Велика теорема Ферма

РЕФЕРАТ

"Велика теорема Ферма"

Зміст

Біографія Ферма

Історія Великої теореми Ферма

Доказ леми 1 (Жермен)

Доказ леми 2 (допоміжною)

Доведення теореми Ферма для показника 4

Примітки до доказів

Біографія Ферма

П'єр Ферма жив з 1601 по 1665 рік. Був він сином одного з численних торговців у Франції, здобув юридичну освіту і працював спочатку адвокатом, а згодом став навіть радником парламенту. Службові його обов'язки, далекі за змістом від математичних наук, залишали йому досить дозвілля, яке Ферма і присвячував заняттям математичними дослідженнями. Завдяки своїм природним здібностям і наполегливості, необхідній при роботі над питаннями математики, Ферма добився крупних результатів в самих різних її областях. Але не тільки математикою був він сильний: в області фізики, наприклад, їм сформульований основний принцип геометричної оптики, відомий під назвою «Принципу Ферма».

Ферма своїми роботами сприяв розвитку нових галузей в математиці: математичного аналізу, аналітичної геометрії (одночасно з Декартом), теорії вірогідності.

Головним внеском Ферма в алгебру з'явилася розвинена ним теорія з'єднань або, як її ще називають, комбінаторика. Окремі завдання теорії з'єднань були вирішені вже в давнину греками і індійцями, але наукова постановка цих питань виникла лише в XVII столітті в роботах Ферма і його сучасника, знаменитого французького філософа, математика і фізика Блеза Паскаля. Виходячи з основ комбінаторики, ці два учених і поклали початок новій математичній науці, званою теорією вірогідності, що отримала в XVIII столітті значну теоретичну базу, при цьому вона почала набувати всього більшого поширення і використовуватися в різних областях науки і практичної діяльності. Перш за все, вона була застосовна до питань страхування, а надалі область її застосування все розширювалася і розширювалася.

Багато уваги Ферма також приділяв і питанню про магічні квадрати. Ці квадрати спочатку сталі відомі індійцям і арабам, і вже тільки в епоху середніх століть вони з'явилися в Західній Європі. Різні математики зацікавилися дослідженнями їх властивостей, це сприяло розвитку деяких математичних теорій. Ще Мезіріак знайшов способи складання магічних квадратів з непарним числом кліток, а вже Ферма розповсюдив ідею складання магічних квадратів на простір, тобто поставило питання про складання кубів, що володіють властивостями, аналогічними властивостям магічних квадратів.

Хоча Ферма вніс великий внесок до розвитку теорії чисел алгебри, докази його доводів майже ні в одному випадку знайдені не були (доведення Великої теореми Ферма для n=4 – виключення, оскільки в рукописах воно було). Деякі виводи, зроблені Ферма, були і зовсім помилковими, але теореми, повні докази яких, як затверджував Ферма, у нього були, всі згодом були доведені (основний внесок на доказ яких вніс Ейлер). Але було і одне виключення – приємне виключення – це Велика теорема Ферма:

Історія Великої теореми Ферма

Великою популярністю у всьому світі користується «Велика теорема Ферма» (вона ж – «Велика» або «Остання»).

Великою теоремою Ферма називається той висновок, який було зроблено ним при читанні виданої Мезіріаком «Арифметики» Діофанту. На полях цієї книги, проти того місця, де йде мова про вирішення рівняння виду x2 + y2 = z2, Ферма написав: «Тим часом, абсолютно неможливо розкласти повний куб на суму кубів, четвертую ступінь – на суму четвертих ступенів, взагалі який-небудь ступінь – на суму ступенів з тим же показником. Я знайшов справді дивовижний доказ цього припущення, але тут дуже мало місце, щоб його помістити». Це положення Ферма тепер формулюється як теорема в наступному вигляді: «Рівняння xn + yn = zn не може бути вирішене в раціональних числах відносно x, у і z при цілих значеннях показника n, великих 2» (загальновідомо, що при n=2 такі числа існують, наприклад, 3, 4, 5 – числа, які, якщо є довжинами сторін, утворюють знаменитий трикутник Піфагора). Справедливість цієї теореми підтверджується для багатьох окремих випадків (при цьому ще не знайдено жодного спростування), проте до цих пір вона не доведена в загальному вигляді, хоча їй цікавилися і її намагалися довести багато крупних математиків (у «Історії теорії чисел» Діксону прореферировано більше трьохсот робіт на цю тему). У 1907 році в місті Дармштадте в Германії помер математик Вольфськель, який заповідав 100000 мазкий тому, хто дасть повне доведення теореми. Негайно сотні і тисячі людей, рухомих одним лише прагненням до наживи, почали бомбардувати наукові суспільства і журнали своїми рукописами, нібито що містять доведення теореми Ферма. Тільки у Геттингенське математичне суспільство за перші три роки після оголошення заповіту Вольфськеля прийшла більше тисячі «рішень». Але премія ця до цих пір нікому не видана за відсутністю справжнього доведення Великої теореми Ферма.

Елементарного доведення Великої теореми Ферма немає ні для одного показника n  4.

Випадок, коли n = 3, був доведений Ейлером ще в 1768 році. І той зажадав ще багато років, щоб теорія, якою необгрунтовано користувався Ейлер при своєму доказі, була доведена Гаусом.

Доведення теореми Ферма для випадку, коли n = 5, запропонували в 1825 році майже одночасно Лежен Дирихле і Лежандр. Свій доказ Дирихле опублікував в 1828 році, але воно було дуже складним, і в 1912 році його спростив Племель.

Для наступного простого показника n = 7 теорема Ферма була доведена лише в 1839 році Ламі. Доказ Ламі був майже відразу ж вдосконалений Лебегом.

У 1847 році Ламі оголосив, що йому вдалося знайти доведення теореми Ферма для всіх простих показників n  3. Метод Ламі був вельми далеким розвитком ідей Ейлера і грунтувався на арифметичних властивостях чисел. Проте відразу ж Ліувіль виявив в міркуваннях Ламі серйозний пропуск, чим спростував цей доказ. Ламі був вимушений визнати свою помилку.

На ЕОМ, користуючись ідеями Куммера і Вандівера довели справедливість теореми Ферма для всіх простих показників n < 100000.

Доказ леми 1 (Жермен)

Якщо твір два взаємно простих натуральних чисел є n-ой ступенем, то кожен із співмножників також буде n-ой ступенем:

ab = cn; НОД (а; b)= 1; а, b  N

Довести: а = xn; b = yn

Доказ: Якщо розкласти cn на прості множники, то: cn = d1 *. * d1 * d2 *. * d2 *. * dm *. * dm, де кожного множника по n. Якщо ж розкласти на прості множники числа а і b, то якісь з чисел d1. dm підуть до а, якісь – до b, причому однакові піти і туди, і туди не можуть внаслідок того, що НОД (а; b)= 1, тобто а є твір n-х ступенів якихось простих чисел, і b також – твір n-х ступенів якихось чисел, отже: а = xn^; b = yn^.

Доказ леми 2 (допоміжною)

x2 + y2 = z2 (1)

Якщо (x; у; z) – рішення, то (у; x; z) також буде рішенням, тому що x і у симетричні в даному рівнянні. Припустимо, що z = 2k, тоді z2 = 4k, якщо ж z = 2k – 1, то z2 = (2k – 1)² = 4k2 – 4k + 1 = 4 (k2 – до)+ 1, отже, хоч би одне з чисел x і у парно, оскільки якби обидва вони були непарними, то x2 + y2 = (2k – 1) 2 + (2d – 1) 2 = 4k2 – 4k + 1 + 4d2 – 4d + 1 = 4 (k2 + d2 – до – d)+ 2, чого бути не може, оскільки x2 ⁺ y2 ⁼ z2. Крім того (x; у; z) також є вирішенням рівняння, оскільки x2 = (-х) 2; ^y2 = (-у) 2; ^z2 = (-z) 2.

З цих зауважень безпосередньо виходить, що нам досить знайти примітивні вирішення (x; у; z) рівняння (1), що лише складаються з позитивних чисел, тобто виключимо всі наступні рішення: (x; у; z), окрім (x; у; z), (у, x, z), для яких x = 2a.

Лема 2: «Будь-яке примітивне вирішення (x, у, z) рівняння (1), що складається з позитивних чисел, для якого x = 2a, виражається формулами:

x = 2mn; у = m2 – n2; z = m2 + n2

де n < m, НОД (m; n)= 1, m і n – числа різної парності».

Доказ: Хай (x; у; z) – довільне примітивне вирішення рівняння (1), що складається з позитивних чисел, де x = 2a. З рівняння 4a2 + y2 = z2 слідує (z – у) (z + у) = 4k2. Парність чисел z – у і z + у співпадають і твір їх рівне 4k2, отже, z – у і z + у парні. Хай z + у = 2b; z – у = 2c, де b і з позитивні, оскільки у < z, виходячи з рівняння (1). Кожен загальний дільник чисел b і з є також загальним дільником z = b + з і у = b – с.

НОД (у; z)= 1, оскільки (x; у; z) – примітивне вирішення рівняння (1), отже, НОД (b; з) = 1. З другого боку 4a2 = x2 = z2 – y2 = (z – у) (z + у) = 4bc, тобто a2 ⁼ bc. Отже, згідно лемі 1, застосованою до випадку, коли n = 2, існують такі взаємно прості позитивні числа різної парності m і n, що b = m2; з = n2. Тоді a2 ⁼ (mn) 2, тобто а = mn і

x = 2a = 2mn; у = b – з = m2 – n2; z = b + з = m2 + n2.

Для завершення доказу залишається лише додати, що n < m, оскільки x, у > 0.

Доведення теореми Ферма для показника 4

x4 + y4 = z4

Доведемо ще більш загальний випадок:

«Рівняння

x4 + y4 = z2 (2)

не має рішень в цілих відмінних від нуля числах».

Доказ: Припустимо, що існує вирішення рівняння (2) в цілих відмінних від нуля числах. Ясно, що, не втрачаючи спільності, ми можемо вважати, що воно складається з попарно взаємно простих позитивних чисел (якщо (x; у; z) є вирішенням рівняння (2), то, відразу ж видно, що (x; у; z) також є його рішенням). Оскільки в будь-якій безлічі натуральних чисел існує найменше з них, то серед всіх таких рішень знайдеться рішення (x; у; z) з найменшим z. Розглянемо саме це рішення:

Так само, як і при доказі леми 2 негайно доводиться, що одне з чисел x і у повинно бути парним. Припустимо, що парне число x. Це припущення також спільності не обмежує.

Оскільки числа x2, y2 і z позитивні і взаємно прості, а число x2 парно, то, згідно лемі 2, існують такі взаємно прості числа m і n < m різної парності, що x2 = 2mn; y2 = m2 – n2; z2 = m2 + n2. Якщо m = 2k і n = 2f +1, то у = 4 (k2 – f2 – f – 1)+ 3, що неможливе, бо, як вище було вже відмічено, будь-який квадрат повинен мати вид 4k + 1, або 4k. Отже, m – непарно, а n – парно.

Хай n = 2q. Тоді x2 = 4mq і тому mq = (x/2)². Оскільки НОД (m; q)= 1, а x парно, то, виходячи з леми 1, m = z12; q = t2, де z1 і t – деякі цілі взаємно прості позитивні числа. Зокрема, рівняння y2 = m2 – n2 те ж саме, що і y2 = (z12)² – (2t2)², тобто (2t2⁾2 + y2 = (z12⁾2.

Оскільки НОД (t; z1)= 1, то до цієї нерівності знову застосовна лема 2. Отже, існують такі позитивні взаємно прості числа а і b < а різній парності, що 2t2 = 2ab, тобто t2 = ab; y2 = a2 – b2; z12 = a2 + b2. Оскільки НОД (а; b)= 1, з рівності t2 = ab по лемі 1 витікає, що істоті цілі числа x1 і y1, для яких а = x12; b = y12. Тому z12 = a2 + b2 те ж, що і x14 + y14 = z12. Це означає, що числа x1, y1, z1 складають примітивне вирішення рівняння (2), що складається з позитивних чисел. Тому через вибір рішення (x; у; z), повинно мати місце нерівність z1 і z, а тому і нерівність z12 і z, т.е., враховуючи, що z = m2 + n2, m і m2 + n2, чого бути не може, оскільки m, n > 0.

Таким чином, припущення про існування у записаного вище рівняння (2) цілочисельних рішень приводить до суперечності. Отже, це рівняння не має рішень в цілих відмінних від нуля числах.

Примітки до доказів

Доказ леми 1 тут дане не те, яке було відоме ще з середньовіччя, а то, що придумав я сам, засноване більшою мірою на логічних виводах. Теорема Ферма для показника 4 (і леми, що все додаються для її доказу) – це єдина теорема, доведена тут, оскільки доказ її вважається елементарним, тобто заснованим на простих перетвореннях алгебри чисел, відомим ще індусам. Доказ же цей був тут необхідний, оскільки ще навіть у Ферма воно було, тільки в декілька іншій формі.

У Франції не так давно з'явилася книга, що є, ніби як, повним доведенням Великої теореми Ферма, але в ній використано стільки нових в математиці абстрактних понять, що перевірити ці праці, окрім автора, ніхто не може.

Список літератури

1. М.М. Постников «Теорема Ферма», М., 1978

2. Б.В. Болгарський «Нариси по історії математики», Мінськ, 1979

3. М.Я. Вигодський «Довідник по елементарній математиці», М., 1974.

Мережа Internet