Великая теорема Ферма – два коротких доказательства
Великая теорема Ферма – два коротких доказательства
Бобров А.В.
123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д.10, корп. 1, кв. 15
Контактный телефон – 193-42-34
Последняя теорема Ферма, иногда называемая Великой, формулируется следующим образом:
В
равенстве
числа
и
не могут быть одновременно целыми
положительными, если
.
Предположим, такие числа существуют. Тогда должны выполняться следующие условия:
Равенство
справедливо для взаимно простых, не
имеющих общих целых множителей, кроме
1, чисел
и
,
т.е. два числа – всегда нечетные.
Существуют
числа
и
,
или
,
то есть для произвольно выбранных
натуральных
существует бесконечное множество
рациональных, действительных или
комплексных чисел
и
,
удовлетворяющих приведенному равенству,
если в этом множестве выполнимы
арифметические действия. Для целых
числа
и
также будут целыми.
Вариант№1
Равенство
(1)
путем
последовательного деления на числа
и
всегда преобразуется в два многочлена
(уравнения)
-ой
степени относительно
:
(2)
(3)
Равенства
(2) и (3) получены путем тождественных
преобразований равенства (1), т.е. должны
выполняться при одних и тех же значениях
целых положительных чисел
и
.
По определению, необходимым и достаточным
условием тождественности двух многочленов
над некоторым числовым полем (в нашем
случае – над множеством целых чисел)
является равенство коэффициентов
членов, содержащих одни и те же аргументы
в одинаковых степенях, то есть должно
выполняться:
,
,
…
,
(4)
Из (1) и
(4) следует
,
то есть число
,
как общий арифметический корень уравнений
(1), (2) и (3) не может быть рациональным при
целых
,
,
и
.
Из равенства свободных членов следует:
,
или
,
или
(5)
Вычитая из правой части равенства (5) левую, получим:
(6)
или,
если
,
сократив на
,
получим:
(7)
Из
равенства (7) следует, что для
числа
и
не могут быть одновременно положительными.
Представленные преобразования позволяют сделать следующие выводы:
для
тождественных над множеством рациональных
чисел многочленов (2) и (3) при
число
,
как общий арифметический корень
уравнений (1), (2) и (3), не может быть
рациональным при целых положительных
,
,
и
;
многочлены
(2) и (3) для
и натуральных
и
не тождественны над множеством
рациональных чисел, если делители
и
равенства (1) являются иррациональными,
откуда следует иррациональность числа
;
числа
,
и
в равенстве (1) для
не могут быть одновременно рациональными.
Для
противоречие исчезает, коэффициенты
при
равны 1, а равенство свободных членов
после подстановки значений
и
обращается в тождество:
. (8)
Если
правую и левую части равенства (5)
обозначить соответственно через
и
,
где
и
- целые положительные числа, то многочлены
(2) и (3) преобразуются в квадратные
уравнения относительно
:
(9),
где
неизвестное
обозначено общепринятым образом через
,
то есть
.
Из условий эквивалентности или анализа причин неэквивалентности этих уравнений следуют те же выводы.
Это доказательство опубликовано в 1993 г. в журнале РАН «Вопросы истории естествознания и техники», №3.
Со стороны оппонентов не поступило никаких возражений по существу, кроме утверждения, что в используемых для доказательства уравнениях известные и неизвестные величины зависят друг от друга – как будто может быть иначе. Любое аналитическое выражение, в котором присутствуют известные и неизвестные величины, есть выражение зависимости между ними, поэтому я не могу согласиться с подобным опровержением.
Вариант№2
Пусть
в равенстве
числа
и
- взаимно простые,
- нечетное. Для любых положительных
чисел выполнима операция нахождения
арифметического значения квадратного
корня, то есть можно записать:
(1)
где
,
- действительные положительные множители
числа
.
Из (1) следует:
,
(2)
В
соответствии со свойствами показательной
функции, для действительных положительных
чисел
,
и целого
существуют единственные значения
показателей степени
,
удовлетворяющие равенствам:
,
(3)
где
,
.
Из (3)
следует
,
,
или после сокращения на числа
,
получим:
(4)
Из (1), (2) и (3) следует:
, (5)
или, с учетом равенств (3) и (4):
(6)
Вынесем
за скобки общий множитель
:
(7)
Из (5)
и (7) следует, что числа
,
и
содержат общий множитель
,
что противоречит условию их взаимной
простоты, если
.
Из
следует
,
,
то есть
,
,
и равенства (5) и (7) принимают вид:
(8)
Из (8)
следует, что при нечетном
числа
и
также целые, причем всегда имеет место
тождество:
(9)
что для
одновременно целых
,
и
выполнимо только при
,
или
,
,
что и требовалось доказать.
Доказательство
можно вести и несколько иным способом.
Все числа равенства
,
где
,
и
- произвольно выбранные натуральные
числа,
- действительное положительное число,
через преобразования (1)…(4) могут быть
выражены в виде слагаемых тождества
(5).
Вынесем
за скобки множитель
и поделим на него все слагаемые тождества
(5):
(10)
где
.
В
соответствии со свойствами показательной
функции, произвольно выбранным натуральным
числам
,
и
,
например из равенства (5), соответствует
единственное значение
,
удовлетворяющее условию:
(11)
тогда
,
или
(12)
где
,
и
- целые числа.
Из (10), (11) и (12) следует:
(13)
то есть
числа
и
могут быть одновременно целыми только
при
,
или
,
.
При
числа
и
есть последовательные целые числа. Еще
Эвклидом доказано, что всякое нечетное
число может быть выражено, как разность
квадратов двух последовательных целых
чисел, которые и могут быть найдены с
помощью тождества (10) для любых целых
и нечетных
.
Отметим,
что равенство (12) получено путем деления
равенства (5) на множитель
,
при этом число
в этих равенствах одно и то же, откуда
следует
,
,
,
и тождество (10) принимает вид тождества
(8).
Отметим
также, что тождества (8) и (10) справедливы
не только для целых значений
.
Подставляя вместо
любую рациональную дробь и полагая
,
можно найти все Пифагоровы числа.
Приведенные преобразования равенства Ферма над множеством натуральных чисел показывают, что с помощью конечного числа арифметических действий оно всегда приводится к тождеству (13), что и доказывает теорему.
Я счел необходимым в дополнение к размещенному на сайте http://www./ доказательству предложить и эти два варианта, один из которых в сравнении с ранее размещенным является более развернутым.
А.В.Бобров
Великая теорема Ферма
Бобров Александр Владимирович, 1936 г. р., образование высшее, закончил в 1960 году МВТУ им. Баумана по специальности инженер-механик. В настоящее время – пенсионер.
Домашний адрес: 123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д. 10, корп.1, кв. 15.
Телефон (495) 193-42-34, моб. тел. 8-903-560-07-15
The evidence of the Fermat theorem
Alexander V. Bobrov
The evidence of the Fermat great theorem by elementary method is presented
1