Вычисление пределов
1
Санкт-Петербургское государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования
Согласовано:
Предметной (цикловой) комиссией Председатель
____________/_____________
(Подпись) (ФИО)
«_____» __________200__г.
Утверждено:
Заместителем директора по УР
__________/______________/
(Подпись) (ФИО)
«____»________200___г.
Указания по проведению
практической работы № ___1____
Задачи на вычисление пределов
>(Название работы)>
По дисциплине «Математика»
Специальность __080110, 080112, 080501__
Разработал преподаватель
_____________(___................. __)
(Подпись) (ФИО)
«_______» _________________200___г.
Цель работы:
1. Формировать умения и навыки вычисления пределов
Формировать умения и навыки самостоятельного умственного труда
Прививать умения и навыки работы со справочным материалом
4. Определить уровень остаточных знаний студентов по данной теме
Перечень справочной литературы :
Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике», М: Высшая школа, 2004
Письменный Д. «Конспект лекций по высшей математике», ч.1., Москва, Айрис-Пресс, 2004
Шипачев В.С. «Задачник по высшей математике», М: Высшая школа, 2003
Выгодский М.Я. «Справочник по высшей математике», Росткнига, 2001
Краткие теоретические сведения:
Предел последовательности
Определение. Число
называется пределом последовательности
,
если для любого положительно
го числа найдется такое натуральное
число
,
что при всех
>
выполняется неравенство
Пишут:
Графически это выглядит так:
>n>>
>-
Т.е. элемент
находится в
-
окрестности точки а. При этом
последовательности
называется сходящейся, в противном
случае – расходящейся.
Основные свойства сходящихся последовательностей
1)Сходящаяся последовательность ограничена.
2)Пусть
,
,
тогда а)
б)
в)
3)Если
и для всех
выполняется неравенства
,
то
.
4) Если
и последовательность {у>n>}
- ограниченная, то
|
№1. Найти пределы: |
|
|
|
|
Бесконечно большие и бесконечно малые функции
Определение. Функция
называется бесконечно малой при
,
если
Например: 1)
при
б. м. ф. т.к.
2)
при
б. м. ф. т. к
Определение. Функция
называется бесконечно большой при
,
если
,
или
Например,
есть б. б. Ф при
;
если б. б. ф. при
действительно
и
Теорема
(о связи между функций, ее
приделом и бесконечно малой функцией).
Если функция
имеет придел, равный
,
то ее можно представить как сумму числа
и бесконечно малой функции
,
т.е. если
Теорема (обратная).
Если функцию
можно представить в виде суммы числа
А и б.м.ф.
(x),
то число А является пределом функции,
т.е если
,
то
Например, требуется
вычислить
.
Представим числитель и знаменатель в
виде суммы числа и б.м.ф.
Функции
при
есть б.м.ф. таким образом
Основные теоремы о пределах
Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:
Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.
Теорема 2.
Функция может иметь только один предел
при
.
Теорема 3. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
.
Следствие 1.
Постоянный множитель можно выносить
за знак предела:
Следствие 2.
Предел степени с натуральным показателем
равен той же степени предела:
.
Теорема 4. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю.
Примеры:
1)
=
=
=
=
=
=
=
2)
=
=
3)
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
или
Примеры:
Вычислить:
1)
.
2)
.
3)
4)
=
=
=
№2. Найти пределы:
№3. Найти пределы:
|
|
|
|
|
|
Порядок проведения работы:
Используя теоретические сведения выполнить предложенное преподавателем задание
Соответствующим образом оформить работу
|
Лист 1. Практическая работа по теме «Вычисление пределов» Выполнил:__________ (ФИО) группа:_____________ Проверил:__________ Оценка:____________ |
Лист 2. № примера Решение: Ответ: |