Расчет вероятностей событий

Задание №1

Какова вероятность того, что наудачу взятое натуральное число не делится:

а) ни на два, ни на три;

б) на два или на три?

Решение:

Пусть А – событие, что натуральное число делится на 2→ p(A)=1/2 (каждое второе натуральное число кратно 2)

В-событие, что натуральное число делится на 3

p(В)=1/3 (каждое третье натуральное число кратно 3)

а) С – событие, что наудачу взятое натуральное число не делится ни на два, ни на три

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей

Тогда вероятность события С:

Т.е. пять из шести натуральных чисел не делится ни на 2 ни на 3

б) D – событие, что наудачу взятое натуральное число не делится на 2 или на 3 .

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий

Тогда вероятность события D:

.

Т.е. одно из трех натуральных чисел не делится на 2 или на 3

Задание №2

В ружейной пирамиде имеются винтовки двух систем: одна винтовка типа 1 и две винтовки типа 2. Вероятность попасть в мишень при выстреле из винтовки типа 1 равна р1, из винтовки типа 2 – р2.

Стрелок производит 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки. Чему равна вероятность того, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз?

Решение:

А – событие, что поражена мишень

Пусть событие Н1 – винтовка I типа; событие Н2 – винтовка II типа.

и

А/Н1 – мишень поражена при выстреле из винтовки I типа

А/Н2 – мишень поражена при выстреле из винтовки II типа

Для нахождения вероятности применяют формулу

2. Р>n>> >(k) – вероятность, что в n испытаниях событие наступит k раз находится по формуле Бернулли .

Вероятность события, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз, если произведено 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки.

Задание №3

При измерении урожайности картофеля вес клубней в одном кусте распределился по интервалам следующим образом:

Х(кг)

2,5–2,7

2,7–2,9

2,9–3,1

3,1–3,3

3,3–3,5

3,5–3,7

3,7–4,3

К-во кустов

50

150

200

250

150

100

100

Построить гистограмму и найти средний вес одного куста.

Решение:

Гистограмма – служит для изображения интервальных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака , и высотами, равными частотам интервалов.

Для расчета среднего веса одного куста воспользуемся формулой средней арифметической.

Средней арифметической дискретного вариационного ряда называется отношение суммы произведений вариантов на соответствующие частоты к объему совокупности:

где - варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, - соответствующие им частоты.

Для каждого интервала найдем середины по формуле .

Х(кг)

2,5–2,7

2,7–2,9

2,9–3,1

3,1–3,3

3,3–3,5

3,5–3,7

3,7–4,3

2,6

2,8

3

3,2

3,4

3,6

4

К-во кустов

50

150

200

250

150

100

100

Ответ: средний вес одного куста составляет 3,22 кг.

Задание №4

По следующим данным построить интервальный вариационный ряд и гистограмму: 24, 14, 15, 26, 16, 17, 14, 15, 1, 11, 14, 12, 16, 17, 13, 10, 11, 12, 13, 15, 14, 10, 11, 14, 7, 15, 14, 15, 15, 14, 15, 14, 2, 5, 18, 19, 16, 17, 9, 10, 18, 19, 20, 22, 28.

Найти среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение.

Решение:

1. Проранжируем1 исходный ряд, подсчитаем частоту вариантов. Получим вариационный ряд

2. Для определения числа групп воспользуемся формулой Стерджесса:

n = 1+3,322 * lgN

где n – число групп, N =45 – число единиц совокупности

Для данных задачи n = 1 + 3,322*lg 45 = 1 + 3,322 * 1,65 = 6б49  6 групп

Величина интервала представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака в каждой группе.

3. Выполним промежуточные вычисления во вспомогательной таблице и определим значения числовых характеристик:

Середины интервалов

Средняя арифметическая где - варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, - соответствующие им частоты.

Дисперсия .

Среднее квадратическое отклонение .

№

Значения

№ группы

Интервалы

Частота

1

1

нач

кон

2

2

1

1,0

5,5

3

3

5

2

5,5

10,0

5

4

7

3

10,0

14,5

15

5

9

4

14,5

19,0

17

6

10

5

19,0

23,5

2

7

10

6

23,5

28,0

3

8

10

9

11

10

11

11

11

12

12

13

12

14

13

15

13

16

14

17

14

18

14

19

14

20

14

21

14

22

14

23

14

24

15

25

15

26

15

27

15

28

15

29

15

30

15

31

16

32

16

33

16

34

17

35

17

36

17

37

18

38

18

39

19

40

19

41

20

42

22

x >min>

1

43

24

x >max>

28

44

26

h

4,5

45

28

№ группы

Интервалы

Частота

Промежуточные вычисления

нач

кон

сер

n>i>

x>cp>*n>i>

(x-Xcp)

(x-Xcp)2

n>i*>(x-Xcp)2

1

1,0

5,5

3,25

3

9,75

-10,9

118,81

356,43

2

5,5

10,0

7,75

5

38,75

-6,4

40,96

204,80

3

10,0

14,5

12,25

15

183,75

-1,9

3,61

54,15

4

14,5

19,0

16,75

17

284,75

2,6

6,76

114,92

5

19,0

23,5

21,25

2

42,50

7,1

50,41

100,82

6

23,5

28,0

25,75

3

77,25

11,6

134,56

403,68

45

636,75

1234,80


14,15

S2

27,44

5,24

Среднее значение

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Ответ: , ,

Задание №5

Некоторая случайная величина подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием 50 и дисперсией 36. Найти вероятность того, что отдельное значение случайной величины заключено в интервале от 40 до 60.

Решение:

Пусть X – случайная величина подчиняется закону нормального распределения

По условию и

Найти:

Для нормального распределения СВ X

где Ф(Х) – функция Лапласа, дифференциальная функция нормального закона имеет вид .

Значения Ф(Х) – табулированы

Ответ:

Задание №6

Определить вероятность того, что истинное значение расстояния отличается от среднего (1000 м), полученного в 100 опытах, не более, чем на 5 м, если стандартное отклонение 25 м.

Решение:

Пусть X – случайная величина расстояния, м

По условию

Найти:

Ответ:

Задание №7

При измерении дальности расстояния дальномеры дали различные показания так, что среднее расстояние оказалось 1000 м с выборочной дисперсией 36 м2. В каких пределах находится истинное расстояние с вероятностью 80%, если произведено 11 измерений.

Решение:

По условию задана выборка объемом и дисперсия нормально распределенной СВ X 36. Найдено выборочное среднее . Требуется найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания , если доверительная вероятность должна быть равна

1. Доверительный интервал имеет общий вид

2. По условию

находим из решения уравнения

→ →

используя таблицу значений функции Лапласа

3. Находим значения концов доверительного интервала

.

.

Т.о., искомый доверительный интервал , т.е.

Ответ:

Задание №8

При определении массы пяти таблеток лекарственного вещества получены следующие результаты: 0,148; 0,149; 0,151; 0,153; 0,155 (г). Найти ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80%.

Решение:

xi

1

2

3

4

5

mi

0,148

0,149

0,151

0,153

0,155

Вычислим ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80% по формуле: - предельная ошибка малой выборки.

Учитывая, что определим табулированные значения - критерия Стьюдента.

.

Таким образом,

.

Ответ: Ошибка в определении массы таблетки с вероятностью 80% составляет 0,00088

Задание №9

При изменении скорости реакции 2-х человек провели по сто опытов и получили следующие данные: Xср = 100 мс, дисперсия средних равна 9 мс2, Yср = 110 мс, дисперсия средних равна 16 мс2.

Проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений для уровня значимости 0,02.

Решение:

Пусть - гипотеза, математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y равны.

При достаточно больших объемах выборки выборочные средние и имеют приближенно нормальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией .

При выполнении гипотезы статистика

имеет стандартное нормальное распределение N (0; 1)

По данным задачи

В случае конкурирующей гипотезы выбирают одностороннюю критическую область, и критическое значение статистики находят из условия

Т.о.

Табулированное значение

Если фактические наблюдаемое значение статистики t больше критического t>кр>, определенного на уровне значимости  (по абсолютной величине), т.е. , то гипотеза отвергается, в противном случае – гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.

Т.к. наблюдаемое значение статистики , а критическое значение , то в силу условия →делаем ввод, что гипотеза отвергается, т.е. математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y не равны.

Задание №10

Оцените достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10:

X

60

65

66

70

64

Y

72

71

80

78

69

Решение:

Пусть - гипотеза, достоверность различия в продолжительности жизни мужчин и женщин на уровне значимости 0,10

Вычислим и

При выполнении гипотезы статистика .

где и

X

60

65

66

70

64

Y

72

71

80

78

69

25

0

1

25

1

52

4

9

36

16

25

90

13

22,5

Критическое значение статистики находят из условия .

Т.о. .

Табулированное значение .

Т.к. наблюдаемое значение статистики , а критическое значение то в силу условия делаем ввод, что гипотеза отвергается, т.е. достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10 не подтверждается.

Задание №11

По данным наблюдений за последние 5 лет составили таблицу урожайности пшеницы и числа дождливых дней за вегетативный период:

Ц/ га

10

15

6

20

9

Число дождливых дней

14

20

6

20

10

Коррелируют ли данные величины?

Решение:

Для оценки тесноты корреляционной зависимости между величинами Y и X используется коэффициент корреляции – показатель тесноты линейной связи.

()

()

Свойства коэффициента корреляции:

1 0 Коэффициент корреляции удовлетворяет неравенству .

2 0 В зависимости от близости r к единице различают связь слабую, умеренную, заметную, достаточно тесную, тесную и весьма тесную

Оценка тесноты линейной связи (шкала Чаддока)

Значение r

0–0,1

0,1–0,3

0,3–0,5

0,5–0,7

0,7–0,9

0,9–0,99

1

Теснота

линейной

связи

Нет

связи

Слабая

Умеренная

Заметная

Высокая

Очень высокая

Функциональная

Значение R

Связь

Интерпретация связи

R = 0

Отсутствует

Отсутствует линейная связь между х и у

0<R < 1

Прямая

С увеличением х величина у в среднем увеличивается и наоборот

-1<R<0

Обратная

С увеличением х величина у в среднем уменьшается и наоборот

R =+1 R = -1

Функциональная

Каждому значению х соответствует одно строго определенное значение величины у и наоборот

Ц/га

Число дождливых дней

Промежуточные вычисления

№

Y

X

Y*X

Y2

X2

1

10

14

140

100

196

2

15

20

300

225

400

3

6

6

36

36

36

4

20

20

400

400

400

5

9

10

90

81

100

S

60

70

966

842

1132

Средние

12

14

193,2

168,4

226,4

S>x>2

30,4

Sy2

24,4

S>x>

5,51

Sy

4,94

r

0,925

Таким образом, коэффициент корреляции r=0,925, следовательно, можно сделать вывод, что между двумя факторами присутствует связь прямая и очень тесная.

Ответ: данные величины коррелируют.

Задание №12

По данным таблицы сделайте прогноз значения X, если Y = 3.

X

4

2

3

7

5

6

3

Y

2

7

4

6

5

2

1

Решение:

1. Определим и оценим тесноту корреляционной зависимости между величинами Y и X с помощью коэффициента корреляции .

Промежуточные вычисления

Уравнение регрессии

№

Y

X

Y*X

Y2

X2


1

2

4

8

4

16

3,853

2

7

2

14

49

4

3,824

3

4

3

12

16

9

3,838

4

6

7

42

36

49

3,897

5

5

5

25

25

25

3,868

6

2

6

12

4

36

3,882

7

1

3

3

1

9

3,838

S

27

30

116

135

148

3,84

Средние

3,86

4,29

16,57

19,29

21,14

S>x>

1,67

a

3,794

Sy

2,10

b

0,015

r

0,012

Коэффициент корреляции r=0,012, следовательно можно сделать вывод, что между двумя факторами связь прямая, но очень слабая (почти отсутствует).

Уравнение регрессии выбирают по возможности простым, и оно, как правило, лишь приближенно описывает зависимость между значениями x одного признака и соответствующими средними значениями другого признака .

Наиболее простой и употребляемый вид зависимости – линейная зависимость. Она определяется уравнением линейной регрессии.

В рассматриваемом примере предположим, что эмпирическая линия регрессии приближается к прямой, и, следовательно, теоретическая линия регрессии может быть представлена уравнением вида: и изображается на графике в виде прямой регрессии. Уравнение регрессии называется выборочным, поскольку его параметры a и b находятся по результатам выборки (х>i>, у>i>), i=1,2,… n, причем наилучшим образом в смысле метода наименьших квадратов. Сущность метода заключается в том, чтобы была наименьшей сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений у>i>> >от соответствующих значений , вычисленных по уравнению регрессии, то есть

Для нахождения параметров а и b уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов. Для этого составим и решим систему линейных уравнений:

→

Решив систему уравнений, получим следующие значения параметров

a=3,794.

b=0,015.

Уравнение линейной регрессии .

Прогноз значения X, если Y = 3 при линейной зависимости

Список литературы

  1. Адрухаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей./ Под ред. Проф. А.С. Солодовникова. – М.: Высшая школа, 2005.

  2. Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением MS Excel. /Под ред. Г.В. Гореловой, И.А. Кацко. – Ростов н/Д: Феникс, 2006.

  3. Информатика и математика для юристов. /Под ред. Проф. Х.А. Адриашина, проф. С.Я. Казанцева. – М.: Юнити-Дана, Закон и право, 2003

  4. Ковбаса С.И., Ивановский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для экономистов. – СПб.: Альфа, 2001.

  5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

  6. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. – Ростов н/Д: Феникс, 1999 г. Информатика

  7. Пехлецкий И.Д. Математика. / Под ред. И.Д. Пехлецкого. – М.: Издательский центр «Академия», 2003.

  8. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

  9. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных чисел: Учебное пособие. /Под общ. Ред. А.А. Свешникова. – СПб: Издательство «Лань», 2007.

1 Ранжирование – операция, заключенная в расположении значений признака по возрастанию