]:=a[l,n];

t[f]:=false;

f:=f-1;

end;

t[f+1]:=true;

x:=x+1;

u:=n-y;

if y=n-1 then begin o[q]:=a[1,1]; q:=q+1; end else dan(u,a);

goto 2;

end;

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[w,j];

a[w,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,w];

a[k,w]:=z;

end;

goto 1;

end

else

begin

max:=abs(a[1,2]);

w:=1;e:=2;

for i:=1 to n-1 do

if abs(a[i,n])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=i; e:=n; end;

for j:=2 to n do

if abs(a[1,j])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=1; e:=j; end;

if abs(a[n,1])>max then begin max:=abs(a[n,1]); w:=n; e:=1; end;

if max=0 then

begin

o[q]:=a[n,n];

q:=q+1;

u:=n-1;

if n=2 then begin o[q]:=a[1,1]; q:=q+1; o[q]:=a[n,n]; q:=q+1; end else dan(u,a);

goto 2;

end;

if (w>1) and (e=n) then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[w,j];

a[w,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,w];

a[k,w]:=z;

end;

goto 1;

end;

if (w=n) and (e=1) then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[n,j];

a[n,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,n];

a[k,n]:=z;

end;

goto 1;

end;

if w=1 then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[n,j];

a[n,j]:=a[e,j];

a[e,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,n];

a[k,n]:=a[k,e];

a[k,e]:=z;

end;

goto 1;

end;

end;

end;

1:

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if i<>(j+1) then M[i,j]:=0

else M[i,j]:=1;

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if (i+1)<>j then M1[i,j]:=0

else M1[i,j]:=1;

for i:=1 to n do

if i<>n then begin M[i,n]:=a[i,n]; M1[i,1]:=-a[i+1,n]/a[1,n]; end

else begin M[i,n]:=a[i,n]; M1[i,1]:=1/a[1,n]; end;

Umnogenie(M1,A,n,S);

Umnogenie(S,M,n,A);

if y=n-1 then

begin

for l:=n downto 1 do

begin

p[f]:=a[l,n];

t[f]:=false;

f:=f-1;

end;

t[f+1]:=true;

x:=x+1;

end;

end;

2:

end;

begin

writeln('Vvedite razmernost` matrici A');

readln(ww);

f:=ww;

for i:=1 to ww do

begin

for j:=1 to ww do

begin

write('a[',i,j,']=');

Readln(A[i,j]);

end;

end;

q:=1;

x:=0;

dan(ww,a);

for i:=1 to q-1 do

writeln('Koren` har-ogo ur-iya=',o[i]:2:2);

writeln;

i:=ww+1;

if (x=1)or(x>1) then

begin

for v:=1 to x do

begin

tt:=0;

repeat

tt:=tt+1;

i:=i-1;

until t[i]<>false;

write('l^',tt,' + ');

for jj:=ww downto i do

begin

tt:=tt-1;

write(-p[jj]:2:2,'*l^',tt,' + ');

end;

ww:=i-1;

writeln;

end;

end;

end.

Получение формы Жордано: form.exe

uses wincrt;

label 1;

type mas=array[1..10,1..10]of real;

var A,M,M1,S,R,R1,A1:mas;

z,max:real;

f,jj,tt,ww,v,h,b,y,i,j,w,k,e,l,q,x,u,n1:byte;

p,o:array[1..10]of real;

t:array [1..10]of boolean;

procedure Umnogenie(b,c:mas; n:byte; var v:mas);

var i,j,k:byte;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

v[i,j]:=0;

for k:=1 to n do

v[i,j]:=b[i,k]*c[k,j]+v[i,j];

end;

end;

procedure dan(n:byte; var a:mas);

label 1,2;

var y:byte;

begin

For y:=1 to n-1 do

begin

if a[1,n]=0 then

begin

if y>1 then begin

max:=abs(a[1,n]);

w:=1;

for i:=1 to n-y do

if abs(a[i,n])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=i; end;

if max=0 then

begin

for l:=n downto n-y+1 do

begin

p[f]:=a[l,n];

t[f]:=false;

f:=f-1;

end;

t[f+1]:=true;

x:=x+1;

u:=n-y;

if y=n-1 then begin o[q]:=a[1,1]; q:=q+1; end else dan(u,a);

goto 2;

end;

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[w,j];

a[w,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,w];

a[k,w]:=z;

end;

goto 1;

end

else

begin

max:=abs(a[1,2]);

w:=1;e:=2;

for i:=1 to n-1 do

if abs(a[i,n])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=i; e:=n; end;

for j:=2 to n do

if abs(a[1,j])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=1; e:=j; end;

if abs(a[n,1])>max then begin max:=abs(a[n,1]); w:=n; e:=1; end;

if max=0 then

begin

o[q]:=a[n,n];

q:=q+1;

u:=n-1;

if n=2 then begin o[q]:=a[1,1]; q:=q+1; o[q]:=a[n,n]; q:=q+1; end else dan(u,a);

goto 2;

end;

if (w>1) and (e=n) then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[w,j];

a[w,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,w];

a[k,w]:=z;

end;

goto 1;

end;

if (w=n) and (e=1) then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[n,j];

a[n,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,n];

a[k,n]:=z;

end;

goto 1;

end;

if w=1 then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[n,j];

a[n,j]:=a[e,j];

a[e,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,n];

a[k,n]:=a[k,e];

a[k,e]:=z;

end;

goto 1;

end;

end;

end;

1:

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if i<>(j+1) then M[i,j]:=0

else M[i,j]:=1;

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if (i+1)<>j then M1[i,j]:=0

else M1[i,j]:=1;

for i:=1 to n do

if i<>n then begin M[i,n]:=a[i,n]; M1[i,1]:=-a[i+1,n]/a[1,n]; end

else begin M[i,n]:=a[i,n]; M1[i,1]:=1/a[1,n]; end;

Umnogenie(M1,A,n,S);

Umnogenie(S,M,n,A);

if y=n-1 then

begin

for l:=n downto 1 do

begin

p[f]:=a[l,n];

t[f]:=false;

f:=f-1;

end;

t[f+1]:=true;

x:=x+1;

end;

end;

2:

end;

procedure ObrMatr(A:mas;Var AO:mas; n:byte);

const e=0.00001;

var i,j:integer;

a0:mas;

procedure MultString(var A,AO:mas;i1:integer;r:real);

var j:integer;

begin

for j:=1 to n do

begin

A[i1,j]:=A[i1,j]*r;

AO[i1,j]:=AO[i1,j]*r;

end;

end;

procedure AddStrings(var A,AO:mas;i1,i2:integer;r:real);

{Процедура прибавляет к i1 строке матрицы a i2-ю умноженную на r}

var j:integer;

begin

for j:=1 to n do

begin

A[i1,j]:=A[i1,j]+r*A[i2,j];

AO[i1,j]:=AO[i1,j]+r*AO[i2,j];

end;

end;

function Sign(r:real):shortint;

begin

if (r>=0) then sign:=1

else sign:=-1;

end;

begin {начало основной процедуры}

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

a0[i,j]:=A[i,j];

for i:=1 to n do

begin {К i-той строке прибавляем (или вычитаем)

j-тую строку взятую со знаком i-того

элемента j-той строки. Таким образом,

на месте элемента a[i,i] возникает сумма

модулей элементов i-того столбца (ниже i-той строки)

взятая со знаком бывшего элемента a[i,i],

равенство нулю которой говорит о несуществовании

обратной матрицы }

for j:=i+1 to n do

AddStrings(A,AO,i,j,sign(A[i,i])*sign(A[j,i])); { Прямой ход }

if (abs(A[i,i])>e) then

begin

MultString(a,AO,i,1/A[i,i]);

for j:=i+1 to n do

AddStrings(a,AO,j,i,-A[j,i]);

end

else begin writeln('Обратной матрицы не существует.');

halt;

end

end;{Обратный ход:}

if (A[n,n]>e) then begin

for i:=n downto 1 do

for j:=1 to i-1 do

begin

AddStrings(A,AO,j,i,-A[j,i]);

end; end

else writeln('Обратной матрицы не существует.');

end;

procedure EdMatr(Var E:mas; n:byte);

var i,j:byte;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if i<>j then E[i,j]:=0 else E[i,i]:=1;

end;

{procedure UmnogMatr(A,F:mas; Var R:mas; n:byte);

Var s:real;

l,i,j:byte;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

s:=0;

for l:=1 to n do

s:=s+A[i,l]*F[l,j];

R[i,j]:=s;

end;

end; }

begin

writeln('Vvedite razmernost` matrici A');

readln(ww);

f:=ww;

n1:=ww;

for i:=1 to ww do

begin

for j:=1 to ww do

begin

write('a[',i,j,']=');

Readln(A[i,j]);

A1[i,j]:=A[i,j];

end;

end;

q:=1;

x:=0;

dan(ww,a);

for i:=1 to q-1 do

writeln('Koren` har-ogo ur-iya=',o[i]:2:2);

writeln;

i:=ww+1;

if (x=1)or(x>1) then

begin

for v:=1 to x do

begin

tt:=0;

repeat

tt:=tt+1;

i:=i-1;

until t[i]<>false;

write('l^',tt,' + ');

for jj:=ww downto i do

begin

tt:=tt-1;

write(-p[jj]:2:2,'*l^',tt,' + ');

end;

ww:=i-1;

writeln;

end;

end;

for i:=1 to n1 do

begin

for j:=1 to n1 do

read(R[i,j]);

readln;

end;

EdMatr(R1,n1);

ObrMatr(R,R1,n1);

Umnogenie(R1,A1,n1,A);

Umnogenie(A,R,n1,M1);

for i:=1 to n1 do

begin

for j:=1 to n1 do

write(' ',M1[i,j]:2:3,' ');

writeln;

end;

end.

Анализ программы

Протестируем работу программы на примере. Пусть имеем матрицу А

Характеристический полином имеет вид:

Собственные числа 20.713, 4.545, 2.556, -5.814

Собственные векторы , ,,

Список используемой литературы

Я.М.Григоренко, Н.Д.Панкратова «Обчислювальні методи» 1995р.

В.Д.Гетмнцев «Лінійна алгебра і лінійне програмування» 2001р.

Д.Мак-Кракен, У.Дорн «Программирование на ФОРТРАНЕ» 1997г.

http://alglib.manual.ru/eigen/danilevsky.php

http://doors.infor.ru/allsrs/alg/index.html