Некоторые понятия высшей матаматики
Высшая математика
Слушатель – Никифоров Михаил Николаевич
Курс 1. АПМ-03. Семестр осенний. 2003 год.
Матрица – совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы.
Минором для элемента а>ig> называется определитель матрицы, полученный из исходной, вычеркиванием i-ой строки и g-ого столбца.
Матрицы с нулевым определителем
называются вырожденными или особенными.
Особенная матрица обратной не имеет.
.
.
B>pq> согласовано с A>mn>, если число строк В равно числу столбцов А, т.е. p=n. Одно согласование.
Если один столбец или одна строка все нули, то | |=0.
Если в матрице имеется 2 равных столбца или 2 равных строки, то | |=0.
Треугольная матрица. Все элементы выше или ниже главной диагонали =0. Тогда определитель матрицы равен произведению диагональных элементов.
При перемене местами 2 строк или 2 столбцов определитель меняет знак.
Определитель матрицы, содержащей 2 пропорциональные строки или столбца равен нулю.
Определитель матрицы равен сумме произведений некоторой строки на соответствующие алгебраические дополнения.
Системы уравнений с матрицами
Система 1 совместная, если имеет хотя бы одно решение.
Система 1 определенная, если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения.
Ранг матрицы.
Ранг нулевой матрицы равен 0.
Ранг единичной матрицы>nm> равен n.
Ранг трипсидальной матрицы равен числу ненулевых строк.
При элементарных преобразованиях матрицы ранг её остается неизменным.
При добавлении к матрице строки или столбца ранг её может только увеличиться или остаться неизменным.
Лекция 5.
.
Замечание: 1)
Нет
решения
2)
.
n-число
неизвестных
а) r=n
– одно решение
б) r<n – бесконечное множество решений, зависящих от S=n-r параметров.
Векторная алгебра
Проекция вектора на ось:
Проекцией точки на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проекция АВ на х это число |A’B’| взятое со знаком +, если угол острый и со знаком – если угол тупой.
,
.
Скалярное произведение векторов
.
Признак перпендикулярности
.
Векторное произведение векторов
;
;
Объем пирамиды
;
Смешанное произведение векторов
Если
- углы, которые составляет вектор а с
координатными осями, то
,
откуда следует
Условие коллинеарности
ab=0 – перпендикулярность
- коллинеарность
abc=0 – компланарность
Аналитическая геометрия
Плоскость в пространстве
Нормаль и точка привязки однозначно определяют положение плоскости в пространстве.
-
каноническое уравнение (1)
Общее уравнение плоскости
,
где
,
где А, В, С – координаты нормали, D – свободный член, x,y,z – текущий координаты.
Уравнение плоскости, проходящий
через точку
перпендикулярно вектору N=(A;B;C),
имеет вид
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки записывают в виде
Уравнение плоскости в отрезках
Нормальное уравнение плоскости
,
где p
– расстояние от начала координат.
Нормирующий множитель
Расстояние от точки до плоскости
Угол между плоскостями
Условия параллельности и
перпендикулярности
;
Уравнение пучка плоскостей:
Прямые линии в пространстве.
-уравнение
прямой
- параметрическое уравнение
прямой.
- каноническое уравнение прямой.
Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки
Угол между 2 прямыми
Взаимное расположение 2 прямых.
1.
(могут лежать и на одной прямой)
2.
(могут скрещиваться)
3.
.
Если (3)
,
то скрещиваются.
Взаимное расположение прямой и плоскости
1.
2.
3. Угол между прямой и плоскостью
4.
Аналитическая геометрия на плоскости.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Расстояние между 2 точками
.
Если заданы точки А и В и точка
С делит отрезок АВ в отношении
,
т.е.
,
то
.
Уравнение прямой на плоскости
Ax+By+C=0;
Уравнение прямой в отрезках
.
Уравнение прямой, проходящей
через 2 заданные точки
.
Уравнение прямой, проходящей
через точку, под заданным углом
к
оси Ох (
):
Расстояние от точки до прямой
1.
2.
3.
Окружность
Уравнение окружности с центром
в M(a;b)
радиусом R
Уравнение окружности с центром
в начале координат
Эллипс
Эллипс – геометрическое место
точек, для которых сумма расстояний до
двух заданных точек плоскости (фокусов
эллипса) есть величина постоянная,
,
чем расстояние между фокусами.
Обозначим M(x;y)
– произвольная точка эллипса, 2с –
расстояние между фокусами F>1>
и F>2>;
2а – сумма расстояний от точки М до F>1>
и F>2
>(a
– большая полуось эллипса).
- малая полуось эллипса.
.
Тогда каноническое уравнение
эллипса имеет вид
.
Число
называется эксцентриситетом эллипса
и характеризует сплюснутость эллипса
относительно осей
.
Если
,
то получается окружность. a=b.
Гипербола
Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Если M
(x;y)
– точка гиперболы; F>1>,
F>2>
– фокусы, 2с – расстояние между фокусами,
2а – разность расстояний от точки М
(х;y)
до фокусов
,
где а – действительная полуось гиперболы.
- мнимая полуось гиперболы.
Каноническое уравнение гиперболы
.
Гипербола пересекает ось Ох в
точках
и
,
с осью Оу пересечений нет.
Гипербола имеет две асимптоты,
уравнения которых
.
Эксцентриситет гиперболы
.
Парабола
Парабола – геометрическое место
точек, равноудаленных от заданной точки
F –
фокуса и заданной прямой – директрисы
параболы. Если ось абсцисс совпадает с
перпендикуляром, опущенным из фокуса
на директрису, а начало координат делит
этот перпендикуляр пополам, то
каноническое уравнение
имеет вид
.
Эксцентриситет параболы
- отношение расстояния от точки параболы
до директрисы к расстоянию от этой точки
до фокуса.
Общее уравнение второго порядка
- общее уравнение кривой второго
порядка
Параллельный перенос:
.
Поворот осей:
- инварианты.
- дискриминант
Если
>0,
то уравнение эллиптического вида
Если
<0,
то уравнение гиперболического типа
Если
=0,
то уравнение параболического типа
Выбираем угол так, чтобы B’=0, тогда
(1)
(B=0)
1.
.
Осуществляем параллельный перенос для
уничтожения членов
.(**)
** подставляем в
(1)+
(2)
(3)
а)
>0
– эллиптический вид
A`C`>0 (одного знака)
Если F``>0, то пустое множество
Если F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0)
Если F``<0,
то получим эллипс в виде
,
где
б)
<0
(гиперболический вид) A’C’<0
(разные знаки). Пусть A’>0
A`=,
,
,
тогда
.
Если F>0>=0,
то
,
получаем пару пересекающихся прямых.
Если F>0>>0,
то
(гипербола)
Если F>0><0,
то
(гипербола, где оси поменялись местами)
в)
(параболический тип) A`C`=0
(5)
а) D`=E`=0,
пусть
б)
** в (5)
,
где 2р=
,
если p>0,
то парабола
.
Теория пределов
Число а называется
пределом последовательности
x>n>
для любого ()
сколь угодно малого положительного
числа
найдется номер, зависящий от
,
начиная с которого все члены
последовательности отличаются от а
меньше, чем на
.
Предел последовательности
Под числовой последовательностью
понимают
функцию
,
заданную на множестве натуральных чисел
т.е.
функцию натурального аргумента.
Число a
называется пределом
последовательности x>n>
(x=1,2,…):
=а,
если для любого сколь угодно малого
>0,
существует такое число N=N(
),
что для всех натуральных n>N
выполняется неравенство
.
1)
,
- натуральное число. Если x>n>=a,
то (a,
a,
a,
a)
– стационарная последовательность.
2)
,
где
a, d – const, тогда
(a, a+d, a+2d,…a+(n-1)d)
x>n>>+1>=x>n>>+>>d> – рекуррентная формула.
3) Числа Фибоначчи.
(1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…), где x>1>,
x>2>
=1 и
.
(*);
- эпсилон – окрестность числа
а.
1.
.
2.
Основные теоремы пределах
О единственном пределе. Последовательность имеет не более 1 предела.
Предельный переход в неравенстве.
О трех последовательностях. О сжатой последовательности.