Высшая математика в экономике
План
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задача 7
Задание 8
Литература
Задание 1
Мебельной фабрике для изготовления комплектов корпусной мебели необходимо изготовить их составные части - книжный шкаф, шифоньер, тумба для аппаратуры. Эти данные представлены в таблице:
|
Наименование составных частей |
Виды комплектов корпусной мебели |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
Книжный шкаф |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Шифоньер |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Пенал |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
Тумба |
0 |
1 |
0 |
1 |
В свою очередь, для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в кв. м), ДСП (в кв. м), ДВП (в кв. м), потребности в котором отражены в следующей таблице:
|
Вид сырья |
Составные элементы |
|||
|
Кн. шкаф |
Шифоньер |
Пенал |
Тумба |
|
|
Стекло |
0,9 |
0 |
0,2 |
1,2 |
|
ДСП |
6 |
6,5 |
6 |
2,5 |
|
ДВП |
2,9 |
1,7 |
1,4 |
0,6 |
Требуется:
1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению стенок первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x>1>, x>2,> x>3 >и x>4 >штук;
2) провести подсчеты для значений x>1 >= 50, x>2> = 30, x>3 >= 120 и x>4>=80.
Решение: составим условия для определения числа составных частей в зависимости от числа и вида комплектов мебели. Пусть n>1>, n>2>, n>3> и n>4> - число шкафов, шифоньеров, пеналов и тумб, соответственно.
Тогда условия будут выглядеть следующим образом:
n>1> = x>1> + x>2>
n>2> = x>1> + x>2> + x>4>
n>3> = x>1> + x>2> + x>3>
n>4> = x>1> + x>2> + x>3> + x>4>
Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y>1>, y>2> и y>3> - потребности в стекле, ДВП и ДСП, соответственно:
y>1> = 0,9n>1> + 0,2n>3> + 1,2n>4>
y>2> = 6n>1> + 6,5n>2> + 6n>3> + 2,5n>4>
y>3> = 2,9n>1> + 1,7n>2> + 1,4n>3> + 0,6n>4>
Теперь подставим вместо n>i> - полученные ранее равенства.
y>1> = 0,9· (x>1> + x>2>) + 0,2· (x>1> + x>2> + x>3>) + 1,2· (x>1> + x>2> + x>3> + x>4>)
y>2> = 6· (x>1> + x>2>) + 6,5· (x>1> + x>2> + x>4>) + 6· (x>1> + x>2> + x>3>) + 2,5· (x>1> + x>2> + x>3> + x>4>)
y>3> = 2,9· (x>1> + x>2>) + 1,7· (x>1> + x>2> + x>4>) + 1,4· (x>1> + x>2> + x>3>) + 0,6· (x>1> + x>2> + x>3> + x>4>)
Приведем подобные
y>1> = 2,3x>1> + 2,3x>2> + 1,4x>3> + 1,2x>4, >y>2> = 21x>1> + 21x>2> + 8,5x>3> + 9x>4>
y>3> = 6,6x>1> + 6,6x>2> + 2x>3> + 2,3x>4>
Проведем подсчеты для значений
x>1 >= 50, x>2> = 30, x>3 >= 120 и x>4 >= 80
y>1> = 2,3 * 50 + 2,3 * 30 + 1,4 * 120 + 1,2 * 80 = 448 кв. м.
y>2> = 21 * 50 + 21 * 30 + 8,5 * 120 + 9 * 80 = 3420 кв. м.
y>3> = 6,6 * 50 + 6,6 * 30 + 2 * 120 + 2,3 * 80 = 952 кв. м.
Задание 2
Пусть a>ij>> - >количество продукции j, произведенной предприятием i, а b>i>> - >стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения a>ij> и b>i>> >заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).
,
Решение:
Составим систему уравнений:
Матричное уравнение выглядит следующим образом:
A · X = B
Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1
A-1 · A · X = A-1 · B;
E · X = A-1 · B;
X = A-1 · B
Найдем обратную матрицу A-1
Δ = 4 * 12 * 4 + 12 * 7 * 13 + 14 * 7 * 9 - 9 * 12 * 7 - 12 * 14 * 4 - 4 * 7 * 13 = 374
;
X
=
·
=
=
Решим систему методом Крамера
Δ = 374
Δ>1>
=
=
97 * 12 * 4 + 129 * 7 * 13 + 14 * 7 * 109 - 109 * 12 * 7 - 129 * 14 *
4 - 97 * 7 * 13 = 1870
Δ>2>
=
=
4 * 129 * 4 + 12 * 7 * 109 + 97 * 7 * 9 - 9 * 129 * 7 - 12 * 97 * 4 -
4 * 7 * 109 = 1496
Δ>3>
=
=
4 * 12 * 109 + 12 * 97 * 13 + 14 * 129 * 9 - 9 * 12 * 97 - 12 * 14 *
109 - 4 * 129 * 13 = 1122
x>1> = Δ>1/>Δ = 1870/374 = 5, x>2> = Δ>2/>Δ = 1496/374 = 4
x>3> = Δ>3/>Δ = 1122/374 = 3
Решим систему методом Гаусса
=>
=>
=>
=>
=>
Задание 3
Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции:
Решение:
Задание 4
Задана функция
спроса
,
где p>1>, p>2>
- цены на первый и второй товары
соответственно.
Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров.
В процессе решения отметить, какими являются данные товары - взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.
Решение:
Эластичность спроса по цене равна первой производной от функции спроса:
эластичность отрицательная, следовательно, первый товар - исследуемый.
эластичность отрицательная.
Товары являются товарами дополнителями, т.к рост цен на второй товар, как и рост цен на первый товар приводит к снижению спроса.
Задание 5
В таблице приведены данные о товарообороте магазина за прошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощью метода наименьших квадратов. Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую. Проанализировав чертеж, сделайте выводы.
|
Месяц |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
Товарооборот, (тыс. р) |
22 |
4,4 |
37 |
57,4 |
55,4 |
72 |
91,6 |
78,4 |
58 |
59 |
42 |
37,6 |
Решение:
Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.
Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов):
По исходным данным рассчитываем х, у, ух, х2, у2.
|
t |
y |
x |
yx |
x2 |
y2 |
|
|
1 |
22,0 |
1 |
22,0 |
1 |
484,00 |
36,688 |
|
2 |
4,4 |
2 |
8,8 |
4 |
19,36 |
39,332 |
|
3 |
37,0 |
3 |
111,0 |
9 |
1369,00 |
41,976 |
|
4 |
57,4 |
4 |
229,6 |
16 |
3294,76 |
44,62 |
|
5 |
55,4 |
5 |
277,0 |
25 |
3069,16 |
47,264 |
|
6 |
72,0 |
6 |
432,0 |
36 |
5184,00 |
49,908 |
|
7 |
91,6 |
7 |
641,2 |
49 |
8390,56 |
52,552 |
|
8 |
78,4 |
8 |
627,2 |
64 |
6146,56 |
55, 196 |
|
9 |
58,0 |
9 |
522,0 |
81 |
3364,00 |
57,84 |
|
10 |
59,0 |
10 |
590,0 |
100 |
3481,00 |
60,484 |
|
11 |
42,0 |
11 |
462,0 |
121 |
1764,00 |
63,128 |
|
12 |
37,6 |
12 |
451,2 |
144 |
1413,76 |
65,772 |
|
Итого |
614,8 |
78 |
4374 |
650 |
37980,16 |
614,76 |
;
;
;
;
Уравнение
регрессии:
=
34,06 + 2,642 · х
Рассчитаем
по данному уравнению значения для
и запишем их в дополнительный столбец
исходных данных. Найдем прогноз на
полгода вперед:
=
34,06 + 2,642 * 18 = 81,636 тыс. руб.
Найдем прогноз на год вперед:
=
34,06 + 2,642 * 24 = 97,5 тыс. руб.
Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.
Задание 6
Исследовать на экстремум следующую функцию:
;
Решение:
Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов (там где производные равны нулю).
=
2x + y - 4;
=
4y + x - 2;
;
;
;
;
Найдем вторые производные и их значения в точке (2; 0)
=
2 = А,
=
1 = B
=
4 = C, Δ = AC
- B2 = 2 * 4 - 1 = 7
Т.е. в точке (2; 0) имеется экстремум.
Т.к. А > 0, то точка (2; 0) минимум функции.
Задача 7
Пусть функция полезности задана как
где x и y - количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 11, В = 17.
Решение:
Полезность максимальна при равенстве первых производных:
=
;
=
;
=
;
=
Ограничение стоимости задается неравенством 11x + 17y ≤ 140
Составим систему.
;
;
;
Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 4,46 ед. А и 5,35 ед.в.
Задание 8
Заданы функции
спроса и предложения в зависимости от
количества товара Q:
и
.
Под функциями спроса и предложения
будем понимать функциональную зависимость
цены от количества товара на рынке.
Определить излишки потребителя и излишки
производителя при равновесном состоянии
спроса и предложения.
и
,
Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:
D (Q)
= S (Q);
=
;
;
-
t2
- 10t + 200 = 0
t>1> = - 34,685 и t>2> = 12,685, t>1> - не удовлетворяет условию
=12,685;
Q = 160,9 ед.
При этом цена составит: Р = 10 * 12,685 = 126,85 ден. ед.
Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя:
S>потр> =
-
126,85 · 160,9 =
-
20410,165 =
= 200 * 160,9 - 5/22 * 160,9 - 20410,165 = 11733,27 ден. ед.
Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя:
S>произв>
= 126,85 · 160,9 -
= 20410,165 -
=
= 20410,165 - 5 * 12,6853 = 10204,5 ден. ед.
Литература
Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
И.А. Зайцев. Высшая математика. -М.: Высшая школа, 1998.
Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Под ред. Н.Ш. Кремера. - ВЗФЭИ, 2006.